Théorème de Schmidt (théorie des groupes)

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le théorème de Schmidt, démontré par Otto Schmidt en 1924, dit que si G est un groupe fini dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents, G est résoluble. K. Iwasawa a donné une description plus précise du groupe G sous les mêmes hypothèses.

Démonstration

On raisonne par récurrence sur l'ordre du groupe. Les groupes cycliques sont résolubles. On suppose donc, pour un certain n, que l'énoncé est vrai pour tous les groupes d'ordre < n, et que G est un groupe non cyclique d'ordre n (donc n > 1) dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents. D'après le lemme 2 ci-dessous, G n'est pas simple. Par hypothèse de récurrence et d'après le théorème de correspondance, il est donc résoluble (car la nilpotence passe aux quotients et la résolubilité aux extensions).

Lemme 1 — Dans un groupe fini dont les sous-groupes maximaux sont d'intersection triviale 2 à 2, l'un de ces sous-groupes maximaux est normal.

Démonstration

Supposons qu'aucun sous-groupe maximal de G n'est normal. Alors :

• pour tout sous-groupe maximal H, le normalisateur de H est réduit à H donc le nombre des conjugués de H est égal à l'indice (≥ 2) de H ;
• G n'est pas cyclique, donc :
  • l'indice de tout sous-groupe maximal est majoré par |G|/2 ;
  • G est la réunion de ses sous-groupes maximaux.

Les H\{e} pour H maximal (où e désigne l'élément neutre) étant de plus supposés disjoints 2 à 2, ils forment une partition de G\{e}. En notant c le nombre de leurs classes de conjugaison, h_i l'indice des sous-groupes de la i-ème classe et g l'ordre de G, on en déduit une contradiction : $g-1=\sum _{i=1}^{c}h_{i}\left({\frac {g}{h_{i}}}-1\right)=cg-\sum _{i=1}^{c}h_{i}\in \left[{\frac {cg}{2}},c(g-2)\right]\Rightarrow 1\leq c<2.$. Ceci contredit l'hypothèse $c\geq 2$.

Lemme 2 — Soit G un groupe fini non cyclique. Si tous les sous-groupes maximaux de G sont nilpotents, alors G n'est pas simple.

Démonstration

Parmi les intersections de deux sous-groupes maximaux distincts (s'il en existe), soit I = H ∩ K d'ordre maximum. C'est un sous-groupe propre du groupe nilpotent H donc l'inclusion de I dans le normalisateur N_H(I) est stricte. Par maximalité de |I|, le seul sous-groupe maximal de G contenant N_H(I) est donc H. De même, K est le seul sous-groupe maximal contenant N_K(I). Le sous-groupe N_G(I), qui contient à la fois N_H(I) et N_K(I), n'est donc inclus dans aucun sous-groupe maximal, c'est-à-dire qu'il est égal à G, ou encore, que I est normal.

Si G est simple, on déduit que |I| = 1 (ou alors, G n'a qu'un sous-groupe maximal). On peut donc appliquer le lemme 1 : l'un des sous-groupes maximaux de G est normal. Comme G est supposé non cyclique, ce sous-groupe n'est pas trivial, ce qui contredit la simplicité de G.

Précisions sur la structure du groupe

Soit G un groupe fini dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents, alors G est nilpotent ou d'ordre p^mqⁿ avec p et q premiers distincts et m, n ≥ 1.

Démonstration

Tout p-groupe fini est nilpotent. Supposons que |G| a au moins trois diviseurs premiers. Puisque (d'après le théorème de Schmidt) G est résoluble, il possède un sous-groupe normal H d'indice premier p. Comme H est un sous-groupe propre de G, il est nilpotent. Ses sous-groupes de Sylow sont par conséquent (pleinement) caractéristiques dans H donc normaux dans G. Choisissons dans G, pour chaque diviseur premier q de |G|, un q-Sylow P_q. D'après ce qui précède, pour tout q ≠ p, P_q est normal dans G. Comme chaque P_pP_q (pour q ≠ p) est nilpotent (car propre dans G), P_p est centralisé par tous les P_q si bien qu'il est, comme eux, normal dans G. Par conséquent, G est nilpotent.

Nombres nilpotents

Un nombre nilpotent est un entier n ≥ 1 tel que tout groupe d'ordre n soit nilpotent. Les nombres nilpotents sont caractérisés par le théorème suivant :

Soit p₁^k₁…p_r^k_r la décomposition en facteurs premiers de n. Le nombre n est nilpotent si et seulement si pour tous i ≠ j, k_i est strictement inférieur à l'ordre multiplicatif de p_i modulo p_j.

Démonstration

Soit n un entier dont la décomposition en facteurs premiers ne vérifie pas la condition de l'énoncé. Alors, n est multiple d'un entier de la forme p^kq avec p et q premiers distincts, k ≥ 1 et p^k ≡ 1 mod q. On construit facilement un groupe non nilpotent d'ordre p^kq, comme produit semi-direct de GL(k, F_p) par ℤ/qℤ et l'on en déduit un groupe non nilpotent d'ordre n, par produit direct par un groupe arbitraire d'ordre adéquat.

Réciproquement, supposons que la décomposition en facteurs premiers de n vérifie la condition de l'énoncé et montrons que tout groupe G d'ordre n est nilpotent. On procède par récurrence bien fondée, en supposant que l'énoncé est vrai pour tous les ordres < n. D'après la section précédente, G est alors nilpotent ou n a exactement deux facteurs premiers p et q. Mais dans ce second cas, d'après l'hypothèse sur la décomposition en facteurs premiers de n et le 3^e théorème de Sylow, G a un p-Sylow et un q-Sylow uniques donc normaux, si bien que G est leur produit direct donc, là encore, G est nilpotent.

(En particulier, les nombres nilpotents pairs sont donc les puissances de 2.)

Pour tout entier c ≥ 1, on a un énoncé plus précis concernant la classe de nilpotence :

Pour tout nombre nilpotent n, les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

• la classe de nilpotence de tout groupe d'ordre n est au plus c ;
• n est « sans puissances (c + 2)-ièmes » (c'est-à-dire que dans la décomposition en facteurs premiers, tous les exposants sont inférieurs ou égaux à c + 1).

Démonstration

Tout groupe d'ordre n (donc nilpotent) est produit direct de ses sous-groupes de Sylow. Sa classe de nilpotence est donc le maximum des leurs.

Pour tout p premier :

• tout groupe d'ordre d'ordre p^k avec k ≤ c + 1 est de classe de nilpotence au plus c ;
• réciproquement, pour tout k ≥ c + 2, il existe des groupes d'ordre p^k dont la classe de nilpotence est strictement supérieure à c.

Liens externes

• (en) « Schmidt-Iwasawa theorem », sur groupprops.subwiki.org
• (en) G. A. Miller (en) et H. C. Moreno, « Non-abelian groups in which every subgroup is abelian », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 4,‎ 1903, p. 398-404 (lire en ligne)