En mathématiques, une formule de trigonométrie est une relation faisant intervenir des fonctions trigonométriques , vérifiée pour toutes les valeurs possibles des variables intervenant dans la relation.
Ces formules peuvent servir à simplifier une expression comportant des fonctions trigonométriques ou à la transformer (par exemple pour en calculer une primitive ). Elles constituent donc une « boîte à outils » utile pour la résolution de problèmes.
Les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement ou analytiquement . Elles servent beaucoup en intégration , pour intégrer des fonctions « non trigonométriques » : un procédé habituel consiste à effectuer un changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique, et à simplifier ensuite l'intégrale obtenue avec les identités trigonométriques.
Notation : si ƒ est une fonction trigonométrique, ƒ2 désigne la fonction qui à tout réel x associe le carré de ƒ(x ) . Par exemple : cos2 x = (cos x )2 .
Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ peuvent être représentées géométriquement.
Les relations entre fonctions trigonométriques résultent d'une part des définitions
tan
θ
=
sin
θ
cos
θ
,
cot
θ
=
cos
θ
sin
θ
,
…
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \ldots }
et d'autre part de l'application du théorème de Pythagore , notamment :
cos
2
θ
+
sin
2
θ
=
1
tan
2
θ
+
1
=
1
cos
2
θ
,
cot
2
θ
+
1
=
1
sin
2
θ
.
{\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\quad \tan ^{2}\theta +1={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }},\quad \cot ^{2}\theta +1={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}.}
Relations entre fonctions trigonométriques dans le premier quadrant (
0
⩽
θ
⩽
π
2
{\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant {\tfrac {\pi }{2}}}
)[ 1] , éventuellement non valables en 0 ou
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
cos
sin
tan
cot
sec
csc
cos
cos
θ
=
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \cos \theta ={\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}
cos
θ
=
1
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}
cos
θ
=
cot
θ
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}
cos
θ
=
1
sec
θ
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{\sec \theta }}}
cos
θ
=
csc
2
θ
−
1
csc
θ
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}
sin
sin
θ
=
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \sin \theta ={\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}
sin
θ
=
tan
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}
sin
θ
=
1
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}
sin
θ
=
sec
2
θ
−
1
sec
θ
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}
sin
θ
=
1
csc
θ
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {1}{\csc \theta }}}
tan
tan
θ
=
1
−
cos
2
θ
cos
θ
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}}
tan
θ
=
sin
θ
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}
tan
θ
=
1
cot
θ
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {1}{\cot \theta }}}
tan
θ
=
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \tan \theta ={\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}
tan
θ
=
1
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}
cot
cot
θ
=
cos
θ
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}
cot
θ
=
1
−
sin
2
θ
sin
θ
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}}
cot
θ
=
1
tan
θ
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}}
cot
θ
=
1
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}
cot
θ
=
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \cot \theta ={\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}
sec
sec
θ
=
1
cos
θ
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}}
sec
θ
=
1
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}
sec
θ
=
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \sec \theta ={\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}
sec
θ
=
1
+
cot
2
θ
cot
θ
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}}
sec
θ
=
csc
θ
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}
csc
csc
θ
=
1
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}
csc
θ
=
1
sin
θ
{\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}}
csc
θ
=
1
+
tan
2
θ
tan
θ
{\displaystyle \csc \theta ={\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}}
csc
θ
=
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \csc \theta ={\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}
csc
θ
=
sec
θ
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \csc \theta ={\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}
Parité - Réflexion d'axe (θ = 0 )
Réflexion d'axe (θ = π/4 )
Réflexion d'axe (θ = π/2 )
sin
(
−
θ
)
=
−
sin
θ
cos
(
−
θ
)
=
+
cos
θ
tan
(
−
θ
)
=
−
tan
θ
cot
(
−
θ
)
=
−
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}}
sin
(
π
2
−
θ
)
=
+
cos
θ
cos
(
π
2
−
θ
)
=
+
sin
θ
tan
(
π
2
−
θ
)
=
+
cot
θ
cot
(
π
2
−
θ
)
=
+
tan
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}}}
sin
(
π
−
θ
)
=
+
sin
θ
cos
(
π
−
θ
)
=
−
cos
θ
tan
(
π
−
θ
)
=
−
tan
θ
cot
(
π
−
θ
)
=
−
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}}
Note : Toutes ces formules sont également utilisables pour des ajouts d'angles, il suffit pour cela de prendre l'opposé : par exemple,
sin
(
π
2
+
θ
)
=
sin
(
π
2
−
(
−
θ
)
)
=
cos
(
−
θ
)
{\displaystyle \sin({\tfrac {\pi }{2}}+\theta )=\sin({\tfrac {\pi }{2}}-(-\theta ))=\cos(-\theta )}
. Il suffit ensuite d'appliquer la formule de simplification correspondante de la première colonne.
Décalage de π/2
Décalage de π (Période de tan et cot)
Décalage de 2π (Période de sin et cos)
sin
(
θ
+
π
2
)
=
+
cos
θ
cos
(
θ
+
π
2
)
=
−
sin
θ
tan
(
θ
+
π
2
)
=
−
cot
θ
cot
(
θ
+
π
2
)
=
−
tan
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}}
sin
(
θ
+
π
)
=
−
sin
θ
cos
(
θ
+
π
)
=
−
cos
θ
tan
(
θ
+
π
)
=
+
tan
θ
cot
(
θ
+
π
)
=
+
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}}
sin
(
θ
+
2
π
)
=
+
sin
θ
cos
(
θ
+
2
π
)
=
+
cos
θ
tan
(
θ
+
2
π
)
=
+
tan
θ
cot
(
θ
+
2
π
)
=
+
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}}
Certaines des relations ci-dessus sont renforcées par les équivalences suivantes[ 2] :
cos
a
=
cos
b
⇔
a
=
b
+
2
k
π
ou
a
=
−
b
+
2
k
π
(
k
∈
Z
)
{\displaystyle \cos a=\cos b\Leftrightarrow a=b+2k\pi \quad {\text{ou}}\quad a=-b+2k\pi \qquad (k\in \mathbb {Z} )}
sin
a
=
sin
b
⇔
a
=
b
+
2
k
π
ou
a
=
π
−
b
+
2
k
π
(
k
∈
Z
)
{\displaystyle \sin a=\sin b\Leftrightarrow a=b+2k\pi \quad {\text{ou}}\quad a=\pi -b+2k\pi \qquad (k\in \mathbb {Z} )}
tan
a
=
tan
b
⇔
a
=
b
+
k
π
(
k
∈
Z
)
{\displaystyle \tan a=\tan b\Leftrightarrow a=b+k\pi \qquad (k\in \mathbb {Z} )}
Les deux formules principales sont les formules d'addition pour le cosinus et le sinus[ 3] , [ 4] :
cos
(
a
+
b
)
=
cos
a
cos
b
−
sin
a
sin
b
{\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b}
sin
(
a
+
b
)
=
sin
a
cos
b
+
cos
a
sin
b
{\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b}
En remplaçant b par son opposé, on obtient aussi les formules de différence[ 4] :
cos
(
a
−
b
)
=
cos
a
cos
b
+
sin
a
sin
b
{\displaystyle \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b}
sin
(
a
−
b
)
=
sin
a
cos
b
−
cos
a
sin
b
{\displaystyle \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b}
Démonstration géométrique des formules d'addition de cos(a +b ) et sin(a +b )
Le moyen le plus rapide pour les démontrer est, à partir de la définition analytique du cosinus et du sinus, d'utiliser les formules d'Euler .
Il existe de nombreuses autres démonstrations possibles, utilisant les propriétés d'une corde dans un cercle, la relation entre cosinus d'un angle et produit scalaire (en évaluant de deux façons différentes le produit scalaire des vecteurs (cos a , sin a ) et (cos b , sin b ) , la propriété du changement de repère ou encore la démonstration matricielle ci-dessous.
Démonstration matricielle
utilise l'expression de la matrice d'une rotation plane (dans une base orthonormée directe) en fonction du cosinus et du sinus de son angle :
R
θ
=
(
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
)
.
{\displaystyle R_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}.}
La rotation vectorielle plane d'angle a + b est la composée des rotations d'angles a et b donc sa matrice est le produit des matrices Ra et Rb :
(
cos
(
a
+
b
)
…
sin
(
a
+
b
)
…
)
=
R
a
+
b
=
R
a
R
b
=
(
cos
a
−
sin
a
sin
a
cos
a
)
(
cos
b
…
sin
b
…
)
=
(
cos
a
cos
b
−
sin
a
sin
b
…
sin
a
cos
b
+
cos
a
sin
b
…
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(a+b)&\ldots \\\sin(a+b)&\ldots \\\end{pmatrix}}=R_{a+b}=R_{a}R_{b}={\begin{pmatrix}\cos a&-\sin a\\\sin a&\cos a\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos b&\ldots \\\sin b&\ldots \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos a\cos b-\sin a\sin b&\ldots \\\sin a\cos b+\cos a\sin b&\ldots \\\end{pmatrix}}}
.
Les formules s'obtiennent alors par identification.
On en déduit les formules d'addition et de différence pour la tangente et la cotangente. Par exemple pour l'addition[ N 1] :
tan
(
a
+
b
)
=
tan
a
+
tan
b
1
−
tan
a
tan
b
e
t
cot
(
a
+
b
)
=
cot
a
cot
b
−
1
cot
a
+
cot
b
{\displaystyle \tan(a+b)={\frac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}\quad {\rm {et}}\quad \cot(a+b)={\frac {\cot a\cot b-1}{\cot a+\cot b}}}
.
Exemple
tan
(
x
+
π
/
4
)
=
1
+
tan
x
1
−
tan
x
{\displaystyle \tan(x+\pi /4)={\frac {1+\tan x}{1-\tan x}}}
.
Plus généralement, la tangente d'une somme de n angles[ 5] (resp. la cotangente) s'exprime en fonction des tangentes (resp. des cotangentes) de ces angles :
tan
(
θ
1
+
…
+
θ
n
)
=
σ
1
−
σ
3
+
σ
5
−
…
1
−
σ
2
+
σ
4
−
…
(
tan
θ
1
,
…
,
tan
θ
n
)
e
t
cot
(
θ
1
+
…
+
θ
n
)
=
σ
n
−
σ
n
−
2
+
σ
n
−
4
−
…
σ
n
−
1
−
σ
n
−
3
+
σ
n
−
5
−
…
(
cot
θ
1
,
…
,
cot
θ
n
)
{\displaystyle \tan(\theta _{1}+\ldots +\theta _{n})={\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}+\sigma _{5}-\ldots }{1-\sigma _{2}+\sigma _{4}-\ldots }}(\tan \theta _{1},\ldots ,\tan \theta _{n})\quad {\rm {et}}\quad \cot(\theta _{1}+\ldots +\theta _{n})={\frac {\sigma _{n}-\sigma _{n-2}+\sigma _{n-4}-\ldots }{\sigma _{n-1}-\sigma _{n-3}+\sigma _{n-5}-\ldots }}(\cot \theta _{1},\ldots ,\cot \theta _{n})}
où les σk (pour 0 ≤ k ≤ n ) sont les polynômes symétriques élémentaires . Pour n impair, il s'agit de la même fraction rationnelle ; par exemple pour n = 3[ N 2] :
tan
(
a
+
b
+
c
)
=
F
(
tan
a
,
tan
b
,
tan
c
)
e
t
cot
(
a
+
b
+
c
)
=
F
(
cot
a
,
cot
b
,
cot
c
)
a
v
e
c
F
(
u
,
v
,
w
)
=
u
+
v
+
w
−
u
v
w
1
−
(
u
v
+
u
w
+
v
w
)
.
{\displaystyle \tan(a+b+c)=F(\tan a,\tan b,\tan c)\quad {\rm {et}}\quad \cot(a+b+c)=F(\cot a,\cot b,\cot c)\quad {\rm {avec}}\quad F(u,v,w)={\frac {u+v+w-uvw}{1-(uv+uw+vw)}}.}
Une autre conséquence intéressante de la formule d'addition pour sin est qu'elle permet de ramener la combinaison linéaire d'un sinus et d'un cosinus à un sinus :
α
sin
x
+
β
cos
x
=
α
2
+
β
2
sin
(
x
+
φ
)
{\displaystyle \alpha \sin x+\beta \cos x={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}~\sin(x+\varphi )}
où
φ
=
a
r
c
t
a
n
(
β
/
α
)
{\displaystyle \varphi ={\rm {arctan}}(\beta /\alpha )}
si α est positif et
φ
=
a
r
c
t
a
n
(
β
/
α
)
+
π
{\displaystyle \varphi ={\rm {arctan}}(\beta /\alpha )+\pi }
sinon.
Appelées aussi « formules d'angle double », elles peuvent être obtenues, pour les deux premières[ 6] , en remplaçant a et b par x dans les formules d'addition ou en utilisant la formule de Moivre avec n = 2. Les deux suivantes se déduisent de l'identité cos2 x + sin2 x = 1 .
sin
2
x
=
2
sin
x
cos
x
,
cos
2
x
=
cos
2
x
−
sin
2
x
=
2
cos
2
x
−
1
=
1
−
2
sin
2
x
,
tan
2
x
=
2
tan
x
1
−
tan
2
x
=
2
cot
x
cot
2
x
−
1
=
2
cot
x
−
tan
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x,\\\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x,\\\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}={\frac {2\cot x}{\cot ^{2}x-1}}={\frac {2}{\cot x-\tan x}}.\end{aligned}}}
Ces formules[ 7] , [ 8] permettent d'écrire cos2 x et sin2 x , donc aussi tan2 x , en fonction du cosinus de l'angle double :
cos
2
x
=
1
+
cos
(
2
x
)
2
,
sin
2
x
=
1
−
cos
(
2
x
)
2
e
t
tan
2
x
=
1
−
cos
(
2
x
)
1
+
cos
(
2
x
)
.
{\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1+\cos(2x)}{2}},\quad \sin ^{2}x={\frac {1-\cos(2x)}{2}}\quad {\rm {et}}\quad \tan ^{2}x={\frac {1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}}.}
|
cos
(
θ
2
)
|
=
1
+
cos
θ
2
,
|
sin
(
θ
2
)
|
=
1
−
cos
θ
2
{\displaystyle \left|\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|={\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}},\qquad \left|\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|={\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}
tan
(
θ
2
)
=
sin
θ
1
+
cos
θ
=
1
−
cos
θ
sin
θ
{\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}}
Démonstration
Les deux premières identités se déduisent des formules de réduction des carrés en remplaçant x par θ /2 .
La troisième s'obtient en écrivant
tan
(
θ
2
)
=
sin
(
θ
/
2
)
cos
(
θ
/
2
)
=
2
cos
(
θ
/
2
)
2
cos
(
θ
/
2
)
sin
(
θ
/
2
)
cos
(
θ
/
2
)
=
sin
θ
1
+
cos
θ
,
{\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sin(\theta /2)}{\cos(\theta /2)}}={\frac {2\cos(\theta /2)}{2\cos(\theta /2)}}{\frac {\sin(\theta /2)}{\cos(\theta /2)}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }},}
où l'égalité finale vient des formules de l'angle double.
La dernière (où sin θ est supposé non nul) se déduit de
sin
2
θ
=
1
−
cos
2
θ
=
(
1
−
cos
θ
)
(
1
+
cos
θ
)
.
{\displaystyle \sin ^{2}\theta =1-\cos ^{2}\theta =(1-\cos \theta )(1+\cos \theta ).}
Si l'on pose, pour x ≠ π + 2k π ,
t
=
tan
(
x
/
2
)
{\displaystyle t=\tan(x/2)}
,
on a[ 9]
cos
x
=
1
−
t
2
1
+
t
2
e
t
sin
x
=
2
t
1
+
t
2
d
o
n
c
{\displaystyle \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\quad {\rm {et}}\quad \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}\quad {\rm {donc}}}
[ N 3]
tan
x
=
2
t
1
−
t
2
.
{\displaystyle {}\quad \tan x={\frac {2t}{1-t^{2}}}.}
Dans le cas de changement de variable en intégration , on ajoutera la relation [ 9] :
d
x
=
2
d
t
1
+
t
2
{\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}}
.
Ces formules permettent de simplifier des calculs trigonométriques en se ramenant à des calculs sur des fractions rationnelles. Elles permettent aussi de déterminer l'ensemble des points rationnels du cercle unité .
Les égalités suivantes, du nom de Thomas Simpson , ont servi historiquement aux calculs en goniométrie .
cos
a
cos
b
=
cos
(
a
+
b
)
+
cos
(
a
−
b
)
2
{\displaystyle \cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}}
sin
a
sin
b
=
cos
(
a
−
b
)
−
cos
(
a
+
b
)
2
{\displaystyle \sin a\sin b={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}}
sin
a
cos
b
=
sin
(
a
+
b
)
+
sin
(
a
−
b
)
2
{\displaystyle \sin a\cos b={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}}
cos
a
sin
b
=
sin
(
a
+
b
)
−
sin
(
a
−
b
)
2
{\displaystyle \cos a\sin b={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}\ }
(équivalente à la précédente par interversion de a et b ).
Ces formules peuvent être démontrées en développant leurs membres de droite en utilisant les formules d'addition et de différence .
cos
p
+
cos
q
=
2
cos
p
+
q
2
cos
p
−
q
2
{\displaystyle \cos p+\cos q=2\cos {\frac {p+q}{2}}\cos {\frac {p-q}{2}}}
cos
p
−
cos
q
=
−
2
sin
p
+
q
2
sin
p
−
q
2
{\displaystyle \cos p-\cos q=-2\sin {\frac {p+q}{2}}\sin {\frac {p-q}{2}}}
sin
p
+
sin
q
=
2
sin
p
+
q
2
cos
p
−
q
2
{\displaystyle \sin p+\sin q=2\sin {\frac {p+q}{2}}\cos {\frac {p-q}{2}}}
sin
p
−
sin
q
=
2
cos
p
+
q
2
sin
p
−
q
2
{\displaystyle \sin p-\sin q=2\cos {\frac {p+q}{2}}\sin {\frac {p-q}{2}}}
(équivalente à la précédente en remplaçant q par –q ).
Il suffit de remplacer a par p + q / 2 et b par p – q / 2 dans les formules de transformation de produit en somme. On en déduit une généralisation des formules de la tangente de l'angle moitié :
tan
p
+
q
2
=
sin
p
+
sin
q
cos
p
+
cos
q
=
−
cos
p
−
cos
q
sin
p
−
sin
q
{\displaystyle \tan {\frac {p+q}{2}}={\frac {\sin p+\sin q}{\cos p+\cos q}}=-{\frac {\cos p-\cos q}{\sin p-\sin q}}}
.
Par ailleurs, on déduit directement de la formule d'addition pour sin :
tan
p
+
tan
q
=
sin
(
p
+
q
)
cos
p
cos
q
{\displaystyle \tan p+\tan q={\frac {\sin(p+q)}{\cos p\,\cos q}}}
.
cos
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
=
cosh
i
x
{\displaystyle \cos x={\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2}}=\cosh {\rm {i}}x}
sin
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
=
−
i
sinh
i
x
{\displaystyle \sin x={\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2{\rm {i}}}}=-{\rm {i}}\sinh {\rm {i}}x}
où i est l'unité imaginaire .
On en déduit que
tan
x
=
i
(
1
−
e
2
i
x
)
1
+
e
2
i
x
=
−
i
tanh
i
x
{\displaystyle \tan x={\frac {{\rm {i}}\left(1-{\rm {e}}^{2{\rm {i}}x}\right)}{1+{\rm {e}}^{2{\rm {i}}x}}}=-{\rm {i}}\tanh {\rm {i}}x}
La formule de Moivre s'écrit :
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
{\displaystyle \cos(nx)+{\rm {i}}\sin(nx)=(\cos x+{\rm {i}}\sin x)^{n}}
.
Par la formule du binôme , elle équivaut à :
cos
(
n
x
)
=
∑
0
⩽
k
⩽
n
2
(
−
1
)
k
(
n
2
k
)
cos
n
−
2
k
x
sin
2
k
x
et
sin
(
n
x
)
=
∑
0
⩽
k
⩽
n
−
1
2
(
−
1
)
k
(
n
2
k
+
1
)
cos
n
−
2
k
−
1
x
sin
2
k
+
1
x
{\displaystyle \cos(nx)=\sum _{0\leqslant k\leqslant {\frac {n}{2}}}(-1)^{k}{n \choose 2k}\cos ^{n-2k}x~\sin ^{2k}x\quad {\text{et}}\quad \sin(nx)=\sum _{0\leqslant k\leqslant {\frac {n-1}{2}}}(-1)^{k}{n \choose 2k+1}\cos ^{n-2k-1}x~\sin ^{2k+1}x}
.
Compte tenu de sin2 x = 1 – cos2 x , si l'on pose
T
n
=
∑
0
⩽
k
⩽
n
2
(
−
1
)
k
(
n
2
k
)
X
n
−
2
k
(
1
−
X
2
)
k
et
U
n
=
∑
0
⩽
k
⩽
n
−
1
2
(
−
1
)
k
(
n
2
k
+
1
)
X
n
−
2
k
−
1
(
1
−
X
2
)
k
{\displaystyle T_{n}=\sum _{0\leqslant k\leqslant {\frac {n}{2}}}(-1)^{k}{n \choose 2k}X^{n-2k}(1-X^{2})^{k}\quad {\text{et}}\quad U_{n}=\sum _{0\leqslant k\leqslant {\frac {n-1}{2}}}(-1)^{k}{n \choose 2k+1}X^{n-2k-1}(1-X^{2})^{k}}
,
on a cos(nx ) = Tn (cos x ) et sin((n +1)x ) = sin(x ) Un (cos x ) .
Le polynôme Tn (resp. Un ) est le n -ième polynôme de Tchebychev de première (resp. seconde) espèce.
Par exemple
cos
3
x
=
4
cos
3
x
−
3
cos
x
,
sin
3
x
=
sin
x
(
4
cos
2
x
−
1
)
=
−
4
sin
3
x
+
3
sin
x
{\displaystyle \cos 3x=4\cos ^{3}x-3\cos x,\,\sin 3x=\sin x(4\cos ^{2}x-1)=-4\sin ^{3}x+3\sin x}
.
La formule de Moivre permet aussi d'exprimer tan(nx ) en fonction de tan x par la relation
tan
n
x
=
Im
(
1
+
i
tan
x
)
n
Re
(
1
+
i
tan
x
)
n
{\displaystyle \tan nx={\frac {{\text{Im}}(1+{\rm {i}}\tan x)^{n}}{{\text{Re}}(1+{\rm {i}}\tan x)^{n}}}}
.
Par exemple
tan
3
x
=
tan
3
x
−
3
tan
x
3
tan
2
x
−
1
{\displaystyle \tan 3x={\frac {\tan ^{3}x-3\tan x}{3\tan ^{2}x-1}}}
.
La linéarisation d'une expression cosp x sinq x a pour but de l'exprimer comme combinaison linéaire de divers cos(nx ) (si q est pair) ou sin(nx ) (si q est impair) — par exemple pour en calculer une primitive . On peut utiliser soit les formules de transformation de produits en sommes ci-dessus, soit les formules d'Euler :
cos
p
x
sin
q
x
=
(
e
i
x
+
e
−
i
x
2
)
p
(
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
)
q
.
{\displaystyle \cos ^{p}x\sin ^{q}x=\left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2}}\right)^{p}\left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2{\rm {i}}}}\right)^{q}.}
Il suffit ensuite de
développer chacun des deux facteurs grâce à la formule du binôme de Newton ,
développer le produit des deux sommes obtenues (par distributivité ),
simplifier les termes en utilisant que
e
i
k
x
e
i
ℓ
x
=
e
i
(
k
+
ℓ
)
x
,
{\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}kx}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\ell x}={\rm {e}}^{{\rm {i}}(k+\ell )x},}
puis les regrouper, sachant que
e
i
n
x
+
e
−
i
n
x
=
2
cos
(
n
x
)
e
t
e
i
n
x
−
e
−
i
n
x
=
2
i
sin
(
n
x
)
.
{\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}nx}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}nx}=2\cos(nx)\quad {\rm {et}}\quad {\rm {e}}^{{\rm {i}}nx}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}nx}=2{\rm {i}}\sin(nx).}
Si l'un des deux exposants p ou q est nul, en appelant « degré » la valeur de l'autre, on a :
Formules de linéarisation de degré 2 ou 3
Formules de linéarisation de degré quelconque
cos
2
n
x
=
(
e
i
x
+
e
−
i
x
2
)
2
n
=
1
2
2
n
(
(
2
n
n
)
+
∑
k
=
0
n
−
1
(
(
2
n
k
)
e
i
x
k
e
−
i
x
(
2
n
−
k
)
+
(
2
n
2
n
−
k
)
e
i
x
(
2
n
−
k
)
e
−
i
x
k
)
)
=
1
4
n
(
(
2
n
n
)
+
2
∑
k
=
0
n
−
1
(
2
n
k
)
cos
(
2
(
n
−
k
)
x
)
)
cos
2
n
+
1
x
=
(
e
i
x
+
e
−
i
x
2
)
2
n
+
1
=
1
2
2
n
+
1
∑
k
=
0
n
(
(
2
n
+
1
k
)
e
i
x
k
e
−
i
x
(
2
n
+
1
−
k
)
+
(
2
n
+
1
2
n
+
1
−
k
)
e
i
x
(
2
n
+
1
−
k
)
e
−
i
x
k
)
=
1
4
n
∑
k
=
0
n
(
2
n
+
1
k
)
cos
(
(
2
(
n
−
k
)
+
1
)
x
)
=
1
4
n
∑
ℓ
=
0
n
(
2
n
+
1
n
−
ℓ
)
cos
(
(
2
ℓ
+
1
)
x
)
∙
x
←
x
−
π
2
sin
2
n
x
=
1
4
n
(
(
2
n
n
)
−
2
∑
ℓ
=
0
n
−
1
(
−
1
)
ℓ
(
2
n
n
−
1
−
ℓ
)
cos
(
2
(
ℓ
+
1
)
x
)
)
sin
2
n
+
1
x
=
1
4
n
∑
ℓ
=
0
n
(
−
1
)
ℓ
(
2
n
+
1
n
−
ℓ
)
sin
(
(
2
ℓ
+
1
)
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{2n}x&=\left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2}}\right)^{2n}\\&={\frac {1}{2^{2n}}}\left({{2n} \choose n}+\sum _{k=0}^{n-1}{\left({{2n} \choose k}{\rm {e}}^{{\rm {i}}xk}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x(2n-k)}+{{2n} \choose {2n-k}}{\rm {e}}^{{\rm {i}}x(2n-k)}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}xk}\right)}\right)\\&={\frac {1}{4^{n}}}\left({{2n} \choose n}+2\sum _{k=0}^{n-1}{{{2n} \choose k}\cos \left(2(n-k)x\right)}\right)\\\cos ^{2n+1}x&=\left({\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x}}{2}}\right)^{2n+1}\\&={\frac {1}{2^{2n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\left({{2n+1} \choose k}{\rm {e}}^{{\rm {i}}xk}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x(2n+1-k)}+{{2n+1} \choose {2n+1-k}}{\rm {e}}^{{\rm {i}}x(2n+1-k)}{\rm {e}}^{-{\rm {i}}xk}\right)}\\&={\frac {1}{4^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \choose k}\cos \left((2(n-k)+1)x\right)\\&={\frac {1}{4^{n}}}\sum _{\ell =0}^{n}{{2n+1} \choose {n-\ell }}\cos \left((2\ell +1)x\right)\\\bullet ~x\leftarrow &x-{\frac {\pi }{2}}&\\\sin ^{2n}x&={\frac {1}{4^{n}}}\left({{2n} \choose n}-2\sum _{\ell =0}^{n-1}{(-1)^{\ell }{{2n} \choose {n-1-\ell }}\cos \left(2(\ell +1)x\right)}\right)\\\sin ^{2n+1}x&={\frac {1}{4^{n}}}\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell }{{2n+1} \choose {n-\ell }}\sin \left((2\ell +1)x\right)\end{aligned}}}
Les sommes
C
n
=
∑
k
=
0
n
cos
(
k
θ
+
φ
)
{\displaystyle C_{n}=\sum _{k=0}^{n}\cos(k\theta +\varphi )}
et
S
n
=
∑
k
=
0
n
sin
(
k
θ
+
φ
)
{\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}\sin(k\theta +\varphi )}
ont les expressions closes suivantes, pour
θ
≠
0
mod
2
π
{\displaystyle \theta \neq 0\mod 2\pi }
:
C
n
=
sin
(
(
n
+
1
)
θ
2
)
sin
θ
2
cos
(
n
θ
2
+
φ
)
,
S
n
=
sin
(
(
n
+
1
)
θ
2
)
sin
θ
2
sin
(
n
θ
2
+
φ
)
{\displaystyle C_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\cos \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right),\ S_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\sin \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right)}
.
On démontre ces formules en remarquant que
C
n
+
i
S
n
=
e
i
φ
∑
k
=
0
n
(
e
i
θ
)
k
{\displaystyle C_{n}+iS_{n}={\rm {e}}^{{\rm {i}}\varphi }\sum _{k=0}^{n}({\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta })^{k}}
et en utilisant les sommes de suites géométriques , ou en multipliant par
sin
θ
2
{\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}}
et en linéarisant.
On en déduit que
S
n
C
n
=
tan
(
n
θ
2
+
φ
)
{\displaystyle {\frac {S_{n}}{C_{n}}}=\tan \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right)}
.
Pour
θ
=
0
mod
2
π
{\displaystyle \theta =0\mod 2\pi }
,
C
n
=
(
n
+
1
)
cos
φ
,
S
n
=
(
n
+
1
)
sin
φ
{\displaystyle C_{n}=(n+1)\cos \varphi ,\,S_{n}=(n+1)\sin \varphi }
.
Ces formules permettent d'exprimer le noyau de Dirichlet Dn , fonction définie par :
pour tout réel x ,
D
n
(
x
)
=
1
+
2
cos
(
x
)
+
2
cos
(
2
x
)
+
2
cos
(
3
x
)
+
⋯
+
2
cos
(
n
x
)
=
sin
(
(
n
+
1
2
)
x
)
sin
(
x
/
2
)
{\displaystyle D_{n}(x)=1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}}
Le produit de convolution de n'importe quelle fonction de carré intégrable et de période 2π avec le noyau de Dirichlet coïncide avec la somme d'ordre n de sa série de Fourier .
Ce sont les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente.
y
=
arcsin
x
⇔
x
=
sin
y
avec
y
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle y=\arcsin x\Leftrightarrow x=\sin y\quad {\text{avec}}\quad y\in \left[{\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]}
y
=
arccos
x
⇔
x
=
cos
y
avec
y
∈
[
0
,
π
]
{\displaystyle y=\arccos x\Leftrightarrow x=\cos y\quad {\text{avec}}\quad y\in \left[0,\pi \right]}
y
=
arctan
x
⇔
x
=
tan
y
avec
y
∈
]
−
π
2
,
π
2
[
{\displaystyle y=\arctan x\Leftrightarrow x=\tan y\quad {\text{avec}}\quad y\in \left]{\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right[}
Si
x
>
0
{\displaystyle x>0}
alors
arctan
x
+
arctan
1
x
=
π
2
{\displaystyle \arctan x+\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}}
.
Si
x
<
0
{\displaystyle x<0}
alors
arctan
x
+
arctan
1
x
=
−
π
2
{\displaystyle \arctan x+\arctan {\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}}
.
On a également l'identité suivante :
arctan
x
+
arctan
y
=
arctan
x
+
y
1
−
x
y
+
k
π
{\displaystyle \arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+k\pi }
où
k
=
0
si
x
y
<
1
{\displaystyle k=0\quad {\text{si}}\quad xy<1}
k
=
1
si
x
y
>
1
et
x
>
0
{\displaystyle k=1\quad {\text{si}}\quad xy>1\quad {\text{et}}\quad x>0}
k
=
−
1
si
x
y
>
1
et
x
<
0
{\displaystyle k=-1\quad {\text{si}}\quad xy>1\quad {\text{et}}\quad x<0}
.
Beaucoup d'identités similaires aux suivantes peuvent être obtenues à partir du théorème de Pythagore .
Relations entre fonctions trigonométriques réciproques
arcsin
arccos
arctan
arccot
arcsin
arcsin
x
=
π
2
−
arccos
x
{\displaystyle \arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x}
arcsin
x
=
arctan
x
1
−
x
2
{\displaystyle \arcsin x=\arctan {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arcsin
x
=
arccot
1
−
x
2
x
{\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arccot} {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
arccos
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
{\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}
arccos
x
=
{
π
+
arctan
1
−
x
2
x
,
si
x
<
0
arctan
1
−
x
2
x
,
si
x
>
0
{\displaystyle \arccos x={\begin{cases}\pi +\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},{\text{si }}x<0\\\quad \;\;\;\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},{\text{si }}x>0\end{cases}}}
arccos
x
=
arccot
x
1
−
x
2
{\displaystyle \arccos x=\operatorname {arccot} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arctan
arctan
x
=
arcsin
x
1
+
x
2
{\displaystyle \arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
arctan
x
=
{
−
arccos
1
1
+
x
2
,
si
x
<
0
+
arccos
1
1
+
x
2
,
si
x
>
0
{\displaystyle \arctan x={\begin{cases}-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{si }}x<0\\+\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{si }}x>0\end{cases}}}
arctan
x
=
{
π
+
arccot
1
x
,
si
x
<
0
arccot
1
x
,
si
x
>
0
{\displaystyle \arctan x={\begin{cases}\pi +\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}},{\text{si }}x<0\\\quad \;\;\;\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}},{\text{si }}x>0\end{cases}}}
arccot
arccot
x
=
{
π
−
arcsin
1
1
+
x
2
,
si
x
<
0
arcsin
1
1
+
x
2
,
si
x
>
0
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\begin{cases}\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{si }}x<0\\\quad \;\;\;\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},{\text{si }}x>0\end{cases}}}
arccot
x
=
arccos
x
1
+
x
2
{\displaystyle \operatorname {arccot} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
arccot
x
=
{
π
+
arctan
1
x
,
si
x
<
0
arctan
1
x
,
si
x
>
0
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\begin{cases}\pi +\arctan {\frac {1}{x}},{\text{si }}x<0\\\quad \;\;\;\arctan {\frac {1}{x}},{\text{si }}x>0\end{cases}}}
Relations de composition
arcsin
arccos
arctan
arccot
sin
sin
arccos
x
=
1
−
x
2
{\displaystyle \sin \arccos x={\sqrt {1-x^{2}}}}
sin
arctan
x
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \sin \arctan x={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
sin
arccot
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \sin \operatorname {arccot} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
cos
cos
arcsin
x
=
1
−
x
2
{\displaystyle \cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}}
cos
arctan
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \cos \arctan x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
cos
arccot
x
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \cos \operatorname {arccot} x={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
tan
tan
arcsin
x
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \tan \arcsin x={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
tan
arccos
x
=
1
−
x
2
x
{\displaystyle \tan \arccos x={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
tan
arccot
x
=
1
x
{\displaystyle \tan \operatorname {arccot} x={\frac {1}{x}}}
cot
cot
arcsin
x
=
1
−
x
2
x
{\displaystyle \cot \arcsin x={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
cot
arccos
x
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \cot \arccos x={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
cot
arctan
x
=
1
x
{\displaystyle \cot \arctan x={\frac {1}{x}}}
Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.
Soit ABC un triangle, dans lequel on utilise les notations usuelles : d'une part α , β et γ pour les mesures des angles et, d'autre part, a , b et c pour les longueurs des côtés respectivement opposés à ces angles (voir figure ci-contre). Alors on a :
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
.
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos \ \gamma .}
En notant de plus S l'aire du triangle et R le rayon de son cercle circonscrit (voir figure ci-contre), on a :
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
=
a
b
c
2
S
=
2
R
.
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R.}
D'autre part, S est le produit du demi-périmètre p = a + b + c / 2 par le rayon r du cercle inscrit .
a
−
b
c
=
sin
α
−
β
2
cos
γ
2
e
t
a
+
b
c
=
cos
α
−
β
2
sin
γ
2
{\displaystyle {\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}\quad {\rm {et}}\quad {\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}}
.
a
−
b
a
+
b
=
tan
α
−
β
2
tan
α
+
β
2
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}}
.
cot
α
2
=
p
−
a
r
{\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {p-a}{r}}}
.
En utilisant le fait que
α
+
β
+
γ
=
π
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi }
on obtient de nombreuses relations trigonométriques, dont par exemple :
tan
α
+
tan
β
+
tan
γ
=
tan
α
tan
β
tan
γ
{\displaystyle \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }
sin
2
α
+
sin
2
β
+
sin
2
γ
=
4
sin
α
sin
β
sin
γ
{\displaystyle \sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }
cos
20
∘
⋅
cos
40
∘
⋅
cos
80
∘
=
1
8
{\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\tfrac {1}{8}}}
.
Une telle identité est un exemple d'identité qui ne contient pas de variable ; elle s'obtient à partir de l'égalité :
∏
j
=
0
k
−
1
cos
(
2
j
x
)
=
sin
(
2
k
x
)
2
k
sin
x
{\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin x}}}
.
cos
36
∘
+
cos
108
∘
=
cos
π
5
+
cos
3
π
5
=
1
2
.
{\displaystyle \cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{5}}+\cos 3{\frac {\pi }{5}}={\frac {1}{2}}.}
cos
24
∘
+
cos
48
∘
+
cos
96
∘
+
cos
168
∘
=
cos
2
π
15
+
cos
2
2
π
15
+
cos
4
2
π
15
+
cos
7
2
π
15
=
1
2
.
{\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }=\cos {\frac {2\pi }{15}}+\cos 2{\frac {2\pi }{15}}+\cos 4{\frac {2\pi }{15}}+\cos 7{\frac {2\pi }{15}}={\frac {1}{2}}.}
cos
2
π
21
+
cos
2
2
π
21
+
cos
4
2
π
21
+
cos
5
2
π
21
+
cos
8
2
π
21
+
cos
10
2
π
21
=
1
2
.
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos 2{\frac {2\pi }{21}}+\cos 4{\frac {2\pi }{21}}+\cos 5{\frac {2\pi }{21}}+\cos 8{\frac {2\pi }{21}}+\cos 10{\frac {2\pi }{21}}={\frac {1}{2}}.}
Les facteurs 1, 2, 4, 5, 8, 10 sont les entiers inférieurs à 21/2 qui n'ont pas de facteur commun avec 21.
Ces exemples sont des conséquences d'un résultat de base sur les polynômes cyclotomiques ; les cosinus sont les parties réelles des racines de ces polynômes ; la somme des zéros donne la valeur de la fonction de Möbius en 21 (dans le tout dernier cas qui précède) ; seulement la moitié des racines sont présentes dans ces relations.
Dans cet article , on trouvera des identités faisant intervenir l'angle
π
7
{\displaystyle {\frac {\pi }{7}}}
, comme
cos
π
7
−
cos
2
π
7
+
cos
3
π
7
=
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}-\cos {\frac {2\pi }{7}}+\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{2}}}
et dans celui-ci , des identités faisant intervenir l'angle
π
9
{\displaystyle \pi \over 9}
, comme
cos
π
9
−
cos
2
π
9
+
cos
4
π
9
=
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}-\cos {\frac {2\pi }{9}}+\cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{2}}}
.
Autres identités classiques[ N 4] :
∏
k
=
1
n
−
1
tan
k
π
2
n
=
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{2n}}=1}
, dont on déduit
tan
1
∘
tan
2
∘
.
.
.
tan
89
∘
=
1
{\displaystyle \tan 1^{\circ }\tan 2^{\circ }...\tan 89^{\circ }=1}
.
∑
k
=
1
n
sin
2
k
π
n
=
n
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\sin ^{2}{k{\frac {\pi }{n}}}={\frac {n}{2}}}
, dont on déduit
sin
2
1
∘
+
sin
2
2
∘
+
⋯
+
sin
2
89
∘
=
cos
2
1
∘
+
cos
2
2
∘
+
⋯
+
cos
2
89
∘
=
89
/
2
{\displaystyle \sin ^{2}1^{\circ }+\sin ^{2}2^{\circ }+\cdots +\sin ^{2}89^{\circ }=\cos ^{2}1^{\circ }+\cos ^{2}2^{\circ }+\cdots +\cos ^{2}89^{\circ }=89/2}
.
∏
k
=
1
n
−
1
sin
k
π
n
=
n
2
n
−
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}}
, dont on déduit
sin
1
∘
sin
2
∘
.
.
.
sin
89
∘
=
cos
1
∘
cos
2
∘
.
.
.
cos
89
∘
=
180
2
179
{\displaystyle \sin 1^{\circ }\sin 2^{\circ }...\sin 89^{\circ }=\cos 1^{\circ }\cos 2^{\circ }...\cos 89^{\circ }={\sqrt {\frac {180}{2^{179}}}}}
.
En analyse , il est essentiel que les angles qui apparaissent comme arguments de fonctions trigonométriques soient mesurés en radians ; s'ils sont mesurés en degrés ou dans n'importe quelle autre unité, alors les relations reportées ci-dessous deviennent fausses.
Détails
L'argument géométrique[ 11] consiste (cf. figure ci-contre) à encadrer l'aire d'un secteur circulaire du disque unité, d'angle θ = x , par celle de deux triangles :
l'aire du triangle OAD, contenu dans le secteur, vaut sin θ/2 ;
celle du secteur vaut par définition θ/2 ;
celle du triangle OCD, qui le contient, vaut tan θ/2 .
La preuve analytique consiste à considérer un réel y (fourni par le théorème des accroissements finis) tel que
0
<
y
<
x
et
sin
x
x
=
sin
′
y
=
cos
y
{\displaystyle 0<y<x{\text{ et }}{\frac {\sin x}{x}}=\sin 'y=\cos y}
et à remarquer que
cos
x
<
cos
y
<
1.
{\displaystyle \cos x<\cos y<1.}
Cet encadrement est souvent utilisé ; deux exemples en sont la méthode d'Archimède pour le calcul du nombre π (voir quadrature du cercle ) et le problème de Bâle .
En changeant x en arctan x , on obtient :
∀
x
>
0
x
1
+
x
2
<
arctan
x
<
x
.
{\displaystyle \forall x>0\quad {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}<\arctan x<x.}
En changeant x en arcsin x , on obtient :
∀
x
∈
]
0
,
1
[
x
<
arcsin
x
<
x
1
−
x
2
.
{\displaystyle \forall x\in \left]0,1\right[\quad x<\arcsin x<{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
Cet encadrement peut servir par dérivation à montrer que les fonctions
x
↦
sin
x
x
{\displaystyle x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}
(sinus cardinal ) et
x
↦
tan
x
x
{\displaystyle x\mapsto {\frac {\tan x}{x}}}
sont respectivement strictement décroissante et strictement croissante sur
]
0
,
π
/
2
[
{\displaystyle ]0,\pi /2[}
, ce qui équivaut à l'encadrement (parfois dénommé inégalité d'Aristarque ) :
∀
α
>
β
∈
]
0
,
π
2
[
sin
α
sin
β
<
α
β
<
tan
α
tan
β
.
{\displaystyle \forall \alpha >\beta \in \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[\quad {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.}
Les dérivées de sin et cos peuvent se déduire l'une de l'autre par décalage de π/2 . Elles sont :
sin
′
=
cos
,
cos
′
=
−
sin
.
{\displaystyle \sin '=\cos ,\quad \cos '=-\sin .}
Exemples de démonstrations
Si les fonctions trigonométriques sont définies géométriquement, on se convainc d'abord de l'encadrement ci-dessus, dont on déduit immédiatement (grâce au théorème des gendarmes )
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1.
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}
Cette limite permet de calculer les dérivées de sin et cos , à partir de la définition du nombre dérivé comme limite d'un taux d'accroissement , en transformant la différence en produit dans le numérateur de ce taux.
Si les fonctions trigonométriques sont définies analytiquement, alors les dérivées peuvent être obtenues en dérivant les séries entières terme à terme.
Les autres fonctions trigonométriques peuvent être dérivées en utilisant les identités précédentes et les règles de dérivation . Par exemple :
tan
′
=
1
+
tan
2
=
1
cos
2
=
sec
2
,
{\displaystyle \tan '=1+\tan ^{2}={\frac {1}{\cos ^{2}}}=\sec ^{2},}
cot
′
=
−
1
−
cot
2
=
−
1
sin
2
=
−
csc
2
,
{\displaystyle \cot '=-1-\cot ^{2}=-{\frac {1}{\sin ^{2}}}=-\csc ^{2},}
arcsin
′
(
x
)
=
1
1
−
x
2
,
{\displaystyle \arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},}
arccos
′
=
−
arcsin
′
,
{\displaystyle \arccos '=-\arcsin ',}
arctan
′
(
x
)
=
1
1
+
x
2
.
{\displaystyle \arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}.}
Les identités sur les intégrales peuvent être trouvées dans la table des primitives de fonctions trigonométriques .
Fonctions trigonométriques
Écriture
Expression
Ensemble de départ
Ensemble d'arrivée
Dérivée
Argument complexe
sin
x
{\displaystyle \sin x}
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
{\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}{2\,\mathrm {i} }}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle [-1;1]}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
sin
(
i
x
)
=
i
sinh
x
{\displaystyle \sin \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {sinh} x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
e
i
x
+
e
−
i
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}{2}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle [-1;1]}
−
sin
x
{\displaystyle -\sin x}
cos
(
i
x
)
=
cosh
x
{\displaystyle \cos \left(\mathrm {i} x\right)=\operatorname {cosh} x}
tan
x
{\displaystyle \tan x}
i
1
−
e
2
i
x
1
+
e
2
i
x
{\displaystyle \mathrm {i} {\frac {1-\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,x}}{1+\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,x}}}}
R
∖
{
π
2
+
p
π
}
,
p
∈
Z
{\displaystyle \mathbb {R} \backslash \left\{{\tfrac {\pi }{2}}+p\,\pi \right\}\;,\;p\in \mathbb {Z} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
1
+
tan
2
x
=
1
cos
2
x
{\displaystyle 1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}
tan
(
i
x
)
=
i
tanh
x
{\displaystyle \tan \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {tanh} x}
cot
x
{\displaystyle \cot x}
i
e
2
i
x
+
1
e
2
i
x
−
1
{\displaystyle \mathrm {i} {\frac {\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,x}+1}{\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,x}-1}}}
R
∖
{
p
π
}
,
p
∈
Z
{\displaystyle \mathbb {R} \backslash \left\{p\,\pi \right\}\;,\;p\in \mathbb {Z} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
−
(
1
+
cot
2
x
)
=
−
1
sin
2
x
{\displaystyle -\left(1+\cot ^{2}x\right)=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}
cot
(
i
x
)
=
−
i
coth
x
{\displaystyle \cot \left(\mathrm {i} x\right)=-\mathrm {i} \operatorname {coth} x}
sec
x
{\displaystyle \sec x}
2
e
i
x
+
e
−
i
x
{\displaystyle {\frac {2}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}}}
R
∖
{
π
2
+
p
π
}
,
p
∈
Z
{\displaystyle \mathbb {R} \backslash \left\{{\tfrac {\pi }{2}}+p\,\pi \right\}\;,\;p\in \mathbb {Z} }
R
∖
]
−
1
;
1
[
{\displaystyle \mathbb {R} \backslash ]-1;1[}
sin
x
cos
2
x
=
sin
x
⋅
tan
x
{\displaystyle {\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sin x\cdot \tan x}
sec
(
i
x
)
=
sech
x
{\displaystyle \sec \left(\mathrm {i} x\right)=\operatorname {sech} x}
csc
x
{\displaystyle \csc x}
2
i
e
i
x
−
e
−
i
x
{\displaystyle {\frac {2\,\mathrm {i} }{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}}}
R
∖
{
p
π
}
,
p
∈
Z
{\displaystyle \mathbb {R} \backslash \left\{p\,\pi \right\}\;,\;p\in \mathbb {Z} }
R
∖
]
−
1
;
1
[
{\displaystyle \mathbb {R} \backslash ]-1;1[}
−
cos
x
sin
2
x
=
−
cos
x
⋅
cot
x
{\displaystyle -{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-\cos x\cdot \cot x}
csc
(
i
x
)
=
−
i
csch
x
{\displaystyle \csc \left(\mathrm {i} x\right)=-\mathrm {i} \operatorname {csch} x}
Fonctions trigonométriques réciproques
Écriture
Expression
Ensemble de départ
Ensemble d'arrivée
Dérivée
Argument complexe
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin x}
i
ln
(
1
−
x
2
−
i
x
)
{\displaystyle \mathrm {i} \ln \left({\sqrt {1-x^{2}}}-\mathrm {i} x\right)}
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle [-1;1]}
[
−
π
2
;
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right]}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arcsin
(
i
x
)
=
i
arsinh
x
{\displaystyle \arcsin \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {arsinh} x}
arccos
x
{\displaystyle \arccos x}
i
ln
(
x
−
i
1
−
x
2
)
{\displaystyle \mathrm {i} \ln \left(x-\mathrm {i} {\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle [-1;1]}
[
0
;
π
]
{\displaystyle \left[0;\pi \right]}
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arccos
(
i
x
)
=
π
2
−
i
arsinh
x
{\displaystyle \arccos \left(\mathrm {i} x\right)={\tfrac {\pi }{2}}-\mathrm {i} \operatorname {arsinh} x}
arctan
x
{\displaystyle \arctan x}
i
2
ln
1
−
i
x
1
+
i
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {1-\mathrm {i} \,x}{1+\mathrm {i} \,x}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
]
−
π
2
;
π
2
[
{\displaystyle \left]-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right[}
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}
arctan
(
i
x
)
=
i
artanh
x
{\displaystyle \arctan \left(\mathrm {i} x\right)=\mathrm {i} \operatorname {artanh} x}
arccot
x
{\displaystyle \operatorname {arccot} x}
i
2
ln
x
−
i
x
+
i
{\displaystyle {\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {x-\mathrm {i} }{x+\mathrm {i} }}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
]
0
;
π
[
{\displaystyle \left]0;\pi \right[}
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}}
arccot
(
i
x
)
=
−
i
arcoth
x
{\displaystyle \operatorname {arccot} \left(\mathrm {i} x\right)=-\mathrm {i} \operatorname {arcoth} x}
arcsec
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec} x}
i
ln
(
1
x
−
i
1
−
1
x
2
)
{\displaystyle \mathrm {i} \ln \left({\tfrac {1}{x}}-\mathrm {i} {\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)}
R
∖
]
−
1
;
1
[
{\displaystyle \mathbb {R} \backslash ]-1;1[}
[
0
;
π
2
[
∪
]
π
2
;
π
]
{\displaystyle \left[0;{\tfrac {\pi }{2}}\right[\cup \left]{\tfrac {\pi }{2}};\pi \right]}
1
x
2
1
−
1
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}}}}
arcsec
(
i
x
)
=
π
2
+
i
arcsch
x
{\displaystyle \operatorname {arcsec} \left(\mathrm {i} x\right)={\tfrac {\pi }{2}}+\mathrm {i} \operatorname {arcsch} x}
arccsc
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc} x}
i
ln
(
1
−
1
x
2
−
i
x
)
{\displaystyle \mathrm {i} \ln \left({\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}-{\tfrac {\mathrm {i} }{x}}\right)}
R
∖
]
−
1
;
1
[
{\displaystyle \mathbb {R} \backslash ]-1;1[}
[
−
π
2
;
0
[
∪
]
0
;
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}};0\right[\cup \left]0;{\tfrac {\pi }{2}}\right]}
−
1
x
2
1
−
1
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}}
arccsc
(
i
x
)
=
−
i
arcsch
x
{\displaystyle \operatorname {arccsc} \left(\mathrm {i} x\right)=-\mathrm {i} \operatorname {arcsch} x}
Démonstration
x
=
sin
y
=
e
i
y
−
e
−
i
y
2
i
⇒
e
2
i
y
−
2
i
x
e
i
y
−
1
=
0
⇒
y
=
−
i
ln
(
i
x
±
1
−
x
2
)
arcsin
x
∈
[
−
π
2
;
π
2
]
}
⇒
arcsin
x
=
−
i
ln
(
i
x
+
1
−
x
2
)
=
i
ln
(
1
−
x
2
−
i
x
)
{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\sin y={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,y}}{2\,\mathrm {i} }}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,\mathrm {i} \,y}-2\,\mathrm {i} \,x\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}-1=0\Rightarrow y=-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} x\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \arcsin x\in \left[-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right]\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \arcsin x=-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)=\mathrm {i} \ln \left({\sqrt {1-x^{2}}}-\mathrm {i} x\right)}
x
=
cos
y
=
e
i
y
+
e
−
i
y
2
⇒
e
2
i
y
−
2
x
e
i
y
+
1
=
0
⇒
y
=
−
i
ln
(
x
±
i
1
−
x
2
)
arccos
x
∈
[
0
;
π
]
}
⇒
arccos
x
=
−
i
ln
(
x
+
i
1
−
x
2
)
=
i
ln
(
x
−
i
1
−
x
2
)
{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\cos y={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,y}}{2}}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,\mathrm {i} \,y}-2\;\;x\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}+1=0\Rightarrow y=-\mathrm {i} \ln \left(x\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-x^{2}}}\right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \arccos x\in \left[0;\pi \right]\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \arccos x=-\mathrm {i} \ln \left(x+\mathrm {i} {\sqrt {1-x^{2}}}\right)=\mathrm {i} \ln \left(x-\mathrm {i} {\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
x
=
tan
y
=
i
1
−
e
2
i
y
1
+
e
2
i
y
⇒
e
2
i
y
=
i
−
x
i
+
x
⇒
y
=
−
i
2
ln
i
−
x
i
+
x
=
i
2
ln
1
−
i
x
1
+
i
x
⇒
arctan
x
=
i
2
ln
1
−
i
x
1
+
i
x
{\displaystyle \,x=\tan y=\mathrm {i} {\frac {1-\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,y}}{1+\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,y}}}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,\mathrm {i} \,y}={\frac {\mathrm {i} -x}{\mathrm {i} +x}}\Rightarrow y=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {\mathrm {i} -x}{\mathrm {i} +x}}={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {1-\mathrm {i} x}{1+\mathrm {i} x}}\Rightarrow \arctan x={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {1-\mathrm {i} x}{1+\mathrm {i} x}}}
x
=
cot
y
=
i
e
2
i
y
+
1
e
2
i
y
−
1
⇒
e
2
i
y
=
x
+
i
x
−
i
⇒
y
=
−
i
2
ln
x
+
i
x
−
i
=
i
2
ln
x
−
i
x
+
i
⇒
arccot
x
=
i
2
ln
x
−
i
x
+
i
{\displaystyle \,x=\cot y=\mathrm {i} {\frac {\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,y}+1}{\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \,y}-1}}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,\mathrm {i} \,y}={\frac {x+\mathrm {i} }{x-\mathrm {i} }}\Rightarrow y=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {x+\mathrm {i} }{x-\mathrm {i} }}={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {x-\mathrm {i} }{x+\mathrm {i} }}\Rightarrow \operatorname {arccot} x={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln {\frac {x-\mathrm {i} }{x+\mathrm {i} }}}
x
=
sec
y
=
2
e
i
y
+
e
−
i
y
⇒
x
e
2
i
y
−
2
e
i
y
+
x
=
0
⇒
y
=
−
i
ln
(
1
x
±
i
1
−
1
x
2
)
arcsec
x
∈
[
0
;
π
]
}
⇒
arcsec
x
=
−
i
ln
(
1
x
+
i
1
−
1
x
2
)
=
i
ln
(
1
x
−
i
1
−
1
x
2
)
{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\sec y={\frac {2}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,y}}}\Rightarrow x\,\mathrm {e} ^{2\,\mathrm {i} \,y}-2\;\;\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}+x=0\Rightarrow y=-\mathrm {i} \ln \left({\frac {1}{x}}\pm \mathrm {i} {\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \operatorname {arcsec} x\in [0;\pi ]\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \operatorname {arcsec} x=-\mathrm {i} \ln \left({\frac {1}{x}}+\mathrm {i} {\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)=\mathrm {i} \ln \left({\frac {1}{x}}-\mathrm {i} {\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)}
x
=
csc
y
=
2
i
e
i
y
−
e
−
i
y
⇒
x
e
2
i
y
−
2
i
e
i
y
−
x
=
0
⇒
y
=
−
i
ln
(
i
x
±
1
−
1
x
2
)
arccsc
x
∈
[
−
π
2
;
π
2
]
}
⇒
arccsc
x
=
−
i
ln
(
1
−
1
x
2
+
i
x
)
=
i
ln
(
1
−
1
x
2
−
i
x
)
{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\csc y={\frac {2\,\mathrm {i} }{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,y}}}\Rightarrow x\,\mathrm {e} ^{2\,\mathrm {i} \,y}-2\,\mathrm {i} \,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,y}-x=0\Rightarrow y=-\mathrm {i} \ln \left({\frac {\mathrm {i} }{x}}\pm {\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {arccsc} x\in \left[-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right]\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \operatorname {arccsc} x=-\mathrm {i} \ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {\mathrm {i} }{x}}\right)=\mathrm {i} \ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}-{\frac {\mathrm {i} }{x}}\right)}
Fonctions hyperboliques
Écriture
Expression
Ensemble de départ
Ensemble d'arrivée
Dérivée
Argument complexe
sinh
x
=
sh
x
{\displaystyle \operatorname {sinh} x=\operatorname {sh} x}
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle {\frac {{\mathrm {e} }^{x}-{\mathrm {e} }^{-x}}{2}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
cosh
x
{\displaystyle \operatorname {cosh} x}
sinh
(
i
x
)
=
i
sin
x
{\displaystyle \operatorname {sinh} (\mathrm {i} x)=\mathrm {i} \sin x}
cosh
x
=
ch
x
{\displaystyle \operatorname {cosh} x=\operatorname {ch} x}
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle {\frac {{\mathrm {e} }^{x}+{\mathrm {e} }^{-x}}{2}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
[
1
;
∞
[
{\displaystyle [1;\infty [}
sinh
x
{\displaystyle \operatorname {sinh} x}
cosh
(
i
x
)
=
cos
x
{\displaystyle \operatorname {cosh} (\mathrm {i} x)=\cos x}
tanh
x
=
th
x
{\displaystyle \operatorname {tanh} x=\operatorname {th} x}
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
{\displaystyle {\frac {{\mathrm {e} }^{2x}-1}{{\mathrm {e} }^{2x}+1}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
]
−
1
;
1
[
{\displaystyle ]-1;1[}
1
cosh
2
x
=
1
−
tanh
2
x
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {cosh} ^{2}x}}=1-\operatorname {tanh} ^{2}x}
tanh
(
i
x
)
=
i
tan
x
{\displaystyle \operatorname {tanh} (\mathrm {i} x)=\mathrm {i} \tan x}
coth
x
{\displaystyle \operatorname {coth} x}
e
2
x
+
1
e
2
x
−
1
{\displaystyle {\frac {{\mathrm {e} }^{2x}+1}{{\mathrm {e} }^{2x}-1}}}
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
R
∖
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle \mathbb {R} \backslash [-1;1]}
−
1
sinh
2
x
=
1
−
coth
2
x
{\displaystyle -{\frac {1}{\operatorname {sinh} ^{2}x}}=1-\operatorname {coth} ^{2}x}
coth
(
i
x
)
=
−
i
cot
x
{\displaystyle \operatorname {coth} (\mathrm {i} x)=-\mathrm {i} \cot x}
sech
x
{\displaystyle \operatorname {sech} x}
2
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle {\frac {2}{{\mathrm {e} }^{x}+{\mathrm {e} }^{-x}}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
]
0
;
1
]
{\displaystyle ]0;1]}
−
sinh
x
cosh
2
x
{\displaystyle -{\frac {\operatorname {sinh} x}{\operatorname {cosh} ^{2}x}}}
sech
(
i
x
)
=
sec
x
{\displaystyle \operatorname {sech} (\mathrm {i} x)=\sec x}
csch
x
{\displaystyle \operatorname {csch} x}
2
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle {\frac {2}{{\mathrm {e} }^{x}-{\mathrm {e} }^{-x}}}}
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
−
cosh
x
sinh
2
x
{\displaystyle -{\frac {\operatorname {cosh} x}{\operatorname {sinh} ^{2}x}}}
csch
(
i
x
)
=
−
i
csc
x
{\displaystyle \operatorname {csch} (\mathrm {i} x)=-\mathrm {i} \csc x}
Fonctions hyperboliques réciproques
Écriture
Expression
Ensemble de départ
Ensemble d'arrivée
Dérivée
Argument complexe
arsinh
x
=
argsh
x
{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {argsh} x}
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
arsinh
(
i
x
)
=
i
arcsin
x
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (\mathrm {i} x)=\mathrm {i} \arcsin x}
arcosh
x
=
argch
x
{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\operatorname {argch} x}
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
[
1
;
∞
[
{\displaystyle [1;\infty [}
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
arcosh
(
i
x
)
=
arsinh
x
+
i
π
2
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (\mathrm {i} x)=\operatorname {arsinh} x+\mathrm {i} {\tfrac {\pi }{2}}}
[ N 5] , [ 12]
artanh
x
=
argth
x
{\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {argth} x}
1
2
ln
1
+
x
1
−
x
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}}
]
−
1
;
1
[
{\displaystyle ]-1;1[}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}
artanh
(
i
x
)
=
i
arctan
x
{\displaystyle \operatorname {artanh} (\mathrm {i} x)=\mathrm {i} \arctan x}
arcoth
x
=
argcoth
x
{\displaystyle \operatorname {arcoth} x=\operatorname {argcoth} x}
1
2
ln
x
+
1
x
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}}
R
∖
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle \mathbb {R} \backslash [-1;1]}
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}
arcoth
(
i
x
)
=
−
i
arccot
x
{\displaystyle \operatorname {arcoth} (\mathrm {i} x)=-\mathrm {i} \operatorname {arccot} x}
arsech
x
=
argsech
x
{\displaystyle \operatorname {arsech} x=\operatorname {argsech} x}
ln
1
+
1
−
x
2
x
{\displaystyle \ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}}
]
0
;
1
]
{\displaystyle ]0;1]}
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
arsech
(
i
x
)
=
arcsch
x
−
i
π
2
{\displaystyle \operatorname {arsech} (\mathrm {i} x)=\operatorname {arcsch} x-\mathrm {i} {\tfrac {\pi }{2}}}
[ N 5] , [ 13]
arcsch
x
=
argcsch
x
{\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\operatorname {argcsch} x}
ln
1
+
1
+
x
2
x
{\displaystyle \ln {\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}}
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
−
1
x
1
+
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{x{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
arcsch
(
i
x
)
=
−
i
arccsc
x
{\displaystyle \operatorname {arcsch} (\mathrm {i} x)=-\mathrm {i} \operatorname {arccsc} x}
Démonstration
x
=
sinh
y
=
e
y
−
e
−
y
2
⇒
e
2
y
−
2
x
e
y
−
1
=
0
⇒
y
=
ln
(
x
±
x
2
+
1
)
x
±
x
2
+
1
⩾
0
}
⇒
arcsinh
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\sinh y={\frac {\mathrm {e} ^{y}-\mathrm {e} ^{-y}}{2}}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,y}-2\,x\,\mathrm {e} ^{y}-1=0\Rightarrow y=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x\pm {\sqrt {x^{2}+1}}\geqslant 0\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \operatorname {arcsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
x
=
cosh
y
=
e
y
+
e
−
y
2
⇒
e
2
y
−
2
x
e
y
+
1
=
0
⇒
y
=
ln
(
x
±
x
2
−
1
)
bijection :
arccosh
x
⩾
0
}
⇒
arccosh
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\cosh y={\frac {\mathrm {e} ^{y}+\mathrm {e} ^{-y}}{2}}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,y}-2\,x\,\mathrm {e} ^{y}+1=0\Rightarrow y=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\text{bijection : }}\operatorname {arccosh} x\geqslant 0\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \operatorname {arccosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
x
=
tanh
y
=
e
2
y
−
1
e
2
y
+
1
⇒
e
2
y
=
1
−
x
1
+
x
⇒
y
=
1
2
ln
1
−
x
1
+
x
⇒
arctanh
x
=
1
2
ln
1
−
x
1
+
x
{\displaystyle \,x=\tanh y={\frac {{\mathrm {e} }^{2y}-1}{{\mathrm {e} }^{2y}+1}}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,y}={\frac {1-x}{1+x}}\Rightarrow y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1-x}{1+x}}\Rightarrow \operatorname {arctanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1-x}{1+x}}}
x
=
coth
y
=
e
2
y
+
1
e
2
y
−
1
⇒
e
2
y
=
x
+
1
x
−
1
⇒
y
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1
⇒
arccoth
x
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1
{\displaystyle \,x=\coth y={\frac {{\mathrm {e} }^{2y}+1}{{\mathrm {e} }^{2y}-1}}\Rightarrow \mathrm {e} ^{2\,y}={\frac {x+1}{x-1}}\Rightarrow y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}\Rightarrow \operatorname {arccoth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}}
x
=
sech
y
=
2
e
y
+
e
−
y
⇒
x
e
2
y
−
2
e
y
+
x
=
0
⇒
y
=
ln
(
1
x
±
1
x
2
−
1
)
=
ln
1
±
1
−
x
2
x
1
±
1
−
x
2
x
⩾
1
⇔
1
−
x
⩾
∓
1
−
x
2
⇔
(
1
−
x
)
(
1
−
x
)
⩾
∓
(
1
−
x
)
(
1
+
x
)
}
⇒
arsech
x
=
ln
1
+
1
−
x
2
x
{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\operatorname {sech} y={\frac {2}{\mathrm {e} ^{y}+\mathrm {e} ^{-y}}}\Rightarrow x\,\mathrm {e} ^{2\,y}-2\,\mathrm {e} ^{y}+x=0\Rightarrow y=\ln \left({\frac {1}{x}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln {\frac {1\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\\\qquad {\frac {1\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\geqslant 1\Leftrightarrow 1-x\geqslant \mp {\sqrt {1-x^{2}}}\Leftrightarrow {\sqrt {\left(1-x\right)\left(1-x\right)}}\geqslant \mp {\sqrt {\left(1-x\right)\left(1+x\right)}}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \operatorname {arsech} x=\ln {\tfrac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}}
x
=
csch
y
=
2
e
y
−
e
−
y
⇒
x
e
2
y
−
2
e
y
−
x
=
0
⇒
y
=
ln
(
1
x
±
1
x
2
+
1
)
=
ln
1
±
1
+
x
2
x
1
x
±
1
x
2
+
1
>
0
}
⇒
{
arcsch
x
=
ln
(
1
x
+
1
x
2
+
1
)
=
ln
1
+
sgn
(
x
)
1
+
x
2
x
{\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=\operatorname {csch} y={\frac {2}{\mathrm {e} ^{y}-\mathrm {e} ^{-y}}}\Rightarrow x\,\mathrm {e} ^{2\,y}-2\,\mathrm {e} ^{y}-x=0\Rightarrow y=\ln \left({\frac {1}{x}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)=\ln {\frac {1\pm {\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {1}{x}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}>0\end{matrix}}\right\}\Rightarrow {\begin{cases}\operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)\\\qquad \quad \;\;\,=\ln {\frac {1+\operatorname {sgn} (x){\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\end{cases}}}
↑ Pour une démonstration du développement de tan(a + b ) , voir par exemple ce chapitre de la leçon « Trigonométrie » sur Wikiversité . Celui de cot(a + b ) se démontre de même.
↑ Voir « Loi des cotangentes » pour une utilisation.
↑ Sous réserve que t soit différent de ±1 , c'est-à-dire x ≠ π / 2 + k π .
↑ Voir plus généralement cette liste d'identités sur Wikiversité .
↑ a et b si le choix de la détermination de l'angle du logarithme complexe est
[
0
;
2
π
[
{\displaystyle [0;2\pi [}
, c.-à-d. si
ln
z
=
|
z
|
+
i
θ
{\displaystyle \ln z=|z|+\mathrm {i} \,\theta }
avec
θ
∈
[
0
;
2
π
[
{\displaystyle \theta \in [0;2\pi [}
↑ (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition ] (lire en ligne ) , p. 73, 4.3.45.
↑ Arthur Adam et Francis Lousberg, Espace Math 5e/6e , De Boeck, 2003 (lire en ligne ) , p. 144 .
↑ Lionel Porcheron, Le formulaire MPSI , MP , Dunod, 2008 , 4e éd. (lire en ligne ) , p. 178 .
↑ a et b Dany-Jack Mercier, L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques , vol. 2, Publibook, 2006 (lire en ligne ) , p. 168 .
↑ (en) Martin Erickson, Aha! Solutions , MAA , 2009 (lire en ligne ) , p. 30-31 .
↑ Collectif, Objectif Bac - Toutes les matières - Term STI2D , Hachette, 2014 (lire en ligne ) , p. 18 .
↑ Mercier 2006 , p. 169.
↑ « Formules de Carnot » (Adam et Lousberg 2003 , p. 143).
↑ a et b Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , Mathématiques Tout-en-un pour la Licence - Niveau L1 , Dunod, 2e éd. (lire en ligne ) , p. 676 .
↑ (en) Fred Richman , « A Circular Argument », The College Mathematics Journal (en) , vol. 24, no 2, mars 1993 , p. 160-162 (lire en ligne ) .
↑ Détaillé dans Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires sur Wikiversité .
↑
arcosh
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} \left(\mathrm {i} x\right)}
et
arsinh
x
{\displaystyle \operatorname {arsinh} x}
sur wolframalpha.com. La courbe correspond à
arcosh
(
i
x
)
=
sgn
x
⋅
(
arsinh
x
+
i
π
2
)
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (\mathrm {i} x)=\operatorname {sgn} x\cdot \left(\operatorname {arsinh} x+\mathrm {i} {\tfrac {\pi }{2}}\right)}
.
↑
arsech
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {arsech} \left(\mathrm {i} x\right)}
et
arcsch
x
{\displaystyle \operatorname {arcsch} x}
sur wolframalpha.com. La courbe correspond à
arsech
(
i
x
)
=
sgn
x
⋅
(
arcsch
x
−
i
π
2
)
{\displaystyle \operatorname {arsech} (\mathrm {i} x)=\operatorname {sgn} x\cdot \left(\operatorname {arcsch} x-\mathrm {i} {\tfrac {\pi }{2}}\right)}
.
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