Discussion:Théorème de l'image ouverte

Plusieurs variables

Bonjour, pourquoi se restreindre à une variable ? Liu (d) 25 janvier 2010 à 00:10 (CET)

Je suis pas spécialiste, mais les fonctions holomorphes à plusieurs variables n'ont pas beaucoup de rapport avec celles à une... Tu connais une généralisation, toi ?--Dfeldmann (d) 25 janvier 2010 à 00:20 (CET)

Moi non plus, mais intuitivement les fonctions holomorphes à plusieurs variables sont aussi ouvertes (j'en suis même sûr, mais il faudrait trouver une référence). Liu (d) 26 janvier 2010 à 02:18 (CET)

Tu veux dire celles (non constantes) de C^n vers C, je suppose. Oui, on dirait bien. Mais, je le répète, faut se méfier... Et je n'ai trouvé aucune référence nulle part--Dfeldmann (d) 26 janvier 2010 à 06:07 (CET)

Tu prends un point P dans le domaine de défintion et un point Q dans un disque ouvert centré en P contenu dans le domaine de définition, et tel que f prenne des valeurs différentes en P et Q, ensuite tu restreinds la fonction à la droite complexe passant par les deux points (intersectée avec le disque ouvert) et tu es en une variable. C'est forcément écrit quelque part. Liu (d) 26 janvier 2010 à 17:47 (CET)

Quand j'y pense, en plusieurs variables, le résultat est vrai pour les espaces analytiques complexes: si X est un fermé d'un ouvert de C^n défini comme l'ensemble des zéros communs d'un ensemble de fonctions holomorphes, alors toute applications homomorphes de X dans C, non constante sur aucune composante connexe de X, est ouverte. Si X est non-singulière, il n'y pas de problème, puisque localement X est comme un ouvert d'un C^d. Autour d'un point singulier, on peut y arriver en se fatiguant un peu (sans utiliser la désingularisation de Hironaka). Si je tombe sur une référence, je mettrai ce résultat. Liu (d) 21 février 2010 à 18:46 (CET)

Exemple

Je trouve que l'exemple x -> x^2 n'est pas vraiment pertinent pour souligner la différence entre holomorphe et C-infini. Si cette application n'est pas ouverte sur R, c'est à cause de la nature du corps R qui n'est pas algébriquement clos et pas à cause de la fonction. Liu (d) 4 février 2010 à 22:12 (CET)

Très discutable, ça. C'est essentiellement parce qu'un extremum local rend l'application non ouverte, et que les fonctions holomorphes ne peuvent en avoir. Après, dire que c'est parce que R n'est pas algébriquement clos...--Dfeldmann (d) 5 février 2010 à 02:50 (CET)

Oui mon exemple e^{-1/z^2} n'est pas bon car je voulais calquer sur l'exemple classique e^{-1/x^2}. Ton exemple z+\bar{z} est très bien. Il fait vraiment la différence entre analytique et C-infini. Parfait.

Pour z\to z^2, ce que je veux dire c'est que c'est une très belle fonction analytique, si elle n'est pas ouverte sur R, ce n'est pas la faute de la fonction, mais du corps R qui n'est pas assez gros. Pour attraper les valeurs négatives proches de 0, il aurait fallu pouvoir prendre la racine carré d'un nombre négatif. On peut aussi considérer des coprs complets pour une valeur absoule (corps des p-adiques Q_p par exemple), on a le même problème: la fonction z\to z^2 n'est pas ouverte si la valuation est discrète. On pourrait dire que Q_p est localement compact comme R, mais la situation est la même si on prend un corps de valuation discrète complet à corps résiduel infini (donc un corps non localement compact): les points de valuation impaires ne sont jamais dans l'image de z\to z^2 alors qu'ils peuvent être aussi proches que l'on veut de 0. La situation change si on passe à un corps complet et algébriquement clos: C ou C_p, les fonctions analytiques deviennent ouvertes car le corps est algébriquement clos. Est-ce que cela te parait plus sensé ? Liu (d) 5 février 2010 à 20:11 (CET)

Attends ; tu veux dire qu'on a un théorème de l'application ouverte dans C_p? (et en fait, il y a deux notions distinctes, là : la clôture algébrique de Q_p n'est pas complète ; C_p, en général, c'est le complété de cette clôture ; duquel des deux corps parles-tu?) Je suis pas assez compétent pour être sûr, mais ça me semble louche. Je vais en parler à mon expert de référence (Pierre Colmez)...--Dfeldmann (d) 6 février 2010 à 01:29 (CET)

Oui je parle du complété (c'est la définition de C_p), sinon on ne peut pas parler de fonctions analytiques. La théorie des fonctions holomorphes ne se transporte pas immédiatement dans ce cadre à cause de la totale disconnexité de C_p (une façon d'y remédier est d'utiliser la théorie de J. Tate, mais c'est une autre histoire). Pour l'application ouverte j'en suis sûr, mais je peux me faire abuser par l'intuition. Une référence est bien sûr la bienvenue. J'ai vu passer récemment un bouquin de P.C. sur les fonctions holomorphes (son cours à l'X), il me semble qu'il y a du p-adique dedans. Liu (d) 6 février 2010 à 08:42 (CET)

Y'en a ("Les tontons flingueurs"), mais c'est "accidentel" : en réalité, l'analyse p-adique, c'est son domaine de recherche, et je crois avoir compris qu'il y est assez fort. Bref, si quelqu'un sait, c'est lui... Je lui ai écrit ; on verra bien.--Dfeldmann (d) 6 février 2010 à 08:56 (CET)

Oui c'est l'un des meileurs dans ce sujet. Bon je me mouille un peu pour ne pas me faire traiter de glandeur. On prend une fonction analytique f sur un ouvert de C_p et un disque fermé D de rayon non nul contenu dans le domaine de définition et tel que f soit une série entière sur D, on suppose de plus que f n'est pas constante sur D (attention, comme C_p est totalement disconnexe, on ne peut pas faire mieux que ça). On va montrer que f(D) est un disque fermé de rayon non nul. Par homothétie et translation dans D, on peut supposer que D est le disque unité. Par une homothétie sur f, on peut supposer que la norme sup de f sur D est égale à 1. On écrit $f=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}.$ Dire que la série converge sur D revient à dire que les coefficients a_n tendent vers 0 (le charme de la valeur absolue non-archimédienne), et dire que f est de norme sup 1 revient à dire que la borne sup des |a_n| est égal à 1. Si |a_0|=1 > |a_n| pour tout n > 0, on translate f par a_0, on recalcule la norme et on refait une homothétie de sorte que f(0)=0 et que f soit de norme 1. Maitenant il existe au moins un coefficient a_n avec |a_n|=1 et n>0 (puisque a_0=0!). Soit d le plus grand entier >0 tel que |a_d|=1. On va montrer que f(D)=D. Soit c \in D. Alors f-c est de norme 1 et ses coefficients sont les mêmes que ceux de f à partir du rang 1. On remplace f par f-c et il s'agit de montrer que f a un zéro dans D. En fait f a exactement d zéros (avec multiplicité) dans D. Cela résulte du théorème de préparation de Weierstrass (cas d'une variable) qui dit que f est le produit d'une fonction polynomiale de degré d et de norme sup. 1 sur D et d'une fonction analytique inversible sur D. Pour le théorème de préparation, cf. Bosch, Güntzer, Remmert: Non-Archimedean Analysis, § 5.2.2, Thm 1. Liu (d) 6 février 2010 à 15:30 (CET)

Application

On peut légitimement se demander à quoi sert ce théorème. Cela illustre parfaitement le fait que l'on ne peut pas faire un article sur un théorème seul et qu'il faut y inclure des applications qui nécessitent d'élargir le propos. Le théorème de l'application ouverte n'a de sens qui si on l'applique pour démontrer le principe du maximum.Claudeh5 (d) 21 février 2010 à 21:11 (CET)

Oui ce serait une très bonne idée de donner cet exemple comme application. Mais tu es sûr que ça ne sert à rien d'autre, même en géométrie analytique complexe ? Par exemple en géométrie algébrique, ce type de résultat est très utile de façon générale. Liu (d) 22 février 2010 à 16:41 (CET)

Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites, théorème assurant l'existence d'une fonction log, théorème d'uniformisation locale, solutions analytique d'équation différentielles.Claudeh5 (d) 23 février 2010 à 12:50 (CET)

Je me suis sans doute mal exprimé, je pensais aux applications du théorème de l'image ouverte. Liu (d) 23 février 2010 à 19:07 (CET)

Plutôt renommages que fusion

Théorème de l'application ouverte (analyse complexe) et Théorème de l'image ouverte

Discussion transférée depuis WP:PàF

Le 1^er (créé plus récemment) est un doublon de 2^e, qui n'est pas interwikifié (je n'ai touché à rien pour pas affoler les robots). Le 2^e titre me semble préférable : c'est celui de Rudin, et ça limite la confusion avec le théorème de l'application ouverte. Anne Bauval (d) 2 décembre 2011 à 16:39 (CET)

OK. Ambigraphe, le 2 décembre 2011 à 22:49 (CET)

Pour. Liu (d) 4 décembre 2011 à 14:39 (CET)

Affinons l'idée

La preuve de Rudin est dans le 1^er. Le 2^e ne contient qu'un TI qui (en utilisant le principe du maximum, qui est un corollaire de ce théorème-ci) résout un exercice bien ultérieur du Rudin : rien à fusionner. Mon plan est donc :

• renommer le 2^e en Utilisateur:Nefbor Udofix/Théorème de l'image ouverte (en le prévenant)
• attendre que HyuBoT ait fait son travail quotidien pour que le titre "Théorème de l'image ouverte" devienne orphelin
• en faire une SI pour libérer ce titre
• renommer "Théorème de l'application ouverte (analyse complexe)" en "Théorème de l'image ouverte"

Anne Bauval (d) 6 décembre 2011 à 12:13 (CET)

Tiens donc, d'autres y pensaient déjà !

Discussion transférée depuis Projet:Mathématiques/Le Thé/Archives 7

"Théorème de l'image ouverte" et "Théorème de l'application ouverte (analyse complexe)" parlent exactement de la même chose. Une petite (in)fusion entre amis ? Liu (d) 22 février 2010 à 17:25 (CET)

Il y a surtout un sérieux problème: On ne peut pas utiliser le principe du maximum pour démontrer le théorème de l'application ouverte, puisque l'application du théorème de l'application ouverte c'est justement le principe du maximum !Claudeh5 (d) 22 février 2010 à 17:37 (CET)

Là tu parles de l'article "Théorème de l'image ouverte". Ce n'est pas mathématiquement faux puisque le principe du maximum peut se montrer par d'autres méthodes, mais ce n'est sûrement pas très naturel comme approche. Qu'est-ce que tu proposes ? Liu (d) 22 février 2010 à 18:08 (CET)