Noyau (algèbre)

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre générale, le noyau d'un morphisme mesure la non-injectivité d'un morphisme.

Dans de nombreux cas, le noyau d'un morphisme est un sous-ensemble de l'ensemble de définition du morphisme : l'ensemble des éléments qui sont envoyés sur l'élément neutre de l'ensemble d'arrivée. Dans des contextes plus généraux, le noyau est interprété comme une relation d'équivalence sur l'ensemble de définition : la relation qui relie les éléments qui sont envoyés sur une même image par le morphisme.

Dans l'une ou l'autre de ces situations, le noyau est trivial si et seulement si le morphisme est injectif. Dans la première situation, « trivial » signifie constitué uniquement de l'élément neutre, tandis que dans la seconde, cela signifie que la relation est l'égalité.

Le noyau d'un morphisme f est noté $ker$ (f) ou $Ker$ (f). Cette abréviation vient du mot allemand Kern^[1] qui signifie « noyau » (dans tous les sens du terme : l'analogie s'est propagée d'une langue à l'autre).

Cet article présente diverses définitions du noyau, pour les types les plus couramment utilisés de morphismes.

Noyau d'un morphisme de groupes

Le noyau d'un morphisme de groupes f d'un groupe G vers un groupe H se compose de tous les éléments de G qui sont envoyés par f sur l'élément neutre e_H de H. Formellement :

\ker(f)=\{x\in G\mid f(x)=e_{H}\}.

Le noyau est un sous-groupe distingué de G.

L'un des théorèmes d'isomorphisme énonce que le groupe quotient G/ $ker$ (f) est isomorphe à l'image de f. Cet isomorphisme est induit par f lui-même. Une proposition légèrement plus générale est le théorème de factorisation des morphismes.

Le morphisme de groupes f est injectif si et seulement si son noyau est le groupe trivial.

D'après les propriétés de l'image réciproque, le noyau d'un morphisme composé $g\circ f$ est égal à :

\ker(g\circ f)=f^{-1}(\ker(g)).

Noyau d'une application linéaire

Si f est une application linéaire d'un espace vectoriel V dans un espace vectoriel W, alors le noyau de f est défini par

\ker(f)=\{x\in V\mid f(x)=0_{W}\}.

Le noyau est un sous-espace de l'espace vectoriel V, et l'espace vectoriel quotient V/ $ker$ (f) est isomorphe à l'image de f ; en particulier, le théorème du rang relie les dimensions :

\dim \ker(f)=\dim V-\dim \operatorname {im} (f).

L'application linéaire f est injective si et seulement si $ker$ (f) = {0}.

Si V et W sont des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif K, de dimensions respectives n et p, et si des bases de ces espaces sont données, alors f peut être représentée par une matrice $M\in {\mathcal {M}}_{p,n}(K)$ , et le noyau peut être déterminé en résolvant le système homogène d'équations linéaires M X = 0.

Dans cette représentation, les solutions de ce système correspondent aux coordonnées des vecteurs du noyau de f, mais aussi aux vecteurs du noyau de l'application linéaire canoniquement associée à la matrice M.

La dimension du noyau est donnée par le nombre de colonnes de M moins le rang de M.

La résolution d'équations différentielles homogènes mène souvent à la détermination du noyau d'une certaine application linéaire.

Par exemple, si l'on désire déterminer les fonctions deux fois dérivables f de R dans R telles que

\forall x\in \mathbb {R} ,\ xf''(x)+3f'(x)=f(x)\ ,

il faut considérer le noyau de l'application linéaire $\varphi :V\to W$ , où V est l'espace vectoriel de toutes les fonctions deux fois dérivables de R dans R, W l'espace vectoriel de toutes les fonctions de R dans R, et l'image par $\varphi$ d'un élément f de V définie par la condition

\forall x\in \mathbb {R} ,\ (\varphi (f))(x)=xf''(x)+3f'(x)-f(x).

Noyau d'un morphisme d'anneaux

Le noyau d'un morphisme d'anneaux f d'un anneau A dans un anneau B se compose de tous les éléments x de A pour lesquels f ( x ) = 0. Formellement :

\ker(f)=\{x\in A\mid f(x)=0_{B}\}.

Le noyau est un idéal bilatère de A.

Le théorème d'isomorphisme mentionné ci-dessus pour des groupes et des espaces vectoriels reste valable dans le cas des anneaux.

Noyau d'un morphisme de corps

Le noyau d'un morphisme de corps (c'est-à-dire un morphisme d'anneaux où les anneaux considérés sont des corps) est toujours réduit à l'élément neutre 0, de sorte que tout morphisme de corps est injectif.

Noyau d'une forme quadratique

Sur un espace vectoriel réel E, une forme quadratique est une application polynomiale $q:V\rightarrow R$ qui est homogène de degré 2. Elle est associée à la forme bilinéaire symétrique

B(u,v)={\frac {q(u+v)-q(u-v)}{4}}

.

Le noyau de q est le sous-espace vectoriel

N=\{v\in E\mid \forall w,B(v,w)=0\}\,.

La contraction de B par v désigne l'application linéaire $\iota (v)B:w\mapsto B(v,w)$ , et N apparaît comme le noyau de l'application linéaire

v\mapsto \iota (v)B.

L'image est un sous-espace vectoriel de l'espace dual E* qui est l'annulateur du noyau N.

Noyau en général

Toutes ces notions de noyaux se généralisent dans le cadre de la théorie des catégories abéliennes.

Exemple

La fonction exponentielle complexe $exp$ est un exemple de morphisme de groupes, de (ℂ, +) dans (ℂ*, ×). Son noyau est l'ensemble des nombres complexes z tels que $e z = 1$ .

En notant $x=\Re (z)\ {\text{et}}\ y=\Im (z)$ , on obtient

{\rm {e}}^{z}=1\Leftrightarrow {\rm {e}}^{x+{\rm {i}}y}=1\ \Leftrightarrow {\rm {e}}^{x}\times {\rm {e}}^{{\rm {i}}y}=1\ \Leftrightarrow {\begin{cases}{\rm {e}}^{x}=1\\y=0\ \left[2\pi \right]\end{cases}}\ \Leftrightarrow {\begin{cases}x=0\\y\in 2\pi \mathbb {Z} ,\end{cases}}

d'où

\ker(\exp )={\rm {i}}2\pi \mathbb {Z} .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kernel (algebra) » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Jeff Miller, « Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics » : « The use of kernel in algebra appears to be unrelated to its use in integral equations and Fourier analysis. L. Pontrjagin used the term in 1931 on page 102 of his paper “Über den algebraischen Inhalt topologischer Dualitätssätze” in Math. Annalen 105. ».

Articles connexes

Portail de l’algèbre

[1] (en) Jeff Miller, « Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics » : « The use of kernel in algebra appears to be unrelated to its use in integral equations and Fourier analysis. L. Pontrjagin used the term in 1931 on page 102 of his paper “Über den algebraischen Inhalt topologischer Dualitätssätze” in Math. Annalen 105. ».

[1]

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau