Discussion:Racine carrée de deux

première ligne

Que signifi: "La racine carrée de deux, notée √2, √2 ou 21/2, est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu’il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. C’est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10-9 près est 1,414213562" C'est la définition de toute racine!--Harbowl (d) 19 avril 2010 à 11:57 (CEST)

Ah bon ? veux-tu dire que sqrt(5) est "le seul nombre réel positif qui, lorsqu’il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2,..." et que "la valeur approchée de sqrt(5) est 1,414213562" ? La phrase est peut-être lourde, mais sans aucune ambigüité. Pour des lecteurs déjà plus avertis, il y a l'excellent article racine carrée, permettant toutes les généralisations souhaitables (nombres complexes, matrices, etc.)--Dfeldmann (d) 19 avril 2010 à 13:27 (CEST)

Archivage de la discussion

• Pour toute discussion relative aux soucis posés par la reprise de page de l'ouvrage de Benoît Rittaud "Le fabuleux destin de √2", à la violation de copyright conséquente, aux solutions apportées à celles-ci, à la possibilité de créer un article sur cet ouvrage, et sur tout thème annexe, voir la page dédiée Discuter:√2/Copyvio.

• Les archives de la discussion sur l'ancienne version de l'article est disponible sur Discuter:√2/ArchiveAout2006.

Ceci dans le but d'alléger cette page de discussion ayant atteint les 96 Ko et de se concentrer sur la nouvelle version de l'article.

--Dereckson 28 août 2006 à 04:11 (CEST)

Constante mathématique ?!?

L'article commence par "La racine carrée de deux (...) est une constante mathématique" gulps!!! Je ne vois vraiment pas pourquoi c'est une constante. C'est juste le résultat d'un calcul et effictivement le résultat d'un calcul ne varie pas. Mais ca n'a rien à voir avec une constante comme e, p ou i. D'ailleurs les constantes sont notées par une (ou plusieurs) lettre(s) et ne sont en aucun cas une formule. Parce que sinon cos(2+78) est une constante mathématique, et mon numéro de sécu également. Michel ouiki 27 août 2006 à 12:05 (CEST)

:D :o) Non, v2 est une contante, elle n'est pas notée par une lettre, certes, mais comme beaucoup de choses dépandent de lui, les mathématiciens lui ont récemment accordé ce grade. Bien sur v2 n'est pas de la trempe d'un p ou d'un f.

Amicalement, Rogilbert _@^@ @ ^@_@

Le terme constante mathématique ne me semble pas vraiment usité ; ça ressemble à une déformation de constante physique, dont on ne voit pas bien le but. Quels sont les mathématiciens qui accordent ou non le grade de constante à un nombre?Salle 27 août 2006 à 12:26 (CEST)

c'est un terme essentiellement relatif (constantes d'intégration), comme le montre l'expression succulente "variations des constantes" pour les équations différentielles. Je dirais de e, p ou i que ce sont des nombres remarquables (ce qui n'a pas vraiment de sens mais c'est une autre histoire)... Peps 27 août 2006 à 12:34 (CEST)

Btw, en informatique, on considère très souvent la racine carrée de deux est une constante dans les langages modernes (un exemple : M_SQRT2 en PHP) afin d'éviter de devoir recalculer ce nombre si fréquemment utilisé. Ne me faites pas dire ce que je n'ai pas dit, je ne me prononce nullement sur les constantes mathématiques. --Dereckson 27 août 2006 à 12:37 (CEST)

La Catégorie:Nombre remarquable existe et a un sens bien défini. Elle devrait lister des nombres réels ou complexes qui, par leur histoire ou leur impact en mathématiques, méritent un article. C'est en ce sens qu'ils sont remarquables (De même, groupe remarquable, fonction remarquable, ...).

Pour constante mathématique, la catégorie était classée avec constante physique ; donc je pense qu'à l'origine il faut entendre constante physique non dimensionnelle. Mais je ne sais pas trop quoi en penser. Ektoplastor, le 27 Août, 22:31

Je crois qu'Euler utilisait le terme de constante mathématiques (en remarquant notamment l'équation exp(ip)+1=0 utilisait les cinq constantes fondamentales et était donc la plus belle des équations) donc constante mathématique aurait un sens. Mais pour moi, toutes les non variables sont a priori des constantes (en gros on peut le definir par leur comportement en dérivabilité par exemple), enfin après c'est surtout une question de vocabulaire. --Darunia 28 août 2006 à 01:19 (CEST)

Pour soutenir mon point de vue, comparer Table de constantes mathématiques et Constante physique ; on voit que les constantes mathématiques sont définies comme des constantes physiques sans dimension :). Et racine carrée de deux apparait à cause peut-être des histoires d'intensité efficace !? Ektoplastor, 10:30

Point de vue de physicien, ça, donc non encyclopédique :). Pour moi, racine de deux entre tout à fait dans ta catégorie nombre remarquable telle que tu la définis.Salle 28 août 2006 à 10:43 (CEST)

Il est vrai que l'expression constante mathématique fait plutôt partie du jargon du physicien. Mais il y a aussi la constante $\gamma$ d'Euler (ou Constante d'Euler-Mascheroni). Et puis certains mathématiciens utilisent bien ces abus (ou peut-être des vieilleries fausses). Que diriez-vous de la constante du millénium 2000 ? Oxyde 28 août 2006 à 10:56 (CEST)

Je viens de créer un article nombre remarquable. Qu'en pensez-vous ? Oxyde 28 août 2006 à 14:46 (CEST)

Proportion d'argent

Je ne vois pas bien ce que le paragraphe sur la proportion d'argent vient faire dans l'article, et encore moins dans la partie Propriétés mathématiques principales. Au mieux, je mettrais un lien interne en bas de l'article. D'accord, pas d'accord? Michel ouiki 27 août 2006 à 12:38 (CEST)

Sous le nom Proportion d'argent, je m'en fiche un peu. En revanche, la matière vers laquelle on va, et pour laquelle racine de deux est un exemple pas plus mauvais qu'un autre, c'est l'existence d'un développement en fraction continue, sa périodicité en lien avec le degré d'algébricité du nombre en question, et toutes les questions d'approximation diophantienne. Disons que proportion d'argent, ça fait moins peur, et ça renvoie les gens à l'idée du nombre d'or : un bon produit d'appel, en somme.Salle 27 août 2006 à 12:42 (CEST)

elle permet aussi un élargissement à la question des extensions quadratiques (nombres de la forme a+b*v2 avec a et b des fractions) qui méritent d'être évoquées (j'ignore si elles l'étaient déjà) Peps 27 août 2006 à 12:45 (CEST)

Le lien vers la suite de l'article (existence d'un développement en fraction continue) ne me parrait pas flagrant. Et si c'était le cas, on devrait alors shifter le paragraphe dans la section Méthodes d'approximation rationnelle. Michel ouiki 27 août 2006 à 12:57 (CEST)

Le lien n'est pas flagrant parce que l'article , et en particulier ce passage, n'est qu'à l'état d'ébauche. Ensuite, le déplacement vers méthode d'approximation rationnelle se discute : ce paragraphe est construit dans un esprit d'approximation numérique, c'est-à-dire qu'on s'intéresse surtout à la vitesse de convergence des méthodes. Je ne connais pas l'approximation diophantienne, et je pense que les notions de vitesse de convergence doivent y apparaître, mais il me semble qu'en premier lieu (ie : au niveau du livre de Hardy and Wright, Introduction to the theory of numbers), il y a beaucoup de propriétés intéressantes qui sont à leur place dans la partie Propriétés principales : notamment lien entre degré d'algébricité, certaines propriétés de la fraction continue et pas d'une certaine relation de récurrence. Bon, je suis conscient que tout cela est flou, mais je ne me souviens pas bien, et je n'ai pas le livre sous la main. J'essaierai peut-être de faire mieux dans les jours qui viennent.Salle 27 août 2006 à 16:04 (CEST)

Une entrée dans OEIS ?

Je pensais ajouter une phrase du type : Les premières décimales du développement de ${\sqrt {2}}$ figurent dans l'Encyclopédie électronique des suites entières à A002193. Oxyde 27 août 2006 à 14:23 (CEST)

v2 dans un carré

J'ai proposé une autre version qui me semble avoir l'avantage d'éclairer un aspect historique. A mon avis, il faudra choisir entre la version « v2 dans un carré » et la version « duplication du carré » car elles traitent sous des formes différentes de la même chose. HB 27 août 2006 à 22:18 (CEST)

celle que tu as mise est très bien il me semble Peps 28 août 2006 à 14:41 (CEST)

Très bien pour moi. Oxyde 28 août 2006 à 14:45 (CEST)

Ce que tu proposes amène une question : faut-il une section "histoire" séparée ? Car de nombreux aspects du sujet sont "historiques". Je me demande s'il ne faudrait pas intégrer les considérations historiques dans les autres paragraphes, comme tu l'as fait ici, plutôt que d'avoit une section à part. -- El Caro ^bla 28 août 2006 à 15:48 (CEST)

pour moi, la section histoire me semble indispensable; au moins pour la tablette et la découverte de l'irrationnalité. Je pense d'ailleurs qu'il faudrait distinguer plus nettement ce qui tient de l'histoire (tablette) et ce qui tient de la légende : en réalité, on ne sait rien de tangible sur la découverte de l'irrationnaltié de v2. Ni qui l'a démontré, ni par quelle méthode. On peut seulement la dater entre Pythagore et Théodore de Cyrène (qui démontre l'irrationnalité de V3, V5, etc). La première trace d'une démonstration figure dans les éléments, c'est la démonstration pair, impair mais il semble que cette proposition soit postérieure à Euclide. HB 28 août 2006 à 18:11 (CEST)

Pythagore a-t-il vraiment existé ? Ektoplastor, 18:20

Que mettre de plus ?

Je vois des parties "propriétés diverses" et "applications" ; y a-t-il déjà des idées pour ces parties ?

il me semble qu'on peut faire un paragraphe "extension quadratique" regroupant la question des nombres de la forme a+b√2, ceux que √2 permet de construire (cf ci-dessus), avec la proportion d'argent et peut être aussi les développements évoqués par Salle : lien degré algébrique - fraction continue, lien degré algébrique - vitesse d'approx par des rationnels. Mais comme je ne sais pas ce qui était prévu pour les deux parties sus mentionnées, je ne sais trop où caser cela. Peps 28 août 2006 à 14:40 (CEST)

Vu la façon dont on en est arrivé là, et l'état actuel de l'article, àma, si tu as l'idée d'un paragraphe (ça semble le cas), et le courage de le faire, tu (et n'importe qui, d'ailleurs) peux y aller sans passer en page de discussion au préalable.Salle 28 août 2006 à 17:07 (CEST)

Il n'y a pratiquement aucun lien connu à l'heure actuelle entre le degré algébrique et les fractions continues en-dehors de l'équivalence : développement périodique <=> degré 2. À mon avis, il est intéressant d'en parler, mais ça ne concerne pas vraiment √2 et aurait plus sa place dans des articles "nombres algébriques", "nombres quadratiques" et/ou "fractions continues". Quant à la question de la vitessse d'approximation par les rationnels, elle permet surtout de mettre en valeur le nombre d'or, qui est celui pour lequel la suite de ses meilleures approximations par les rationnels est la plus lente à converger (en un sens précis donné dans Hardy & Wright). √2 vient juste après le nombre d'or, ou plus précisément après l'ensemble des nombres dits "nobles", c'est-à-dire dont le développement en fraction continue ne contient que des 1 à partir d'un certain rang. C'est d'ailleurs logique : plus les quotients partiels sont petits, moins bonnes sont les approximations rationnelles ; une fois enlevés les 1 (nombre d'or), il ne reste qu'à prendre les 2. Je ne sais pas si c'est très utile d'en parler, mais bon, pourquoi pas. --Benoit Rittaud 28 août 2006 à 15:51 (CEST)

je suis plutôt d'accord avec Benoit Rittaut. On s'éloignerait trop du sujet principal; En revanche, les développement de V2 en fraction continue, en produit - à l'aide de l'écriture de cos(x) sous forme de produit - en somme avec le DL de V(1+x) et celui de cos(x) me semblent nécessaires. Quant à application... et bien euh... c'est délicat..., j'attends la version de Lachaume tout en sachant que Benoit Rittaud risque d'avoir l'impression d'être pillé. HB 28 août 2006 à 18:22 (CEST)

mon idée était plutôt de mentionner des propriétés vraies pour √2 en signalant qu'elles sont vraies plus généralement, de profiter de √2 aussi comme une ouverture à des champs plus larges. En l'occurence pour la propriété d'approximation je pensais à ceci : pour un nbre quadratique, une approximation par un rationnel p/q se fait au mieux en cte sur q^2. C'est simple (ça porte-t-il un nom ?) et ça ne figure pas jusqu'ici semble-t-il. C'est à mettre en perspective avec les vitesses de convergence des algorithmes et la propriété d'optimalité des fractions continues. Mais je viens de réaliser qu'il y a un article Irrationnel quadratique qui serait plus adapté effectivement, à condition d'être lié à celui-ci. Peps 28 août 2006 à 21:46 (CEST)

J'approuve à 100% (forcément, je l'avais déjà ajouté dans la version précédente). Je disais : la racine de deux est mal approchable par les rationnels. Je ne pense que ça a un nom particulier. Et en effet, je trouve ça intéressant (exercice classique de prépas :) ). Ektoplastor, même jour, 21:53

L'approximation au mieux en 1/q² = degré d'irrationnalité 2. (tous les algébriques irrationnels.) — Régis Lachaume ✍ 28 août 2006 à 22:45 (CEST)

Le résultat mentionné par Peps est un cas particulier du résultat plus général dû à Liouville qui concerne les nombres algébriques en général et est aujourd'hui un exercice classique des premières années post-bac, comme le dit Ektoplastor (c'est comme ça que Liouville a montré l'existence de nombres transcendants). Ledit "exercice" a été amélioré depuis, le résultat le plus général connu étant le théorème de Roth, qui met tous les algébriques dans le même panier : en gros, tous les algébriques sont aussi mal approchables les uns que les autres par des rationnels. Dans le détail, pourtant, le résultat de Liouville permet aux quadratiques de se glisser dans un trou de souris (un epsilon en moins dans l'exposant à mettre à la fraction 1/q majorante) et de se montrer un poil moins approchable encore que les autres algébriques (mais il n'est pas exclu que le théorème de Roth puisse être amélioré). Cette subtile nuance fait qu'il est légèrement inexact de dire que l'approximation est au mieux en 1/q^2 pour tous les algébriques : aujourd'hui, on ne le sait que pour les quadratiques. C'est effectivement un sujet très intéressant, mais qui reste un peu loin de la racine carrée de 2 proprement dite. --Benoit Rittaud 28 août 2006 à 22:55 (CEST)

Historique

J'ai corrigé deux ou trois choses sur l'histoire antique sur √2. Règle d'or : on sait peu de choses sur le sujet, il faut toujours rester très prudent. Il reste encore quelques petites choses à reprendre. Quelqu'un peut-il me dire d'où vient cette approximation de 707/500 qu'auraient utilisés les Grecs ? (Je ne crois pas d'ailleurs qu'on puisse dire qu'ils aient un temps considéré que √2 était rationnelle, parce que la question elle-même ne se posait sans doute pas avant les pythagoriciens). --Benoit Rittaud 29 août 2006 à 10:43 (CEST)

C'est dans cet ouvrage: Les encyclopédies du savoir moderne, les mathématiques. Article d'André Warusfel sur les nombres. Oxyde 29 août 2006 à 13:45 (CEST)

Est-ce qu'André Warusfel cite des documents de l'époque grecque ? Si oui, pouvez-vous indiquer lesquels ? Sinon, il vaut mieux s'abstenir, parce qu'il y a un nombre d'âneries hallucinant qui circulent sur ce genre de sujets (rapportés en toute bonne fois). J'avoue être dubitatif sur l'emploi de 707/500 parce que pour des calculs approchés il est plus simple de prendre 7/5 (ou éventuellement 17/12), et pour les calculs précis pour l'astronomie (par exemple), il y a la valeur de la tablette babylonienne (base 60, donc), qu'utilise Ptolémée. --Benoit Rittaud 29 août 2006 à 15:02 (CEST)

J'ai créé l'article YBC 7289, sur la fameuse tablette babylonienne. Si certains d'entre vous veulent participer... On pourrait citer l'utilisation de cette valeur approchée par Ptolémée, par exemple. -- El Caro ^bla 29 août 2006 à 17:23 (CEST)

Malheureusement non, il ne cite aucun document et il n'y a pas de référence biblio. Oxyde 29 août 2006 à 18:12 (CEST)

Une preuve de l'irrationnalité de racine de deux qui serait due à Dedekind [1]. Oxyde

Pour El Caro, il existe une Catégorie:Mathématiques de l'Antiquité à développer. J'ai recatégorisé en conséquence son article. (Les catégories de mathématiques évoluent.) Ektoplastor, 29 août, 19:45

Deux suites (s_n) (d_n) s_0=d_0=1 et s_{n+1}=s_n+d_n d_{n+1}=2s_n+d_n et le rapport (d_n/s_n) converge vers rac de 2 auraient été utilisées par les grecs anciens pour donner des approximation de rac de 2 (et il remarque que l'on se ramène à une suite de Fibonacci) [www.ams.org/notices/199910/rev-blank.pdf] Oxyde 29 août 2006 à 20:32 (CEST)

À rajouter dans "Méthodes à convergence linéaire", non ? — Régis Lachaume ✍ 29 août 2006 à 22:12 (CEST)

Pourquoi pas. J'ai trouvé un nom à cette méthode d'approximation. Elle est due à Théon de Smyrne qui à écrit

Si a/b est une approximation de racine de 2 alors (a+2b)/(a+b) en est une meilleure.

et une adresse qui peut intéresser: [2] Oxyde 30 août 2006 à 01:26 (CEST)

Attention : Théon ne parle à aucun moment de √2. Pour lui, les s_n et d_n sont simplement deux suites qui vérifient que (d_n)^2-2(s_n)^2=(-1)^n, il s'intéresse à cette égalité mais pas à la limite du rapport des deux suites. Ce qui fait qu'il y a peut-être un lien avec √2, c'est que Théon appelle "nombres diagonaux" et "nombres latéraux" ces deux suites, et qu'on peut interpréter cette dénomination avec des carrés et des diagonales "approchées". Mais cela reste spéculatif (mais intéressant en soi, indépendamment de l'aspect historique). Je reviens sur 707/500 : en l'absence de source primaire fiable, je pense vraiment qu'il vaudrait mieux supprimer. --Benoit Rittaud 30 août 2006 à 09:58 (CEST)

Je retire, je n'ai pas beaucoup vu de 707/500 dans les différents articles. Je place la phrase ici, au cas où cette approximation rappèlerait quelque chose.

Nous savons que les Grecs antiques travaillèrent longtemps avec une approximation de √2 égale à 1,414 sous forme de la fraction 707/500 et pensaient même que √2 était rationnel^{[réf. nécessaire]}. Oxyde 30 août 2006 à 11:13 (CEST)

Éléments de ma version de travail

J'ai intégré les parties de ma version de travail qui ne posent aucun problème de copyright.

— Régis Lachaume ✍ 29 août 2006 à 19:30 (CEST)

ébauche?

Cet article seble très complet, je pense qu'on pourrait retirer le bandeau ébauche. Qu'en penssez vous? Mc78400 30 août 2006 à 10:55 (CEST)

Tout à fait d'accord, cet article a réellement évolué depuis la copyvio et atteint une grande qualité. J'ai retiré le bandeau. --Dereckson 30 août 2006 à 17:41 (CEST)

LaTeX

Le remplacement de √2 dans le fil du texte par des images png générées par latex, ça gêne un peu la lisibilité et l'accessibilité, non ?

— Régis Lachaume ✍ 31 août 2006 à 18:26 (CEST)

Dans Special:Preferences chacun peut configurer son rendu des maths. VIGNERON * ^discut. 31 août 2006 à 21:03 (CEST)

J'avais coché « pour les navigateurs modernes », je viens de cocher « MathML » puis « HTML si possible » et visiblement ça ne suffit pas, le petit √2 est toujours une image malgré un rechargement de la page… ensuite, les lecteurs (donc non enregistrés) ne peuvent pas changer ça il me semble et c'est aussi à eux qu'on s'adresse. — Régis Lachaume ✍ 31 août 2006 à 23:05 (CEST)

et ça casse tous les interlignages, c'est pas joli. --Fabos ✉ 1 septembre 2006 à 15:43 (CEST)

Je préfere aussi l'utilisation de √2 dans le texte, autant profiter de l'utf-8. --Dereckson 2 septembre 2006 à 11:30 (CEST)

Je vais juste poser une question comment interprétez-vous √√22 ? Oxyde

et bien comme ${\sqrt {\sqrt {22}}}$ mais ça n'est guère plus beau. Je pense que la meilleure solution doit se trouver dans un juste milieu entre le jusqueboutisme de Lachaume qui préfère une barre de fraction peu lisible plutôt que

$u_{n+1}={\frac {u_{n}}{2}}+{\frac {1}{u_{n}}}$

ou mieux

$u_{n+1}={\frac {u_{n}+{\frac {2}{u_{n}}}}{2}}$

et celui de nkm2 qui a remplacé partout dans le texte √2 par ${\sqrt {2}}$ (berk)

Personnellement je serais pour laisser √2 dans le texte mais remplacer dans les formules en exergue le √2 , les sub les sup et les barres/ par une bonne formule Tex

ça pourrait être ${\sqrt {{\sqrt {2}}2}}$ même si c'est un peu exagéré puisque je n'ai pas mis de point, mais je peux en mettre un √√2.2.

En tout cas ce n'est pas du tout le symbole mathématique de la racine carrée. D'ailleurs je pense que ça ne sert à rien de se soucier de la typographie dans le texte, si on utilise des symboles qui ne la respectent pas. Il faudrait plutôt attendre le Mathml, et écrire les maths en LaTeX partout. Mais il est vrai que le mathml semble tarder. Oxyde

Euh ... j'ai l'impression que le rendu dans les articles de mathématiques des formules dépend de l'ordinateur utilisé :). Dans certains vieux coucous, les formules Tex apparaissent tantôt minuscules, tantot majuscules, quelle que soit la configuration que j'adopte (je n'utilise pas toujours le même ordinateur). C'est pour ça qu'il serait préférable d'écrire x³+x²+1/3=0 plutôt que $x^{3}+x^{2}+{\frac {1}{3}}=0$. Ektoplastor

Je ne sais pas où en est le vote et la décision, juste un petit avis

• inline : unicode, pas de LaTeX
• LaTeX : passer à la ligne

Frédéric Glorieux^discuter 15 octobre 2006 à 14:37 (CEST)

Fraction continue ou continued?

Bon, il semblerait que Dieudonné voulût qu'on dît fraction continuée, mais moi, je ne veux pas, alors ce n'est pas un argument. Plus sérieusement, il me semble que l'usage est de dire Fraction continue. Je n'ai jamais entendu un collègue dire autre chose. Nous n'avons pas à nous poser en prescripteurs, et à aller contre l'usage. Quelqu'un pense-t-il que fraction continuée est répandu?Salle 21 septembre 2006 à 16:10 (CEST)

Histoire d'être logique, il faudrait régler ça sur l'article fraction continuée (le redirect va du terme traditionnel vers le terme traduit de l'anglais). En tout cas, je ne pense pas que ça ait grande importance, les deux se comprennent. — Régis Lachaume ✍ 21 septembre 2006 à 23:25 (CEST)

Preuve arithmétique de l'irrationnalité

Cela fait plusieurs fois que je reverte des modifs sur cette preuve. Pas tellement que je sois sûr que la version actuelle est meilleure, mais manifestement, les gens qui veulent modifier ne comprennent pas très bien cette version ; et je n'aime pas qu'on modifie une preuve en disant que la version actuelle est fausse, alors qu'elle est juste, ni qu'on remplace par une preuve dans laquelle il y a une erreur. Voilà les deux versions en concurrence, écrites sans erreur, faisons un choix sur le principe Laquelle on préfère?, sachant qu'elles pourront bien sûr être écrites différemment dans l'article  :

1. Par l'absurde, supposons que ${\sqrt {2}}$ est irrationnel. On peut alors l'écrire comme une fraction, et même une fraction irréductible : ${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}$, c'est-à-dire p et q sont premiers entre eux. En élevant au carré, on obtient une écriture de 2 sous forme fractionnaire : $2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$, qui est à nouveau une écriture irréductible. Par unicité d'une telle écriture, on déduit $p^{2}=2$ et $q^{2}=1$ ; la première équation n'a pas de solution pour p entier, c'est une contradiction.
2. Par l'absurde, supposons que ${\sqrt {2}}$ est irrationnel. On peut alors l'écrire comme une fraction, et même une fraction irréductible : ${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}$, c'est-à-dire p et q sont premiers entre eux. En élevant au carré, on obtient une écriture de 2 sous forme fractionnaire : $2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$, dont on déduit $2q^{2}=p^{2}$. Il vient alors que 2 divise $p^{2}$, ce dont on déduit que 2 divise p, puis que 4 divise $p^{2}$. On trouve alors $q^{2}={\frac {p^{2}}{2}}$ est divisible par 2, dont on déduit que q est aussi divisible par 2. 2 divise à la fois p et q, c'est une contradiction avec l'hypothèse d'irréductibilité.

La première démonstration a pour moi l'avantage d'être plus simple, mais, je ne suis pas non plus un militant acharné. Je propose qu'on ne modifie plus la page sur ce point tant qu'on n'aura pas décidé.Salle 10 octobre 2006 à 13:56 (CEST)

je viens d'aller voir les reverts précédents (j'en ai vu deux y en avait-il d'autres ?). Il est vrai que la deuxième preuve est plus "habituelle", mais la première est plus jolie. Je pense que le fait d'avoir ajouté Par unicité d'une telle écriture devrait suffire à régler le malentendu. C'est certainement ce qui n'avait pas été compris lors des reverts précédents.

j'ai essayé de rajouter ça ; les grincheux pourront toujours dire qu'l manque la précision entiers "positifs" quelque partPeps 10 octobre 2006 à 14:47 (CEST)

Je pensais bien faire en recopiant la preuve de mes cours (pour une fois j'aurais pu avoir un contribution libre sur cet article) mais bon, ca m'est égal... Rogilbert _@^@_@ 10 octobre 2006 à 17:17 (CEST)

historique, une proposition

Une intro pour fixer les limites de la section, quelques compléments, précisions, ou corrections après avoir fait les recherches nécessaire pour Racine carrée (histoire). Frédéric Glorieux^discuter 15 octobre 2006 à 14:32 (CEST)

Histoire

L'histoire de √2 commence à Babylone (-1600~-1800) et se termine en Occident avec la Construction des nombres réels (1872) et les algorithmes de calcul pour les ordinateurs. Les premières traces de ce nombre (Babylone, Inde védique), n'ont pas de postérité attestée (pour l'instant). La question a eu ensuite une tradition continue depuis la Grèce antique : monde arabe, Algèbre, Nombre réel. √2 pose le problème d'une synthèse entre la Géométrie (Théorème de Pythagore) et l'Arithmétique (nombre rationnel), et des algorithmes nécessaires à son approximation (méthode de Héron). Cette section insistera sur la genèse du problème, jusqu'à sa formulation claire pour la tradition occidentale.

Babylone

Schéma de la tablette YBC 7289.

La première représentation connue de √2 date du début du II^e millénaire av. J.-C.. Il apparaît sur la tablette babylonienne YBC 7289 datant de -1700 ± 100. Il s'agit du tracé d'un carré avec ses diagonales, avec les mesures des segments et accompagné d'une valeur approchée de √2 écrite en système sexagésimal cunéiforme :

      ,

ce qui signifie très probablement 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ — l'absence de zéro et de virgule dans la numération babylonienne rend la notation positionnelle ambiguë — soit environ 1,41421296. Il s'agit d'une valeur approchée au six dix-millionièmes de √2, ce qui indique qu'elle avait été obtenue de manière algorithmique, car une telle précision de mesure n'était pas à leur portée technique. La définition de la méthode pour obtenir cette valeur n'est pas encore établie avec certitude. On suppose l'application d'une forme de la méthode de Héron adaptée au système sexagésimal (attestée par ailleurs sur d'autres approximations), mais pour obtenir un calcul juste, il faut aussi introduire d'autres approximations, et peut-être des erreurs de calcul.

Inde védique

On peut trouver dans le Śulbasutra de Baudhayana une approximation de √2 antérieure au V^e siècle av. J.-C. . La citation exacte est :

« qu'on augmente le côté du carré d'un tiers et cela de son quart diminué du trente-quatrième de lui-même »

${\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}.{\frac {1}{4}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}.{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{3}}.{\frac {1}{4}}.{\frac {1}{34}}$

= 1,414215... (précision à 5 décimales)

La formule est volontairement présentée de manière à laissé supposer un algorithme. Il a été reconstruit, mais les textes conservés ne permettent pas d'en trouver l'exposition (encore moins la démonstration).

Grèce antique

Pour la Grèce antique, les mathématiques sont un enseignement oral, qui s'aide de figures. Les textes ne donnent parfois que peu d'indices. Mais ils sont suffisants pour affirmer que l'irrationnalité de √2 est non seulement connue, mais prouvée ; et que des algorithmes ont pu être conçus pour approcher sa valeur.

Les pythagoriciens attribuèrent une grande importance à la notion de grandeurs commensurables et s'y tinrent longtemps comme à un principe philosophique. Ils ne pouvaient concevoir qu'un nombre ne soit pas un rapport d'entiers, le rapportant le plus souvent à des figures géométriques. Mais d'après Aristote (IV^e siècle av. J.-C.), ce sont les pythagoriciens eux-mêmes qui démontrèrent pour la première fois que √2 est irrationnel, à la fin du V^e siècle av. J.-C., à savoir qu'il ne peut s'écrire comme le rapport de deux grandeurs commensurables.

L'attribution de cette démonstration repose sur des traditions beaucoup plus tardives (Néoplatonisme, IIIe siècle), sans aucune certitude possible. Il s'agit peut-être de Pythagore, ou d'un de ses disciples. Une légende rapporte que, parce que contraire aux pensées de Pythagore sur le caractère absolu des nombres, la découverte d'un nombre irrationnel jeta un trouble au sein de l'école et la démonstration fut dissimulée. Hippase de Métaponte aurait été banni de la communauté pour avoir révélé l'existence de cette démonstration, et de désespoir, se jeta à la mer. Platon rapporte dans son Théétète, que Théodore utilisait une méthode générale pour démontrer l'incommensurabilité à un des racines carrées de 3, 5, ... 17 mais sans l'exposer. Aristote fournit l'indice d'une démonstration dans son livre de logique, les Analytiques Postérieurs I : « la diagonale du carré est incommensurable à ses côtés, ou cela supposerait que les nombres impairs soient pairs ». Une autre démonstration se trouve dans le livre 10 des Éléments d'Euclide et repose sur la méthode d'antiphérèse, aussi appelée méthode de soustraction réciproque.

L'astronome néo-platonicien Théon de Smyrne (IIe siècle) semble connaître une méthode d'approximation . Enfin, Diophante (v. IIIe siècle) doit supposer que les rationnels et les irrationnels (dont √2) sont de même nature, afin de pouvoir résoudre les équations qui portent son nom.

Monde Arabo-musulman

J'ai fait une tentative pour compléter ce paragraphe à partir des données de wikipedia. Si quelqu'un veut bien relire... v_atekor 17 octobre 2006 à 12:54 (CEST)

Salut, je crois que cet énoncé « introduisent la notation algébrique » peut porter à confusion. Il introduit l'idée de l'inconnue, mais sous forme verbale, pas comme les notations que nous connaissons, qui commencent à être définie à la Renaissance.

Personnellement je pense que l'historique de cet article peut s'arrêter aux grecs, c'est l'objet de la proposition plus haut.

Tout à fait. Après la période de découverte grècque, les propriétés sont connues. Il faudrait sans doute le préciser et explique pourquoi les civilisations postèrieures à Athène ne sont pas citées.v_atekor 18 octobre 2006 à 12:27 (CEST)

J'ai essayé un petit paragraphe en introduction de la section #Histoire plus haut, n'hésite pas à le mettre dans tes mots. La même chose peut-être faite pour les autres sections. Tu remarqueras que cela corrige pas mal d'imprécisions. Par exemple, il n'y a aucune preuve que les babyloniens ait utilisé la méthode de Héron pour obtenir leur approximation de √2. D'après ce que j'ai lu on n'a pas encore reconstitué l'exact calcul. Des méthodes d'approximation peu algorithmique par essai et erreur ne sont pas exclues. Pour l'Inde, c'est plus intéressant, il y aurait un algorithme exact, mais l'article qui en parle est pour moi difficile à suivre. -- Frédéric Glorieux^discuter 18 octobre 2006 à 12:58 (CEST)

Racine carrée (histoire) développera plus sérieusement le sujet (pour Racine carrée aussi) jusque la construction des réels. Ceci dit, c'est juste pour en finir vite avec l'historique, pour ne pas retarder le vote AdQ, mais si quelqu'un a envie de poursuivre.

Par contre, il y a vraiment des imprécisions à corriger pour les grecs. La proposition plus haut n'est pas mise dans l'article, parce que je suis littéraire. Je souhaite aider, mais j'ai une forte tendance à faire des phrases compliquées.

Frédéric Glorieux^discuter 18 octobre 2006 à 09:31 (CEST)

Protection

Je ne comprends pourquoi ce texte ne serait pas protéger ; n'importe quel abruti peut vous faire perde votre temps ou glisser des inepties et vous obliger à surveiller votre texte comme l'huile sur le feu. Je n'y connais rien ou pas grand chose en mathématiques et je pourrais y écrire n'importe quoi ou presque. Il me semble que disposer d'une rubrique (Commentaires) adjacente à votre article serait Bienvenu(e).

Cordialement

--Ajurna 17 octobre 2006 à 23:18 (CEST)

Le principe de Wikipédia est la libre contribution. Comme il y a nettement plus de contributeurs sérieux que de « vandales » ou d'« incompétents qui s'y croient » l'article est rapidement restauré à sa version antérieure en cas de modification farfelue. Ça prend quelques clics pour le faire. Sauf sur les articles les plus exposés (politique par exemple) où une semi-protection est mise en place. — Régis Lachaume ✍ 17 octobre 2006 à 23:35 (CEST)

Proposition d'article de qualité refusée le 21 octobre 2006

Cet article a été proposé comme article de qualité mais a été rejeté car ne satisfaisait pas les critères de sélection dans sa version du 21 octobre 2006 (historique).
Si vous désirez reprendre l'article pour l'améliorer, vous trouverez les remarques que firent les wikipédiens dans la page de vote.

Prochaine demande d'accéder à article de qualité

J'ai constaté qu'il n'y avait pas mobilisation pour voter et c'est dommage, cet article est très valable ! Néanmoins, pour augmenter les chances, la prochaine fois qu'il y a votation, n'oubliez pas de me le signaler et penser à faire une campagne électorale notamment en envoyant un message à tous ceux qui ont placé dans le page perso la boîte utilisateur "j'adore les math" (ou quelque chose du genre).

Ceci étant posé, j'ai un petit cadeau pour parfaire cet article. je sais que ça ne sert à rien, mais c'est pour la beauté de la chose !

1000 premières décimales de racine carrée de 2

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766
7973799073247846210703885038753432764157273501384623091229
7024924836055850737212644121497099935831413222665927505592
7557999505011527820605714701095599716059702745345968620147
2851741864088919860955232923048430871432145083976260362799
5251407989687253396546331808829640620615258352395054745750
2877599617298355752203375318570113543746034084988471603868
9997069900481503054402779031645424782306849293691862158057
8463111596668713013015618568987237235288509264861249497715
4218334204285686060146824720771435854874155657069677653720
2264854470158588016207584749226572260020855844665214583988
9394437092659180031138824646815708263010059485870400318648
0342194897278290641045072636881313739855256117322040245091
2277002269411275736272804957381089675040183698683684507257
9936472906076299694138047565482372899718032680247442062926
9124859052181004459842150591120249441341728531478105803603
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10.000 premières décimales de racine carrée de 2

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766
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9816309452407557009325168243441682408361979273372825215462
2469615332170268299509790890345948588783494396162043584224
9739718711395892730509219705491717696160044558089942787888
0369169432894595147226722926124850696173163809410821860045
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9731999283492567409749039229712634869341457493319804171807
6111963902278664075922434167762466236238913110270343304576
3681411283213263085822394562195980866129399962012341561763
1817431242008901498384856048087986460839359649236651429681
2577314322914568716827621996118278269531574983802624651759
0541039761812876042163861345022132627277566124411336107751
9555774950865636067378665062318564069912280187574178549466
1253275997697960597760590756489106661015838417202818530432
1190446577525542775437987260548817361982675816862832952607
8993222668360283851351228105931859102864150815705631971731
5183136250243590414632122392176633982689368253150530059891
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1530930901921199199993615765003503984054067425387927527922
7247335667706078379113844889362613676570602636003151329520
9539520285489738448625613492441470860708660267634997879342
0875836121947116994223848482595914304528107062601508969135
3030177200627170544020906695149152745977197059476954740952
1028787255785688002219371774355811079393088338455864827729
1008629554566141306721230848740227121058686323388237413884
4289381554446471057556514684357029466350628938735698686883
7648032651952841465351739530273612013742030098673983851432
1900436028982698293529399414129230580384565022707216815161
9410114498263013649008770483984883860906533685990545838952
0318564804149327214239086516499943165920796595356943072311
2911629286797517156688905439322035691293324570208067194440
4973049439814082278296027994245410831666759214248351827238
1720504103927428880155622338079614751243351473102128454594
4899444996000752437519570116683417447490795882099517836768
0232365176749723014874577427259947609621984327148352986111
9027287358490521797590837419748602670605374623153003937521
2367867752848692195857137554269684827836317861109933680143
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5560356560442140176120605131806891989962606184831853401836
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1951119127046248360511302890464377511486948878496151188414
7191000125588383666067720841123515355881126778957155859041
2576261601067513153580212427331871000635824954504099579407
2547989003168265123731190556682915194305370848930786919742
8290490386037231160992834243171222509945471501928666487871
0795199518005463388384431548172463548024451803084527343100
0621371034625733060012349737443558180965678464641533905146
5691932456235314057791936989884236471835253758052577133112
0079710406831549266540202604680681839143782721476906324246
9517128636738443139833371176159418699934662623453734523567
9401241680922911636095637216745283917099091466485073920515
1605604737871061547021699607465693097944261214692561593425
6494019122989514732544715181263258368897282262833295240359
7007278633646045947071241747294687757059581573499628480995
6783925547424044899188707106967524250774520122936081057414
2653234724064162141033353340551104521261750359028403745459
1864504727624342071770929793540102140964645028368341804075
8608100140721619247717980985968111540446443728568959286831
9777977869346415984697451339177415379048778808300220583350
467465553230285873258352

Voilà…--Sonusfaber 26 octobre 2006 à 23:38 (CEST)

Tiens, il y a mon n° de carte bancaire dedans. ;-) -- El Caro ^bla 27 octobre 2006 à 16:24 (CEST)

unicode c'est beau !

je trouve les formules LaTex tellement moches que je cherche toujours une solution unicode.

A titre d'information, les signes unicodes (qu'a priori aujourd'hui tout le monde doit pouvoir visualiser) sont nombreux et intéressant à exploiter. Par exemple il y a des fraction toutes faites. La formule x³ + x² + 1/3 = 0 nécessite plein de codes cachés (''x''³ + ''x''² + 1/3=0) alors qu'en unicode, je vous la fais en direct :

x³ + x² + ⅓ = 0

Bien sûr on ne peut pas tout écrire en unicode, mais ça aide bien et quand on a les signes qu'il faut, ça fait un beau texte cohérent et harmonisé avec la police de caractère. LaTex ça fait des gros pâtés qui défigurent l'interlignage, c'est agaçant et dommage.--Sonusfaber 27 octobre 2006 à 00:10 (CEST)

Je me pose une question : comment se fait-il que les formules LaTeX soient aussi mal gérées dans les articles Wikipedia, alors que partout dans le vrai monde, LaTeX est au contraire la référence en matière de qualité de mise en page ? J'imagine que c'est un problème de logiciel Wikipedia, et que celui-ci pourrait être corrigé.

PAr ailleurs, quel est ce mystère des caractères unicode ? Comment utilise-t-on ça ?Salle 27 octobre 2006 à 15:34 (CEST)

LaTeX est la référence lorsqu'il gère tout le document. Ici, wikimedia envoie le code à un serveur qui convertit ce code en image (1er couac : pixellisation) pour ensuite être intégré dans une page HTML (2ème couac : le rendu dépend de la configuration). -- El Caro ^bla 27 octobre 2006 à 16:23 (CEST)

Pour unicode, si tu es sous linux, ça se gère tout seul en changeant la locale LC_LANG. Les caractères sont obtenus par composition (touche compose) ou changement dynamique de la configuration clavier (voir xkb). Sous windows, aucune idée, mais ça ne doit pas être beaucoup plus compliqué, juste un peu plus bogué ;-) — Régis Lachaume ✍ 27 octobre 2006 à 16:38 (CEST)

Aide-mémoire :

• Table des caractères Unicode
• Aide:Unicode
• Aide:Caractères spéciaux
• Wikipédia:Unicode/Test (pour tester si votre navigateur affiche correctement les caractères unicode)

--Sonusfaber 28 octobre 2006 à 11:13 (CEST)

Format A4 et référence au mètre

Suite à une remarque un peu tatillonne d'un lecteur (mais néanmoins recevable) , faut-il parler de format A4 pour faire référence à la proportion des feuilles de papier de type ${\sqrt {2}}$. En effet, celle-ci existait avant la définition du mètre et donc du A4 ( ou An) contemporain. Pour info.--VARNA 20 décembre 2006 à 19:16 (CET)

problème sur "développement de Taylor"

reporté depuis la page de vote "bon article"

La valeur de l'itération 4 du développement de Taylor est différente des autres méthodes (1,41421356237309505880 contre 1,41421356237309504880 soit à la 17ème décimale). Quelle est la bonne valeur ? LBacha 29 avril 2007 à 16:08 (CEST)

intrigué, j'ai relu cette section. Les formules comportaient des coquilles. L'application numérique semble avoir été faite avec d'autres valeurs que celles indiquées (j'obtiens une bien meilleure précision !). J'ai corrigé, mais une relecture peut s'avérer utile. Peps 29 avril 2007 à 23:42 (CEST)

Preuves de l'irrationnalité

Le lemme de Gauss pour les entiers est dans les éléments d'Euclide, et s'appelle aussi lemme d'Euclide. Mais dans le cas de 2, le lemme d'Euclide, c'est simplement que le produit de deux entiers impairs est impair (la troisième preuve de l'article l'utilise pour un carré). Il me semble que ça suffirait d'invoquer ce résultat, complètement élémentaire. Proz 25 mai 2007 à 09:51 (CEST)

Bon, ça ne me va pas du tout d'écrire trois fois la même démo, avec une simple variation cosmétique. Mon goût va vers la première, puisqu'elle est plus générale, mais on peut en mettre une autre ; en tout cas, on ne vas pas s'amuser à recenser toutees les variantes possibles, qui ne sont même pas de vraies variantes. J'attends d'autres avis, et s'il n'y en a pas, je couperai.Salle 28 mai 2007 à 13:52 (CEST)

Il y avait 3 variantes, il n'y en a plus que 2, sauf si tu inclus la première démonstration appelée géométrique qui n'est pas du tout une variante, en l'inversant on obtient une suite d'approximations rationnelles de racine de 2 (décrit en dessous comme méthode de Theon). Pour les deux autres, cosmétique me semble exagéré, tout dépend du public visé cf. juste au dessus. Personnellement ça m'avait fait bizarre de voir admise l'unicité de l'écriture irréductible d'une fraction, mais le lemme de Gauss invoqué pour montrer que si le carré d'un nombre est pair, alors il est pair. Mais bon ... Proz 28 mai 2007 à 15:35 (CEST)

Oui, j'aurais dû dire deux fois la même démo, c'est la conclusion qui m'a induit en erreur, je n'avais pas compris que la démo géométrique était incluse. Bon, je persiste à trouver que les deux variantes arithmétiques font doublon, mais tant pis.Salle 28 mai 2007 à 15:46 (CEST)

Je trouve cet article assez instable. L'une des raisons est justement qu'il est un peu désordonné. Les "variantes" données dans la preuve arithmétique sont évidemment les mêmes. Mais simplement, un lecteur moyen aura l'impression d'être arnaqué si on lui dit simplement que l'unicité de l'écriture en fractions irréductibles donne le résultat. Il est donc important de dire que cette unicité traduit l'unicité de la décomposition en facteurs irréductibles d'un entier, et qu'il n'est pas choquant de lire dans différents ouvrages différentes preuves qui sont les mêmes. On peut se limiter à deux variantes, c'est très bien.

Ce qui me choque :

• Placer l'irrationnalité au paragraphe 5 ne me semble pas approprié et un peu injuste.
• Au paragraphe 5.1.1, les notations partent dans tous les sens. La fraction est notée q/p et non p/q (contrairement au paragraphe suivant !?) ; il serait plus logique de renommer le point A par O, le point O par A, le point B' par A', le point C par B, et le point B=A' par C'. Ce ne sont que des notations, mais la cohérence des notations aide la lecture.

Ekto - Plastor 29 mai 2007 à 12:56 (CEST)

• Entièrement d'accord sur le paragraphe 5.1.1.
• Désordonné : je ne suis pas sûr, en tout cas ça semble difficile de "remonter" la preuve d'irrationnalité.
• Variantes : j'ai essayé de "simplifier" ce qui existait, en gardant une première preuve générale par le lemme de Gauss-Euclide (ou l'unicité de la décomposition en facteurs premiers, si on préfère), et en adaptant une seconde particulière pour n'utiliser que des arguments élémentaires de parité (peut-être trop bavarde). Même si sur le fond la seconde est à peu près la 1ere adaptée pour rac(2), ça n'est pas peut-être pas si évident pour tout le monde.
• Je trouve cet article plutôt une bonne idée, et plutôt bien fait, mais il manque de relecture : quelques notations (comme celle déjà relevée) et tournures à revoir, erreurs mineures ... Proz 29 mai 2007 à 19:46 (CEST)

Méthode de Théon généralisée

εn + 1 < εn 1/4(5K − k)²  : ça me semble faux, ce n'est pas compatible avec l'exemple joint. Proz 31 mai 2007 à 19:56 (CEST) Corrigé (mais peut-être vaudrait-il mieux effacer, puisque personne ne le lit) + corrections sur l'ensemble des paragraphes sur le sujet (incohérences de notations, hypothèses oubliées ...). Proz 7 juin 2007 à 01:52 (CEST)

Tracé régulateur en architecture

Schéma de croissance harmonique par racine carrée de 2 du plan de la villa Rotonda par Andrea Palladio. Ce type de plan se retrouve également pour l'Église ronde de Véliki Preslav

Peut-être que ectte image et les concepts associés auraient-ils une place dans l'article ? --Yelkrokoyade 13 août 2007 à 23:16 (CEST)

Irrationnel quadratique

La racine carrée de deux en théorie algébrique des nombres est un entier quadratique. Son polynôme minimal est à coefficient dans Z et de monôme dominant de coefficient 1. Il fait partie de l'anneau des entiers de la forme a + b.√2. Un anneau euclidien un peu semblable à Z. Jean-Luc W (d) 10 avril 2008 à 20:26 (CEST)

LaTeX, Unicode et autres

Je reviens sur la discussion concernant le meilleur format pour écrire "racine de deux". √2 a été suggéré, que je trouve pas génial typographiquement, mais bien meilleur que √2. Par contre, il y a au moins deux cas où je pense que le code LaTeX avec des PNG sera bien meilleur. Tout d'abord, dans la table des formats de papiers:

format	longueur (m)	largeur (m)	aire (m²)
A0	√√2	√√2/√2	1
A1	√√2/√2	√√2/2	1/2
A2	√√2/2	√√2/(2√2)	1/4
A3	√√2/(2√2)	√√2/4	1/8
A4	√√2/4	√√2/(4√2)	1/16

qui n'est pas vraiment utilisable en l'état (√√2/4 = √(√2/4) ou (√√2)/4 ?); l'avantage de la table est que l'un des principaux défauts de l'utilisation de PNG (le fait de changer l'interligne au milieu d'un paragraphe) n'est pas un problème ici. L'autre solution serait d'utiliser abondamment les parenthèses, mais la lisibilité n'y gagnerait pas vraiment.

Deuxième cas, les longues formules, par exemple dans le Développement de Taylor:

√[K/(K − k)] = 1 + 1/2 (k/K) + (1×3)/(2×4) (k/K)² + (1×3×5)/(2×4×6) (k/K)³ + …

Là aussi, utiliser des PNGs ne pose pas de problème de mise en page puisqu'on n'est pas au milieu d'un paragraphe de texte; par contre, on gagnerait énormément en lisibilité, et surtout la structure du développement (les produits de nombres pairs et impairs aux numérateurs et dénominateurs) serait claire. Schutz (d) 11 août 2008 à 09:53 (CEST)

Je précise que la notation √2 (sans barre au dessus) est utilisée en math (par ex., pour prendre un classique, Hardy and Wright, de mémoire), et compréhensible même pour des opérandes complexes. L'usage c'est la priorité aux opérateurs unaires donc √√2/4 est sans ambiguïté, même si on peut préférer ajouter des parenthèses. Il me semble avoir vu au dessus que l'auteur principal de l'article (ou un de ceux-ci) tenait à éviter au maximum le LaTeX. Après c'est une question de goût. Je suis un peu sensible à l'argument pour la formule de Taylor, pour les formats papiers il faut balancer avec la laideur du LaTeX wikipedique. De toute façon il n'y a pas de choix cohérent dans l'article.

Autre sujet : l'article a par ailleurs parfois tendance a présenté comme différentes des choses identiques (paragraphe existence et construction les 4 points sont en fait plusieurs façon de dire la même chose), de même les paragraphes duplication du carré, triangle rectangle isocèle, et trigonométrie devraient être rassemblés à mon avis. Proz (d) 11 août 2008 à 16:52 (CEST)

Ah, je n'ai pas ma copie de Hardy and Wright sous la main, mais ça me dit vaguement quelque chose; ça n'en reste pas moins une notation peu commune, et la priorité de l'opération encore moins, il me semble. Pour la typographie mathématique, je fais en général confiance à LaTeX, vu que Donald Knuth l'a écrit après une large revue des us et coutumes typographiques du domaine, mais il y a forcément des exceptions. Pour l'autre sujet, entièrement d'accord, c'est sur ma liste de choses à faire, à part si quelqu'un est plus rapide bien sûr... Merci pour les commentaires ! Schutz (d) 11 août 2008 à 17:56 (CEST)

Je signale que l'utilisation récente du modèle racine qui ne conserve pas la taille des caractères, est particulièrement vilain dans certains paragraphes (le tableau des formats papiers par exemple). Personnellement √2 me semblait parfaitement compréhensible. Proz (d) 19 octobre 2008 à 17:33 (CEST) Après un coup d'oeil rapide, c'est pire que seulement laid : des notations incohérentes à l'intérieur de certaines expressions comme √√√2, ça n'aide pas la lecture. Le remplacement effectué l'a été sans relecture. Le mieux est de revenir à la version précédente. Je signale que le modèle racine ne semble pas conçu aujourd'hui pour autoriser : l'emboîtement √√2. Proz (d) 19 octobre 2008 à 17:51 (CEST)

Je suis d'accord avec toi. La modestie veut que l'on en reste dans le texte à √2 sans faire des pieds et des mains en utilisant des modèles qui surchargent la page sans apporter de bénéficie significatif dans l'unique tentative de rajouter une barre. L'écriture LateX est inévitable dans les formules compliquées qu'il faudrait mettre hors texte. Mais je signale que pour l'instant l'écriture n'est pas homogène et je vois apparaitre dans des phrases d'horribles ${\sqrt {2}}$ dont la taille est trop grande. Si tout le monde est d'accord on pourrait harmoniser dans ce sens. L'autre alternative est d'utiliser $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ mais , à part la barre, je ne vois pas ce qu'il apporte de plus que √2. D'autres avis  ? HB (d) 19 octobre 2008 à 18:17 (CEST)

Nouvelle introduction

Je ne suis pas très favorable à la nouvelle introduction apparue les 19/20 mars 2010

Un résumé introductif doit demeurer un résumé introductif et n'est pas le lieu d'un développement. Le mettre dans une tableau me semble une erreur d'esthétique et ne correspond pas aux conventions de l'encyclopédie. Développer une construction à la règle et au compas de la duplication du cube et de la construction du format A4 pourrait avoir sa place dans les sections correspondantes mais pas dans le résumé introductif. De plus se sont glissés de nombreux espaces insécables. Je compte revenir grosso modo à la version de janvier. Des commentaires ?. HB (d) 20 mars 2010 à 10:23 (CET)

Même avis. Le premier dessin a son équivalent, que je trouve plus clair, dans la section "duplication du carré". La construction du second, qui est essentiellement la même, ne semble pas mériter un dessin spécifique. C'est dommage car par ailleurs ces dessins représentent sûrement un certain travail, et sont esthétiquement assez réussis (pour les dessins mathématiques, il faut privilégier la clarté, ce qui n'a rien d'évident, les traits de construction n'apportent pas grand chose à l'idée de duplication dans le premier par exemple). Proz (d) 20 mars 2010 à 13:55 (CET)

Qu’est-ce qui fait exister √2 pour l’humanité ?  Écrire qu’une superficie est multipliée par deux,  ou dessiner deux figures semblables dont le rapport des aires est 2  — l’expression “échelle de reproduction” pourrait aussi être employée à la page Similitude_(géométrie) —,  ou écrire √2 dans une image n’est certainement pas suffisant pour que l’objet désigné naisse ou renaisse dans tous les esprits.  Le théorème de Pythagore n’étant pas essentiel dans cette affaire,  ma version de l’introduction n’en parle plus.

Avec son histoire d’enseignement à l’esclave,  Socrate pose des questions.  Où sont les idées ?  Comment se transmettent-elles ?  Ces questions ne dispensent pas de distinguer entre surface et superficie.

Colorier deux moitiés est-il suffisant,  “tout le monde” voit-il bien quatre moitiés ?  Ne faudrait-il pas commenter l’image un peu plus ?  Qu’en pensez-vous ?

Quand on change les dimensions de la fenêtre d’un navigateur,  les lignes et les mots du texte se déplacent.  N’est-il pas préférable qu’une égalité se lise toujours sur une seule ligne ?

Je souhaite que nous prenions le temps de nous accorder.       --Yves  Baelde (d) 20 mars 2010 à 19:57 (CET)

j'ai autre chose à faire que discuter sans fin sur un article. J'ai exprimé très clairement les défauts que je voyais à mettre le résumé introductif dans un tableau. Proz a exprimé très clairement les réticences à voir apparaitre ces deux deux dessins en tête d'article, les jugeant trop compliqués à la lecture. J'ai exprimé très clairement pourquoi je jugeais ces dessins inadaptés dans un résumé. Tu as préféré revenir à TA version qui ne fait visiblement pas consensus. Quant à philosopher dans le vide et sans source sur ce qui fait exister √2 pour l'humanité, ce sera sans moi. Si un quatrième lecteur veut prendre le relais, tant mieux. Sinon, tant pis pour l'article (selon mon idée) ou tant mieux (si d'autres pensent que tes modifications sont des améliorations). HB (d) 20 mars 2010 à 21:05 (CET)

Ce n’est pas dans ma version de l’introduction,  certes.  Mais ce n’est pas non plus dans le vide.  On ne peut rien prouver à partir de rien,  des axiomes sont nécessaires à la base de toute théorie.  Bien après l’invention de √2,  des axiomes le firent exister en géométrie euclidienne.

Je ne tiens pas à la technique du tableau.  L’ancienne première image était mal présentée quand j’ai inséré celle du A4,  alors j’ai créé un tableau.  La mention du format de papier dans l’introduction existait avant que j’intervienne,  créer des sections dans la page permettrait de raccourcir l’introduction.  Elle pourrait seulement évoquer l’invention de √2.

À plus tard.     --Yves  Baelde (d) 20 mars 2010 à 22:32 (CET)

Je reviens à la version de HB, qui est déjà une version de compromis (personnellement je n'aurai pas repris la construction à l'équerre et au compas du format a4 à partir d'un carré qui me semble un problème complètement artificiel). Le schéma de l'introduction telle qu'elle a été rétablie donne de façon économique et claire une représentation géométrique de racine de 2. Ce n'est pas le cas des vôtres. Il y a déjà un découpage en sections de l'article (?!), le résumé introductif ne me semble pas scandaleux, en gros c'est ce genre de truc qu'on attend, et je ne trouve pas utile non plus d'y mentionner le nombre d'or (lire le corps de l'article, où c'est abordé de façon correcte).

On ne peut pas non plus multiplier de cette façon les espaces insécables (pour une égalité pourquoi pas) ? (Dans les pdd ça n'aide pas non plus d'ailleurs). Je précise également que pour des schémas explicatifs, ne pas aligner aux bords du cadre fait peut-être joli, mais n'aide pas forcément la lecture. Pour ce qui est du commentaire au sujet de la duplication, le schéma est justement plutôt clair me semble-t-il, mais pourquoi pas ?

Le théorème de Pythagore est démontré géométriquement, dans le cas particulier du triangle rectangle isocèle, par la duplication du carré, on est bien au coeur du sujet. Proz (d) 21 mars 2010 à 01:51 (CET)

Soyez persuadés que je travaille à l’amélioration de l’article.

Je suis conscient d’apporter du nouveau. Merci d’avance pour le temps que vous m’accorderez.

Amicalement. --Yves  Baelde (d) 21 mars 2010 à 12:23 (CET)

Vous êtes également conscient je suppose du caractère provocateur de votre courte réponse. J'en serai d'autant mieux persuadé si vous pratiquiez autrement qu'en passant en force, et en refusant de lire ce qu'on vous écrit. Pour le dire plus clairement (c'est quand même la troisième fois qu'il faut revenir dessus) votre dessin rend obscure une idée simple. J'ai déjà donné des arguments. Posez-vous quelques questions, on lit un schéma de gauche à droite par exemple. le lettrage devrait être inutile, dans votre cas il supplée mal au fait que le petit carré de départ est à gauche du schéma, illisible à cause des surcharges etc. je ne vais pas passer en détail, vous pouvez vous rendre compte probablement aussi bien que moi que ça ne va pas en le regardant à tête reposée, au lieu de vous acharner à l'imposer. Vous ne comprenez toujours pas ce qu'est un résumé introductif, il n'est pas question de rentrer dans le détail comme vous le faites, voir Wikipédia:Résumé_introductif. de plus votre vocabulaire manque de simplicité (est-il bien utile de parler d'"échelle de reproduction" etc. ?). Vous désorganisez la section "histoire" pour imposer votre version. A propose de votre insistance sur le nombre d'or : lisez le § "grèce antique" qui est à peu près correct (des détails peut-être à revoir mais l'essentiel y est), même s'il est mal sourcé. Le seul moyen de l'améliorer c'est justement d'aller chercher des sources de qualité. Plus généralement renseignez-vous, prenez le temps de comprendre comment ça fonctionne, et prévenez en pdd avant d'engager des modifications d'envergure. Proz (d) 21 mars 2010 à 14:09 (CET)

Non, je ne suis pas provocateur.

Je proteste contre les annulations de mes modifications à cette page. Et je les conteste en présentant des arguments.

Pour déstabiliser l’interlocuteur, il est possible de changer de sujet à tout bout de champ, et de mélanger les problèmes. Vous me parlez d’aller chercher des sources, mais n’en produisez guère. Dans l’hypothèse où le nombre d'or est rationnel, la construction d’une suite décroissante infinie absurde de nombres entiers est simple, plus simple que dans le cas de √2. J’ai lu dans un ouvrage d’histoire des mathématiques que la démonstration par l’absurde de l’irrationnalité du nombre d’or fut la toute première preuve d’irrationnalité découverte par les historiens. Mais là tout de suite je ne peux pas vous dire dans quel livre je l’ai lu. En tout état de cause, mon ajout au sujet du nombre d’or est-il vraiment ce qui vous chiffonne ? L’article dit qu’une certitude à ce sujet est difficile, et je le dis aussi.

--Yves  Baelde (d) 21 mars 2010 à 14:57 (CET)

Nous ne changeons pas de sujet à longueur de temps.

• Depuis le début nous disons que le dessin actuellement présenté en tête d'article n'est pas compréhensible et que pour illustrer la duplication du cube le dessin qui figure plus bas Fichier:Duplication.svg est plus clair.
• Depuis le début, nous disons que le résumé introductif n'est pas le lieu d'un développement et d'une démonstration ce que vous continuez à faire.
• Vous avez déplacé une partie de résumé pour en faire un doublon de la section histoire. Ce qui s'appelle désorganiser l'article.
• Vous tenez à ce que la racine carré de deux soit définie comme le facteur d'agrandissement dans la duplication du carré. Ce que vous exprimez de manière confuse. Et vous refusez que soit présenté dans l'introduction le fait que c'est la diagonale d'un carré de côté 1 (ou l'hypoténuse du triangle isocèle). Vous refusez que Pythagore soit cité alors qu'il nous semble que la relation entre la racine carré de 2 et Pythagore est importante (et développée dans la partie histoire)
• dans votre résumé introductif n'apparait pas le résumé des choses importantes concernant racine carré de 2 (sa valeur approchée, les recherches sur son développement décimal, son caractère irrationnel) qui vont être développés dans la suite de l'article. Je veux bien que l'on blablate moins sur l'irrationalité mais elle doit être présentée dans le résumé introductif. ainsi que les autres points.

Il me semble que vous devriez davantage tenir compte des personnes qui ont contribué à la création de cet article et qui ont l'habitude de ce qu'est un résumé introductif, au lieu de tenter par deux fois le passage en force. Vous avez déjà supprimé le tableau et travaillé à la suppression des espaces insécables, ce dont je vous remercie et ce qui semble prouver que nous pourrions arriver à nous comprendre . HB (d) 21 mars 2010 à 15:32 (CET)

Alors reprenons l’analyse.

Dans mon image la superficie d’un carré est multipliée par deux. J’ai confectionné cette image pour illustrer ce seul fait, et en excluant de parler de l’histoire de l’enseignement à l’esclave, ou du problème du doublement du volume du cube. Non que je veuille interdire la mention de la racine cubique de 2 dans l’article, ou interdire la mention de Socrate, ou interdire je ne sais quelle autre association d’idées. Simplement, j’ai concentré mon action sur la mise en évidence du doublement de l’aire d’un carré, qui vaut l’unité. Le pavage de BDEF par les quatre triangles rectangles isocèles se voit mieux grâce au fond gris de deux d’entre eux. Il s’agit de montrer quatre moitiés de l’unité d’aire.

À mon avis le début d’un article doit être le plus clair et le plus attrayant possible, afin de capter autant que possible un maximum de lecteurs. Il me paraît préférable de ne pas parler trop vite d’irrationnalité, par exemple. Alors je choisis autant que possible des expressions qui ne vont rebuter “personne”. Par exemple, imaginons que nous nous adressions à quelqu’un qui fait souvent des photocopies dans sa vie professionnelle, mais dont certains souvenirs de cours de mathématiques sont pénibles. Quelle expression emploiera quelqu’un qui parle d’agrandir en A3 une page A4 ? Rapport de similitude ? En même temps, je ne me suis pas interdit cette expression “rapport de similitude” dans l’introduction. Bref, il s’agit de doser les difficultés. Admettons que les notions de proportionnalité ou de similitude ne sont pas évidentes pour “tout le monde”.

Je l’ai déjà dit, cependant je le répète. Je souhaite que nous prenions le temps de nous accorder.

--Yves  Baelde (d) 21 mars 2010 à 16:25 (CET)

le dessin illustrant le problème de Platon et l'esclave peut tout aussi bien illustrer le thème de la duplication du carré et nous parait plus clair que le votre car les deux carrés y sont parfaitement identifiables (par le jeu des couleurs).

Il ne s'agit pas du début de l'article mais du wp:résumé introductif. De plus parler de la diagonale d'un carré me semble tout aussi accessible (sinon plus) que de parler de facteur d'agrandissement (je me souviens à ce sujet de la question d'un artisan venu nous demander en salle des profs comment calculer la diagonale du carré, comme quoi, lui en avait plus besoin que d'un facteur d'agrandissement). Quant au terme de "échelle de reproduction", il va paraitre obscur à tous (matheux ou non). Enfin, je le répète, dans le résumé introductif, on doit retrouver toutes les idées fortes de l'article. Hélas, j'ai l'impression d'un dialogue de sourd. je compte donc réellement ne plus intervenir. HB (d) 21 mars 2010 à 17:25 (CET)

Vous ne répondez que très partiellement. Pourriez-vous maintenant répondre aux objections assez précises que l'on vous fait (y compris celles que suis sensé avoir faites sans vous lire d'après votre commentaire de diff, qui n'est pas non plus une provocation bien-sûr, pas plus que votre "argumentation" du 21 mars 2010 à 12:23, je passe sur celles que vous ajoutez dans votre réponse, mais ça n'aide pas le dialogue) ?

Pour éviter de mélanger les problèmes, ne le faites pas quand vous modifiez l'article.

Pour ce qui est du nombre d'or, qui est un problème annexe : il y a des choses claires écrites dans l'article, références à Aristote etc., plus précises que ce que vous ajoutez, vous trouverez ici http://www.cndp.fr/RevueCPhil/91/00902911.pdf un point de vue différent de celui que vous soutenez, et je vous assure avoir lu un peu plus qu'un livre d'histoire des math. sur le sujet. Le point de vue sur l'antériorité de l'irrationalité du nombre d'or existe mais est moins répandu et plus spéculatif (et c'est déjà mentionné dans l'article). Si, comme vous, j'ajoutais quelque chose dans un article déjà assez avancé à ce sujet tel que celui-ci, effectivement j'apporterais des sources. Mais comme vous n'aimez pas mélanger les problèmes je suppose que vous allez laisser tomber au moins ceci ? Pour votre dernière réponse :

* le cube est je suppose un lapsus de HB.

* Vous avez plus haut un lien sur ce que l'on attend d'un résumé introductif, ça nous évitera de discuter de ce que ça doit être à votre avis.

* Sur le sujet un dessin réussi devrait quasiment se suffire en lui-même (c'est le cas de celui qui est déjà présent plus bas). Le pavage ne se voit pas mieux pour les raisons déjà évoquées. J'ajoute que de choisir le blanc et un gris foncé est encore une erreur (on voit plus le "papillon" que le carré). Si vous voulez rendre les choses évidentes : choisissez deux couleurs de même densité, mettez en regard deux carrés de côté unité avec les couleurs correspondantes (sans traits de constructions, lettrage inutile, avec des translations le plus "évidentes" possibles, utilisez l'"horizontale" ou la "verticale" ...). On commencerait à avoir quelque chose qui peut, pourquoi pas ?, se trouver en intro, qui ne nécessite pas autre chose qu'une courte légende, et on conserve le résumé introductif d'origine ou autre version adéquate à ce que doit être un tel résumé.

* Se persuader que les carrés sont semblables (je doute que ça pose réellement un problème intuitivement) est hors sujet, la proportionnalité également, surtout en intro.

En attendant je suis pour revenir à la dernière version correcte, qui est également une meilleure base de départ :

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Racine_carrée_de_deux&oldid=51360510 Proz (d) 21 mars 2010 à 17:27 (CET)

Le fait que vous soyiez fâché ne peut pas entraîner mon adhésion.

Faire exister le nombre √2, c’est faire exister une difficulté. Nous devons l’exposer, et mon image en parle. Dans une similitude, le rapport de proportionnalité entre les aires est le carré du rapport de proportionnalité entre les longeurs. Je vous conseille de prendre un peu de recul.

--Yves  Baelde (d) 21 mars 2010 à 19:24 (CET)

Emportement ... Et les provocations continuent ... Proz (d) 21 mars 2010 à 19:52 (CET)

« Faire exister le nombre √2, c’est faire exister une difficulté. Nous devons l’exposer, et mon image en parle. » Cette image ne "parle" pas, elle est confuse. Celle sur la diagonale du carré est bien plus "parlante" : quoi de plus simple qu'un carré ? Et pourtant, cette figure géométrique très simple pose le problème de l'irrationalité. La diagonale du carré en tant que nombre difficilement atteignable est connue depuis environ 4000 ans, voir YBC 7289. La "difficulté" est là, dans cette image simple du carré.

D'autre part, WP:INTRO mentionne « Le résumé introductif donne une vision globale de l’article en établissant le contexte, résumant les points les plus importants, expliquant l’intérêt du sujet et résumant d’éventuelles controverses s’il y a lieu. » ce que ne fait plus la nouvelle intro, qui ne fait pas consensus. L'ancienne est le sujet d'un consensus sur lequel travaillent des contributeurs depuis des années. Elle est certainement sujette à amélioration, mais seulement après avoir bien relu et assimilé tout l'article. J'ai reverté, et le referai s'il le faut. ---- El Caro ^bla 21 mars 2010 à 21:44 (CET)

Quoi de plus simple qu’un carré, mais pourquoi donc me demandez-vous quoi de plus simple qu’un carré ?

Je ne vois pas le rapport avec les passages en force qui ont annulé mes modifications. Mon carré dont l’aire est l’unité se nomme ABCD, sa diagonale [BD] est tracée. Pour vous l’autre image est l’image “sur la diagonale du carré”. Elle est “bien plus "parlante"”. Moi je vois qu’elle parle aussi de multiplier par quatre l’aire du carré initial. Elle est dans une section qui évoque aussi le problème de “la duplication du cube”. Vous trouvez que c’est plus clair ? Nous n’avons pas les mêmes yeux !

Vous ne dites rien de mon travail pour cet article, et vous tenez à une version antérieure. Le mot “reverté” est-il courant chez les anciens ? Vous découragez un contributeur récent, n’est-ce pas ?

Nous ne sommes pas d’accord. --Yves  Baelde (d) 22 mars 2010 à 01:01 (CET)

Post-scriptum.

Puisque tous les navigateurs n’affichent pas directement une image au format SVG, voici un autre lien vers l’image que j’ai créée, appelons-la “mon carré”.

Voici un lien vers l’image en tête de la version actuelle de l’article.

Voici un lien pour revenir à l’article, où des “révocations” déplorables suivirent mes modifications.

— Yves  Baelde (d) 22 mars 2010 à 10:56 (CET)

Pour la compréhension de l'échange, je précise que l'image dont il est question dans toute la section ci-dessus n'est plus celle en lien (modifiée depuis), mais la version précédente soit : http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/archive/6/61/20100322153842!Academ_existence_of_square_root_of_2.svg Proz (d) 26 mars 2010 à 00:11 (CET)

Des mots et des images

Dans l’article la répétition de √2 est inévitable. Une idée que j’ai eue, le signe × est assez connu pour que rien ne sonne comme “multiple” en tête d’article. Qu’en pensez-vous ?

Les liens sont souvent nombreux en tête d’une page, j’en propose deux vers Superficie et Similitude_(géométrie). Il peut y en avoir davantage, bien sûr. Mais pas trop — par définition de “trop” —. Je ne m’attendais pas à ce que ma version soit définitive…

Pourquoi pas une image ? Dans l’expression “racine carrée”, on entend “carré”. Puisqu’une superficie mesure une surface, la page pourrait d’emblée montrer un pavage. Si la vision des carrés n’est pas trop banale, lectrices et lecteurs seront contents de leur effort. Contents d’être avec nous.

Le code SVG de cette image est facile à retoucher, les propositions pour l’améliorer sont toutes les bienvenues. Mais impossible de satisfaire tout de suite toutes les idées à la fois…

Bien écrire, c'est beaucoup relire, beaucoup élaguer. Des gens sont derrière mon dos, je vais leur donner mon papier. Ça y est, je vous le donne.
— Yves Baelde (d) 23 mars 2010 à 09:41 (CET)

Votre approche ne fait pas l'unanimité; pardon : elle fait l'unanimité contre elle. Tous les WP illustrent la racine de deux par l'hypoténuse du carré, et je me joins aux autres contributeurs pour estimer que c'est effectivement la manière la plus simple et la plus claire d'illustrer le concept, en tout cas dans une introduction. Ce qui apparait dans l'article doit faire l'objet d'un consensus, et une initiative individuelle, soutenue par aucun autre contributeur, peut effectivement être révertée dans l'attente d'un consensus, qui n'a une chance d'être atteint qu'en produisant des sources qui montrent que cette approche est préférable à celle de l'hypothénuse. --Jean-Christophe BENOIST (d) 24 mars 2010 à 09:55 (CET)

Votre argument est politique. Vous dites que “tout le monde” est contre moi. Or, je ne suis pas contre moi.

Prenez donc la peine solitaire de rédiger une critique précise de mon début de mise en page.

— Yves Baelde (d) 24 mars 2010 à 11:09 (CET)

Les observations de Proz et HB sont pertinentes, et je n'ai rien à ajouter de plus. La charge de la preuve est maintenant clairement de votre côté. C'est votre rôle de nous convaincre, et la manière dont vous vous y prenez pour cela, sans sources notamment, et avec des acrobaties intellectuelles en guise de réponse ("je ne suis pas contre moi") ne peut mener qu'à l'échec et à l'impasse. --Jean-Christophe BENOIST (d) 24 mars 2010 à 11:28 (CET)

Je ne vois là aucune critique valable du texte et de l’image que j’avais proposés.

— Yves Baelde (d) 24 mars 2010 à 11:52 (CET)

Dommage, car tout le monde y voit une critique valable, sauf vous. Vous, je ne sais pas, mais moi je me remet en cause dans ces cas là. Je rappelle que ce qui est criticable ce n'est pas tant le schéma ou le texte en lui-même (quoique, mais c'est un autre sujet), mais surtout son usage dans l'introduction. Sur ce point, les observations de Proz ou HB sont parfaitement valables. --Jean-Christophe BENOIST (d) 24 mars 2010 à 12:28 (CET)

Je sens que l’expression “tout le monde” peut revenir longtemps.

Alors poursuivons ce “dialogue” dans votre page de discussion.

— Yves  Baelde (d) 24 mars 2010 à 12:53 (CET)

Je me permet de donner mon avis, puisqu'on ne me le demande pas : après avoir vu l'intro proposée par Yves Baelde, je me range derrière l'opinion exprimée par les autres contributeurs, à savoir le manque de clarté dommageable en introduction de l'article. Par ailleurs, les remarques de JC Benoist que j'ai pu lire dans sa PdD me paraissent de bon sens et on ne peut plus conformes aux règles de wp. Cordialement.--LyricV (d) 24 mars 2010 à 19:51 (CET)

Contre la formule magique “tout le monde hypoténuse”, je reprends là tout de suite un de mes très très anciens dessins, où se manifestent √4 et √5 sans le moindre angle droit (zéro droit). Autrement dit, je me prépare à dessiner encore. Et à propos de mon image sur √2, moi aussi je vois des améliorations possibles. Nous ne sommes pas obtus, n’est-ce pas ?
— Yves  Baelde (d) 25 mars 2010 à 07:19 (CET)

Sans réinventer, on peut exposer quelque part, si ce n'est déjà fait, la construction en escargot à angles droits de Descartes (euh, non, je crois que ce n'est pas de lui) qui permet d'exiber successivement les racines des entiers naturels. Elégant et pas compliqué. Cordialement.--LyricV (d) 25 mars 2010 à 21:15 (CET)

Non, il ne s’agit pas de parler de l’existence de toutes les racines carrées. Sous le titre “racine carrée de deux”, les mots et les images doivent être au service du sujet. Dans ma réponse sur Le_Thé, deux liens ont pour cibles de nouvelles propositions d’images.
— Yves  Baelde (d) 26 mars 2010 à 23:18 (CET)

Raisonnements et illustration

Si le carré de a/b est égal à 2, alors a/b = 2b/a = (2b-a)/(a-b). Dans l’hypothèse où a et b sont deux entiers positifs, alors (a-b) aussi est un entier positif, et (a-b) < a. Autrement dit, à partir d’une fraction égale à √2, on pourrait écrire une autre fraction égale, plus intéressante, parce que le dénominateur a diminué. En itérant le procédé, on obtient une suite infinie strictement décroissante de dénominateurs entiers positifs. Or, il existe seulement b entiers positifs strictement inférieurs à b. Cette suite infinie est absurde. Donc, il n’existe pas de fraction égale à √2.

On peut tenir ce raisonnement avec ou sans figure géométrique sous les yeux. Donc le titre actuel “Raisonnement géométrique” ne convient pas. Et maintenant voici comment rendre la section plus intéressante.

Prenons maintenant une fraction initiale a/b particulière : une fraction de meilleure approximation de √2, disons 99/70. Alors en remplaçant a par (2b-a) et b par (a-b) les fractions obtenues sont toutes des meilleures approximations de √2 : 41/29 ; 17/12 ; 7/5 ; 3/2 ; 1/1. Cet exposé est raccourci si on approche (√2 - 1) au lieu d’approcher √2. À partir de la fraction 29/70, on obtient les meilleures approximations suivantes : 12/29 ; 5/12 ; 2/5 ; 1/2. Autant parler des quotients de deux entiers successifs de cette suite : 1 ; 2 ; 5 ; 12 ; 29 ; etc. Là je viens de renverser l’ordre des termes. Notre présentation est analogue à celle des meilleures fractions qui approchent le nombre d’or, avec la suite de Fibonacci.

Dans la version actuelle de l’article, le raisonnement est illustré par cette image, où un triangle rectangle initial a des côtés qui mesurent a et b (avec les mêmes notations, a/b est une valeur hypothétique de √2). Je propose d’orienter différemment le triangle rectangle initial, afin de montrer la symétrie par rapport à la bissectrice de l’angle de 45°. Et je propose de parler de plier un carré de papier, afin d’obtenir un triangle rectangle isocèle. Et de plier ensuite le triangle de papier, en amenant un petit côté sur l’hypoténuse.

Nous venons de parler de la nature du nombre √2. Pour illustrer son existence, mon dessin est codé aussi en SVG. Dans les deux fichiers, le code SVG est clair, très facile à modifier. Pour illustrer le raisonnement sur la nature de √2, ma version actuelle n’est qu’un croquis. D’avance merci de me donner vos idées, afin d’améliorer mes deux dessins.
— Yves Baelde (d) 27 mars 2010 à 03:37 (CET)

Si a/b=2, alors b/a=1/2 et 2b/a=1 (ah oui, tu voulais écrire "racine de 2" !). Ensuite, cetains de tes raisonnements sont peut-être estimables, mais n'oublie pas que tout doit être sourçable.--LyricV (d) 27 mars 2010 à 06:47 (CET)

Quelques réactions :

Ce que vous proposez est par endroits intéressant (mais sources ?). En l'état ce me semble certainement trop disparate pour en faire une nouvelle section, les idées que vous lancez peuvent peut-être être recyclées de ci de là.

Vous faites remarquer que la preuve (sourcée) d'Apostol 2000 se réduit à une idée très simple et n'est finalement pas si géométrique qu'elle le prétend. Je vous ai trouvé assez convainquant sur ce point. On doit pouvoir en effet réécrire la section sur la "preuve géométrique" qui est furieusement longue, en plus court. L'orientation du dessin ne me fait ni chaud ni froid, si vous tenez à le tourner je ne vois pas de raison de hurler contre. Mettre en relief que AA' est la bissectrice de l'angle en A me semble en effet clarifier tout ça et améliorer la rédaction, c'est une bonne idée.

Votre remarque sur ce qui se passe si on part d'une réduite de la fraction continue me semble assez hors sujet dans cette section (sauf à avoir été évoqué par Apostol dans son article de l'AMM) ; en revanche faire remarquer que la forme [1; 2, 2, 2, …] est suffisamment simple pour que les coefficients des réduites se relient les uns aux autres par des relations de récurrence particulièrement simples, volontiers, mais plutôt dans le paragraphe sur les "fractions continues" et idéalement avec une source.

J'ai plus de mal avec le dessin supposé montrer l'"existence", tout simplement parce que je ne vois pas bien en quoi c'est une preuve d'"existence" (je suppose qu'on part d'une formalisation de la géométrie d'Euclide où l'existence des réels n'est pas évidente bien qu'implicite, mais on voit mal laquelle sur le dessin :-)). Là particulièrement l'existence d'une source me semble s'imposer. Touriste (d) 27 mars 2010 à 07:19 (CET)

Respecter le début de l’histoire, son point de départ, considérer que partir d’un bon pied c’est déjà bien, être d’accord ou en désaccord sur un point et le dire, pour montrer qu’on lit avec attention, c’est important. Alors je répète.
Si le carré de a/b est égal à 2, alors a/b = 2b/a = (2b-a)/(a-b).
D’accord ou pas d’accord ?
— Yves Baelde (d) 27 mars 2010 à 08:24 (CET)

Euh oui je suis d'accord avec ça (je veux dire avec son exactitude mathématique) - et après ? Touriste (d) 27 mars 2010 à 08:41 (CET)

Peut-être que tu continueras de modifier l’article au fur et à mesure de mes interventions ici, en discussion. La suite ? Peut-on qualifier ce raisonnement de “raisonnement géométrique” ?
— Yves Baelde (d) 27 mars 2010 à 08:50 (CET)

Non, pas des masses en effet. Et je le disais déjà plus haut : « Je vous ai trouvé assez convainquant sur ce point » -et d'ailleurs je suis intervenu dans l'article justement pour qu'il profite de vos remarques à ce sujet. Je crois que nous sommes très d'accord sur ce point. Touriste (d) 27 mars 2010 à 09:10 (CET)

Revenons maintenant dans les premières lignes de l’article. Le théorème de Pythagore ne peut s’appliquer qu’en présence d’un triangle rectangle. Mais si nous sommes en présence d’un triangle rectangle, que voulez-vous donc construire “géométriquement” ? Ce minuscule paragraphe ne tient pas debout.

J’ignore en quel état était cet article quand il fut promu “bon article”. Mais devant son état actuel, et compte tenu du barrage qui s’opposa à mes modifications, je propose une pause dans les modifications de l’article, afin que chacun ait le temps de relire attentivement les parties où il se sent assez assuré, sans se soucier du fait qu’il fut, paraît-il, relu des milliers de fois déjà. Préparons notre révision de l’article sans nous précipiter.
— Yves Baelde (d)

La phrase du résumé introductif que vous critiquez me semble pourtant résumer de façon forcément simplificatrice (sinon ce ne serait pas un résumé :-)) la section 4.4 "Construction de √2 à la règle et au compas" : la « construction », c'est celle du triangle rectangle isocèle qui est détaillée dans l'article, seulement évoquée en intro. Il est possible que cette phrase du résumé puisse être améliorée à la marge, ou qu'on puisse considérer que ça n'a pas sa place en introduction (je pense pour ma part que si, vu l'importance historique de la géométrie pour un truc qui remonte aux Grecs, mais l'histoire des maths et moi ça fait au moins deux) ; mais je ne vois pas de problème de cohérence, rien dont on puisse écrire "ça ne tient pas debout". Touriste (d) 27 mars 2010 à 09:41 (CET)

À la page Le_Thé j’ai créé la section #Je demande le respect de mon droit d’auteur.
— Yves Baelde (d) 27 mars 2010 à 09:58 (CET)

J'y ai répondu. Votre droit d'auteur n'a en rien été violé ; la fraction 2b-a/a-b -que vous n'êtes d'ailleurs pas le premier à citer- n'est pas protégée par le droit d'auteur. Touriste (d) 27 mars 2010 à 10:00 (CET)

Vous faites semblant de ne pas comprendre. Bien sûr, personne n’ira déposer un brevet sur cette façon de rédiger. En attendant, ce que vous venez d’écrire là-dessus, et que je viens de lire, est beaucoup moins clair que ce que je répète ici. Si le carré de a/b est égal à 2, alors a/b = 2b/a = (2b-a)/(a-b). Cette phrase est vraie que a/b soit ou non une fraction.
— Yves Baelde (d) 27 mars 2010 à 10:23 (CET)

Certes et quel usage voulez-vous faire de cette formule dans l'article ? Lorsque a et b ne sont pas entiers, c'est certes vrai mais je ne vois pas à quoi ça sert. Touriste (d) 27 mars 2010 à 10:27 (CET)

En des temps anciens, une façon d’attribuer une longueur à un segment ressemblait à une façon récente de trouver les meilleures approximations rationnelles d’un nombre. Un sujet tabou apparut dans les sectes, seuls les initiés connaissaient le secret, en principe. Étant donnée une unité de longueur, il était impossible de mesurer certains segments.

Ceci dit, je maintiens d’autres objections, d’autres contestations. Je ne comprends pas les premières lignes de l’article. Peut-être certains lecteurs seront remplis d’admiration devant ce qu’ils ne comprennent pas… Et puis, je travaille aussi à cet article par des images, savez-vous ? Il semble que je suis un agitateur…
— Yves Baelde (d) 27 mars 2010 à 11:04 (CET)

Plus je tente de travailler avec vous, plus je constate que c'est presque impossible. Vous éludez régulièrement les questions qu'on vous pose pour passer à autre chose. Oui je sais que vous travaillez à cet article par des images, j'ai même fait des remarques à leur sujet à 07:19, sur lesquelles vous refusez de rebondir pour vous plaindre ensuite qu'on refuse de parler de vos images. Sur "les premières lignes" et si vous faites allusion comme je le suppose à "peut être construite géométriquement" ça me semble clairement parler implicitement de construction à la règle et au compas - quand je vous ai répondu sur ce point, vous avez indenté pour passer à autre chose puis vous revenez (semble-t-il) vous plaindre sur ce point... Soyez plus organisé. Quelles sont vos « autres objections », « autres contestations » ? (merci de les séparer nettement les unes des autres). Quelles sont les phrases que vous ne « comprenez » pas ? Touriste (d) 27 mars 2010 à 11:15 (CET)

Par exemple, construire un triangle rectangle par le théorème de Pythagore, ça veut dire quoi ? Puisque cet article est mal écrit, il serait temps de prendre en considération mes mots et mes images.
— Yves Baelde (d) 27 mars 2010 à 11:32 (CET)

Dans la version actuelle de l'introduction de l'article, il y a un point-virgule quelque part entre les mot "construite géométriquement" et les mots "théorème de Pythagore". Il faut donc tordre sérieusement la grammaire pour prétendre que cette introduction suggère de « construire un triangle rectangle par le théorème de Pythagore ». Je continue à trouver la phrase de l'introduction qui vous irrite tant raisonnablement claire, même si peut-être perfectible. Touriste (d) 27 mars 2010 à 11:36 (CET)

Je pense l'avoir "perfectiblée", en effet Qu'en pensez-vous ?--Dfeldmann (d) 27 mars 2010 à 12:10 (CET)

Changer indirectement un détail puis un autre ne fera pas que l’article raconte l’histoire du nombre en question. Laissons un peu le temps au temps.
— Yves  Baelde (d) 27 mars 2010 à 14:11 (CET)

Que nous nous étalâmes

On me reproche parfois de changer de sujet. Mais pourquoi patauger longtemps dans une flaque d’eau quand nager au large est grisant.

Qu’il soit question du théorème de Pythagore dans l’article, pourquoi pas. Mais pourquoi dire trois fois la même chose, alors que le théorème n’est pas indispensable dans le cas de figure qui nous intéresse.

Chez les Anciens construire à la règle et au compas était une tradition, c’est vrai. Faut-il le dire avec insistance dans le cas de √2 ? Qu’il plaise à un auteur de montrer ses arcs de cercle dans l’article, pourquoi pas. Mais nous n’emballerons pas les foules dans les premières lignes de la page en évoquant vaguement une construction géométrique d’une diagonale de carré.

On ne se précipite pas pour me proposer des améliorations de mes images. Elles ont un inconvénient évident, elles portent le nom d’un seul auteur. En contrepartie, la création de l’image est ciblée.

Vous voyez, je tenais encore à écrire quelques mots. Je cherche vraiment une solution efficace pour améliorer vraiment cet article, et je ne trouve pas vraiment.

— Yves  Baelde (d) 27 mars 2010 à 16:06 (CET)

Illustration de preuve.

Dans la section précédente j’insistais sur un début de preuve possible de l’irrationnalité de √2, sur la façon de la rédiger, parce que dans une image comme dans un texte modifier des notations ou des nombres, par exemple, ça peut être très rapide. Quelle chance a cette image d’être insérée dans l’article ? Je n’en ai aucune idée. Alors l’image reste en l’état pour le moment.
— Yves  Baelde (d) 27 mars 2010 à 20:01 (CET)

la chance est normalement proportionnelle au nombre et à la qualité des sources (WP:V), ce qui ne veut pas dire qu'elle soit nulle ou même faible : je laisse les spécialistes se prononcer. Mais je rappelle ce point important, qui ne devrait pas quitter un seul instant votre esprit. Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 27 mars 2010 à 20:09 (CET)

Pour clarifier le propos précédent:

« La vérifiabilité est l'un des principes essentiels de Wikipédia. Les deux autres sont la neutralité de point de vue et l'interdiction de publier des travaux inédits. Ces trois règles déterminent ce qui peut ou non être publié dans Wikipédia. Elles doivent être interprétées les unes par rapport aux autres, et il est recommandé aux éditeurs de Wikipédia de bien les connaître et de se les approprier. Une information ne peut être mentionnée que si les lecteurs peuvent vérifier qu'elle a déjà été publiée par une source de qualité. Les éditeurs doivent fournir une telle source pour toutes les informations contestées ou susceptibles de l'être. »

Cordialement, Asram (d) 27 mars 2010 à 20:58 (CET)

Pour des dessins, le problème n'est pas forcément la sourçabilité - le dessin est supposé appuyer des infos sourçables déjà dans l'article. Si j'ai bien compris, le dessin proposé pourrait être substitué à Image:Sqrt2 is irrational.svg pour illustrer la section sur la preuve dite "géométrique" de l'irrationalité. La réorientation rendant (AA′) horizontale, comme je l'ai déjà écrit, me semble une bonne idée. L'absence de quelques arcs de cercle et points intervenant dans la construction qui alourdissent la figure aussi. Tout le reste moins : écrire 99 au lieu de p et 70 au lieu de q ne facilite pas la compréhension - il faudrait aussi indiquer le nom des points, avec les mêmes choix que dans la démonstration illustrée par le dessin. Ce qui est plus embêtant c'est que divers angles qui devraient être droits ne le sont pas bien sur le dessin me semble-t-il et à la louche en posant une feuille de papier sur mon écran. Touriste (d) 28 mars 2010 à 09:54 (CEST)

"m27 99 169-70 70 169" est le début de la chaîne qui détermine le tracé des traits noirs de mon image SVG. À partir du point de coordonnées 27,99 dans un certain repère, les deux traits spécifiés correspondent aux vecteurs de coordonnées 169,-70 et 70,169. Vecteurs de même norme et perpendiculaires, à condition que le repère soit orthonormé. Certes, il n’y a pas "meet" dans la valeur donnée à preserveAspectRatio. En principe "meet" est la valeur par défaut, je peux facilement ajouter ce "meet" dans la prochaine version téléversée sur Commons. De toute façon, viewBox="0 0 300 240", width="450", height="360", et 300/240 = 450/360 = 5/4. Alors d’après moi j’ai bien codé un triangle rectangle isocèle. Ensuite évidemment, il y a entre nous les systèmes et les subjectivités.

Par cette image nous communiquons, c’est un outil de travail. Si elle évolue vers une image de l’article, elle se complète au fur et à mesure, et c’est aussi en fonction du travail éventuel effectué dans le texte qui accompagne l’image. Un jour ou l’autre l’angle droit du dessin est signalé par les petits traits conventionnels.

Dans cette image faite pour travailler ensemble, les longueurs indiquées sont 99 et 70 pour les côtés du triangle. Nous pourrions signaler aux lecteurs qu’ils peuvent bien taper (99² - 2 × 70²) sur leur calculette. Mais qu’ils sachent aussi que c’est comme si on n’avait rien dit. Car nous évitons exprès Pythagore, dans la preuve que les longueurs indiquées sont fausses. Non, finalement non, ceci restera entre nous . Les 99 et 70 c’est pour se parler maintenant.

Par cette image et par le petit texte qui l’accompagnait, ne me suis-je pas fait comprendre de vous sans mettre des √2 partout ? Voici un extrait de l’article actuel, par exemple.
${{2q-p} \over {p-q}}={{q{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}-q{\sqrt {2}}} \over {q{\sqrt {2}}-q}}={\sqrt {2}}.$Expression qui saute aux yeux, on voit beaucoup de √2, c’est rébarbatif. Ça n’engage pas à se pencher sur l’exposé. Là, je parlais d’un texte actuel, il n’est associé à aucune image, il précède l’image actuelle. Le commun des mortels pense d’abord aux lettres a et b, plutôt que p et q. Mais bon.

Dans mon dessin je peux facilement remplacer 99 et 70 par des lettres, ou déplacer mes chiffres. Placer des majuscules pour nommer des points n’est pas très difficile non plus. Histoire de me présenter un peu mieux, ajoutons que j’ai souvent à l’esprit une lectrice qui voit mal, quand j’écris ou quand je dessine. Ça me vient de l’enfance.

À priori, pour l’avenir, je n’imagine pas trois traits en plus, parallèles aux côtés du triangle, avec des flèches aux extrêmités du trait comme dans de nombreux dessins techniques, qui indiquent des longueurs. Ça pour dire que dans l’image en tête de l’article tel qu’il est, les traits “techniques” trop proches des côtés du triangle sont néfastes. Ils brouillent la vision sans rien apporter en contrepartie. Et maintenant, c’est plus bas que je continue de défendre des propositions.

— Yves  Baelde (d) 29 mars 2010 à 03:40 (CEST)

À quelle place et comment ?

Le problème de ma place d’auteur dans cet article reste entier.
Un carré restera toujours un carré. Voici la dernière version de mon image sur l’existence de √2. Qu’en pensez-vous ?
— Yves  Baelde (d) 28 mars 2010 à 09:42 (CEST)

Que je ne comprends pas ce que ce dessin apporte de plus que le dessin très simple qui illustre actuellement le résumé introductif. Touriste (d) 28 mars 2010 à 09:54 (CEST)

Voici donc l’image imaginée pour poser d’emblée un problème au lecteur : √2 existe-t-il. Qui préfère lire dans l’image “√2 existe” en a bien le droit. Qui lirait “voici la seule image possible” aurait tort. Plus haut, j’ai commencé à expliquer ce qui me déplaît dans l’image actuellement insérée.

Je l’ai déjà dit quelque part, répéter √2 dans l’article est inévitable. Ce n’est pas une raison pour abuser. Dans l’article tel qu’il est, l’écriture √2 s’inscrit dans l’image. Et en voici la légende : “l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle de côté 1 vaut √2” (vaut). Et un extrait du texte juste à côté : “la diagonale d'un carré de côté 1, qui est l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle, vaut √2” (vaut). Que ce soit dans cette légende ou dans le texte, les invitations à cliquer sont “hypoténuse” et “triangle rectangle”. Si cette image-là doit rester en tête d’article, supprimons au moins sa légende, dont la police est plus petite que celle du texte. Cependant, faut-il saisir n’importe quelle occasion pour donner une leçon de vocabulaire au lecteur, ou bien s’agit-il de traiter le sujet de l’article ?

Bonne nouvelle HB, tu me montres une image SVG créée pour l’introduction de l’article. Taper “d'après Yves Baelde” dans ton fichier, vraiment HB ce n’était pas la peine. On peut pas dire non plus que ce soit méchant . Si tu trouves un jour astucieux de me poser une question relative au SVG, je répondrai. Parlons maintenant du but de ton image.

Dans ton image, il n’y a pas d’aire multipliée par quatre comme dans celle qui parle de Socrate, c’est bien. Il y a toujours ce fichu √2, il est moins bien tracé que dans d’autres images avec √2. Il y a dans ton image le même défaut que dans celle actuellement insérée, mais tu peux facilement écarter l’écriture des longueurs pour les rendre plus lisibles. Pourquoi ces pointillés, pourquoi pas partout des traits pleins ? Bravo, tu penses à améliorer l’introduction. Travaille un peu ton image, et insère-la en tête d’article — oui, bon, d’accord, je joue un peu trop au prof —.

Yves Baelde parle ici de cette image, que j'ai remaniée en tenant compte de ses remarques, et où j'ai essayé de faire cohabiter la diagonale du carré et la duplication de celui-ci. Compromis que je lui avais proposé en remplacement de la figure en tête d'article. Si cette figure ne vous agrée pas, dites le moi assez vite que je demande sa suppression, sinon, je la transférerai sur commons. HB (d) 3 avril 2010 à 16:08 (CEST)

Pas convaincu que traiter deux idées (certes apparentées) en une seule image aide le lecteur. La figure actuellement en tête d'article me semble plus naturelle et compréhensible au profane. Touriste (d) 3 avril 2010 à 16:36 (CEST)

Ok. Si pas d'avis contraire d'ici une semaine, pourrais-tu te charger de supprimer l'image cher administrateur? . HB (d) 3 avril 2010 à 18:38 (CEST)

Tant qu'on est dans les dessins, un dessin de Baelde a été accepté dans l'article, à savoir une illustration supplémentaire au sujet du format des feuilles de papier Fichier:Academ from square to standard paper format.svg. Ce dessin représente une construction d'un rectangle de côtés 1 et racine de deux « avec l’équerre et le compas » et me pose pas mal de problèmes : il doublonne la problèmatique de la construction à la règle et au compas, déjà illustrée, il a un air de "TI" (qui s'est déjà intéressé à la construction d'un rectangle à partir d'un carré avec ces contraintes ?), il se rattache à une classe de problèmes ("constructions à l'équerre et au compas") dont j'ignorais l'existence et me semble assez anecdotique (Google me renvoie cinq réponses à la demande "construction à l'équerre et au compas", toutes issues de programmes de l'enseignement secondaire français très locaux dans le temps). Elle me semble donc trop anecdotique pour le présent article - elle serait en revanche à sa place dans un hypothétique article (à l'admissibilité discutable mais plausible) Constructions à l'équerre et au compas. Touriste (d) 3 avril 2010 à 17:11 (CEST)

Il fallait bien laisser au moins un dessin .... je ne pense pas qu'Yves Baelde voulait présenter un dessin construit spécifiquement à l'équerre et au compas, car une équerre, c'est simplement un outil constructible avec la règle et le compas. Je pense qu'il voulait illustrer comme construire simplement un rectangle qui est semblable à sa moitié (propriété de la feuille A4). J'ai laissé le dessin mais je n'y tiens pas forcément donc quelqu'un qui le supprimera aura mon aval, celui de Proz (si j'ai bien lu) et le tien. HB (d) 3 avril 2010 à 18:38 (CEST)

Détail technique qui n’intéressera personne, quand tu tapes "return" dans ton code SVG, et qu’ensuite un Firefox par exemple analyse ton code (XML), il voit dans tes "return" des débuts d’éléments Text, et qui ne contiennent que des espaces, car ton but avec tes "return" est d’être plus lisible aux yeux humains. Résultat, la mémoire vive de la machine du navigateur contient des éléments inutiles. Je ne suis pas en train de te dire qu’il faut coder comme moi. Je dis seulement pourquoi je mets bout à bout mes éléments : non pour obscurcir mon code à l’œil humain, obscurcir à peine, mais plutôt pour rendre l’analyse du code plus simple pour les navigateurs, donner moins de travail aux machines.

Maintenant, s’il vous intéresse de lire l’impression devant l’article du petit nouveau que je suis, le sommaire est atrocement long. Le plan, il ne doit pas être remis en question tous les quatre matins, n’empêche, je ne vois pas pourquoi une preuve simple du caractère irrationnel de √2 ne serait pas rédigée pour de bon. Rédigée pour être comprise. Elle pourrait s’intituler “Une preuve du caractère irrationnel”, et ce serait la seule preuve rédigée.

Socrate a parlé de la décomposition en un produit de facteurs premiers, n’est-ce pas de l’Histoire ? Le découpage actuel de la rubrique Histoire est mauvais. Pourquoi mettre à part Occident ? La section qui parle de Martin Gardner devrait être en Histoire, “duplication du carré” aussi. Les sections “triangle rectangle isocèle” et “trigonométrie” peuvent disparaître purement et simplement, elles n’apportent rien. Les sections “une preuve du caractère irrationnel” et “constructions géométriques” étant dans une même rubrique Mathématiques, du coup la section “Géométrie” serait vide, elle disparaîtrait.

Quatrième item de Bibliographie, le lien IREM est rouge.
Cordialement. — Yves  Baelde (d) 29 mars 2010 à 03:40 (CEST)

Lire racine de 2 dans un article sur racine de 2 me parait inévitable, y compris de manière répétitive? J'essaierai de répondre sur le fond. Je voudrais souligner aux aimables contributeurs que, quelles que soient leur implication, dans une semaine, un mois, un an, voire un siècle, il n'en restera plus trace, ou presque, sous forme allusive réécrite, et que de penser qu'on apporte à wikipédia une forte valeur ajoutée aujourd'hui n'a pas de sens? Sur le lien rouge, ce n'est pas un défaut, juste une page à créer, qui montre le peu d'intérêt à l'heure actuelle de cette encyclopédie pour tout ce qui provient de l'IREM? (je plaisante). Ceci dit, peut-être qu'un vote s'il est possible finirait par cesser ces discussions stériles? Asram (d) 29 mars 2010 à 05:00 (CEST)

Attentiooooooooon, Y. Baelde ! Si vous saviez ce que Touriste (d · c · b) fit jadis au président Kennedy, vous ne vous risqueriez pas à vous montrer aussi agaçant ! Et ne comptez pas sur Jack Ruby pour vous venger ! 93.23.10.162 (d) 29 mars 2010 à 20:19 (CEST)

Revert d'une réécriture radicale du résumé introductif

Baelde (d · c · b) a proposé une version radicalement nouvelle du résumé introductif. Je viens de la réverter.

Elle me semble en effet aller dans un mauvais sens. S'il n'est pas interdit à une page de Wikipédia d'être pédagogique et de s'adresser à un large public, Wikipédia ne produit pas pour autant des documents pédagogiques autonomes mais des pages ayant un sujet délimité, éclairées par les pages voisines reliées par wikiliens. La nouvelle version proposée par Baelde offrait une introduction très généraliste et rédigée pour un public peu averti aux racines carrées (je cite : « Par exemple, 9 est un carré parfait : c’est le carré du nombre entier trois ») ou avec des considérations générales sur les carrés au sens géométrique (« “Carré”, le mot désigne aussi un rectangle dont les quatre côtés sont égaux. »). Elle ne me semble pas par sa tonalité générale dans l'esprit de ce que la "communauté" de contributeurs progressivement constituée attend d'une page de Wikipédia et est à mon sens une régression par rapport à un existant bien sûr améliorable, mais préférable à cette version innovante.

N.B. : je n'ai pas beaucoup de temps à consacrer à Wikipédia ces quelques jours, ne vous étonnez pas si je suis peu actif dans la discussion qui s'ouvrira peut-être. Touriste (d) 30 mars 2010 à 18:31 (CEST)

+1, mais je me montre plus sévère. A mon grand regret, je vais bientôt porter ce cas à l'attention d'un administrateur : il est inadmissible que ce contributeur, après de nombreuses remarques allant dans ce sens, se permette de modifier massivement l'introduction d'un article classé BA, dans un sens jugé défavorablement par une large majorité (et je pèse mes mots). Une guerre d'édition, qui plus est, pourrait bientôt survenir, son obstination n'ayant d'égal que sa surdité aux divers arguments qu'on lui a opposé... --Dfeldmann (d) 30 mars 2010 à 18:38 (CEST)

Propositions de résumé introductif

Il me semble qu'Yves Baelde reprochait à l'introduction de ne pas parler de la duplication du carré. Je pense qu'effectivement l'information doit y figurer. Il reprochait aussi à l'introduction de répéter de manière redondante le symbole. Les trois proposition qu'il a faites ont été rejetée avec raison car la première comportait une mise en tableau et une argumentation, la seconde était vidée des ses éléments importants et comportait encore une démonstration. La troisième était un exposé didactique sur ce qu'est un carré, un carré parfait et faisait disparaitre encore des éléments importants. Enfin, il me semble que le résumé introductif actuel devrait moins s'étendre sur l'irrationalité de √2 qui doit être développée (avec toute les difficultés que ce traitement comporte voir Discussion utilisateur:HB#Un petit coucou et Discussion utilisateur:Jean-Luc W#Découverte des irrationnels) dans la section dédiée. Comme la création de ce résumé introductif est un sujet sensible, je propose que les propositions soient faites dans la suite de cette section, avant d'être mises en ligne. HB (d) 3 avril 2010 à 16:10 (CEST)

• Sur la duplication du carré en intro : c'est un problème d'histoire des maths grecques, donc hors de mes champs de compétence et d'intérêt. J'aurais pu me faire un avis très au doigt mouillé en voyant à quel point c'est central dans les sources à l'apui de la section « Duplication du carré », mais cette section a zéro source. Aucune objection à une allusion dès le résumé, mais l'urgence me semble surtout le sourçage sur ce point, s'il est litigieux.
• Sur l'irrationalité, pas d'opinion très tranchée non plus, mais un peu sceptique : si j'ouvre la table des matières du bouquin de Rittaud ou l'article de Martin Gardner que j'ai utilisé pour retaper un peu la démonstration, j'y constate que cette irrationalité pèse assez lourd, ce qui ne me surprend pas. Dans notre résumé, c'est du 30 % à la louche. C'est peut-être un peu beaucoup et on peut faire moins par simple amélioration stylistique, mais ce n'est pas disproportionné. Touriste (d) 3 avril 2010 à 16:34 (CEST)

Duplication du carré : je ne comprends pas exactement ce que ça signifie. S'il s'agit de développer, ça semble exclu dans un résumé. Sinon c'est quasiment la définition, enfin son interprétation géométrique. On peut juste préciser (à la place du paragraphe correspondant) : "En tant que longueur √2 est le côté d'un carré d'aire deux fois un carré de longueur l'unité. Celle-ci peut être construite géométriquement comme la diagonale de ce carré de côté 1, qui est aussi l’hypothénuse d’un triangle rectangle isocèle, et vaut √2 par le théorème de Pythagore."

On peut ajouter ou non (ça ne semble pas indispensable) une phrase qui indique que dans ce cas on peut le constater directement (ou démontrer directement Pythagore). Proz (d) 5 avril 2010 à 15:39 (CEST)

Pour l'irrationalité : ça ne semble pas à développer plus que ça n'est (c'est un sujet qui déborde largement rac 2 et à développer soigneusement ailleurs), il suffit de modifier éventuellement à la marge et en sourçant le paragraphe actuel (et l'intro), en évitant tout engagement. Proz (d) 5 avril 2010 à 15:39 (CEST)

Duplication du carré

Je reviens quelques minutes plus tard après avoir regardé dans les yeux la section « Duplication du carré » et sans avoir fouillé l'historique pour savoir qui en est l'auteur. Elle me semble très peu convaincante. Autant le rapport entre ses dernières lignes et \sqrt 2 est clair (à partir du « On peut donc affirmer » ) autant je ne comprends pas le « donc » (en quoi le fait que Socrate ait utilisé une démarche maïeutique permet-il de démontrer une formule ? Bon là je joue un peu au con mais quand même y'a de ça) ni surtout le rapport des considérations sur le Ménon avec racine de deux. Certes le Ménon a un rapport avec la diagonale d'un carré et la diagonale d'un carré a-t-elle un rapport avec racine de deux, mais le rapport au second degré me semble ténu (le grand carré a une aire double du petit parce qu'il est formé de huit pièces triangulaires alors que le petit est constitué de quatre pièces - où est racine de deux là dedans ?) et devrait à mon sens être sourcé si on tient vraiment à l'inclure. Touriste (d) 3 avril 2010 à 16:57 (CEST)

Pour moi, il me semblait particulièrement évident que la duplication du carré permettait de prouver de manière naturelle que la diagonale d'un carré avait pour longueur le côté multiplié par la racine carré de 2 et ceci, sans que l'on ait besoin d'évoquer le théorème de Pythagore. Quand on sait , en outre, que le théorème de Pythagore est un théorème sur les aires, il me semble naturel de présenter la racine carré de deux comme le résultat d'une tentative de doubler un carré. Mon opinion semble être partagée par Caveing,(L'irrationalité dans les mathématiques grecques jusqu'à Euclide, V3, p 100) qui parle de la duplication du carré comme un problème fondamental de la mesure des aires. et évoque, toujours concernant la duplication du carré, que cela offre une validation géométrique du théorème de Pythagore tout en laissant entrevoir l'impossibilité rationnelle d'un tel triangle. Il me semble donc que l'on est au coeur du sujet. Il semble d'autre part, que la recherche de la duplication du carré se soit aussi posée dans le cas des nombres figurés (L'aube des mathématiques grecques Par Árpád Szabó,Michel Federspiel, p 155). Mais j'avoue personnellement que ces recherches de sources, probablement indispensables pour un article à label, demandent une érudition qui n'est pas la mienne. Hélas, faut-il abandonner l'idée d'améliorer l'article sous prétexte que l'on n'est pas assez spécialiste pour manier avec pertinence les sources exigées ? Si oui, qui va se charger des améliorations?

À moins que ce que tu reproches à l'article, c'est de mélanger la maieutique de Socrate et le problème (qui lui est antérieur) de la duplication du carré? HB (d) 3 avril 2010 à 18:30 (CEST)

Après ta réponse je m'aperçois que je ne jouais pas au c**... mais que j'étais c** à savoir que je n'avais absolument pas compris ce que racontait cette section (dont j'ai vu depuis mon intervention que tu étais l'auteur). Il s'agit de donner une "autre" démonstration que la diagonale du carré-unité est \sqrt 2, ne supposant pas Pythagore connu.

Ben en revoyant ça c'est un peu la faute de la façon dont c'est raconté quand même : j'avais sans m'en être rendu compte posé un problème sérieux en pointant le « donc » dans "on peut donc affirmer" parce que ça ne saute pas aux yeux du tout de voir comment ça procède de ce qui est avant. Si je comprends bien, il y a une étape intermédiaire que tu avais sautée ("le carré de côté bleu a une aire double du carré de côté rouge parce que composé de quatre pièces triangulaires alors que le rouge est composé de deux pièces" DONC d = c \sqrt 2). En outre il me semble indispensable (pour _certains_ lecteurs) de souligner qu'on ne suppose pas le théorème de Pythagore connu, parce que pour moi au moins il est aussi familier que les tables de multiplication et il me faut faire un effort pour ne pas l'utiliser.

Par ailleurs, je continue à penser qu'une bonne partie du contenu (tout ce qui concerne la maïeutique) reste trop indirectement relié à \sqrt 2 pour figurer dans cet article. Les sources que tu proposes montrent que la duplication du carré a un rapport (ce que je veux bien admettre) mais pas que le Ménon de Platon a un rapport ; on y parle certes de duplication du carré, mais ça reste un peu lointain à mon goût.

Enfin je réalise qu'il s'agit d'un type d'exercice que j'exècre tout en sachant que ça se pratique, que ça a du sens historiquement et que ce n'est donc pas hors sujet dans Wikipédia (faire de la géométrie en s'interdisant l'usage d'outils rattachables aux nombres, Pythagore ici) : dès lors que le but c'est de montrer que la diagonale du carré est \sqrt 2 sans Pythagore, ça a bien sa place dans l'article et je ne participe pas. Je te recommande quand même la réécriture de la section qui avait totalement été zappée par le lecteur de bonne foi que j'ai été. Touriste (d) 3 avril 2010 à 19:12 (CEST)

aie j'aurais préféré que tu gardes secret le fait, hélas véridique, que j'ai écrit, il y a 4 ans, une section non sourcée (passe encore) et incompréhensible ou pour le moins obscure (ça fait mal à mon égo de pédagogue). Au travail donc : on vire Ménon (sauf une allusion), on précise le contexte (une démonstration sans le théorème de Pythagore) et on source par Caveing....Je tente une refonte de la première partie de la géométrie en essayant de tenir compte des remarques faites (Menon resté allusif, fusion des trois sections, maintien de la relation avec le sinus et le cos, ouverture vers l'architecture suggérée par Yelkrokoyade...) C'est un gros chamboulement, je comprendrais que quelqu'un ne soit pas d'accord. Possibilité de reverter et/ou de ne conserver que quelques bribes mais il parait qu'il ne faut pas hésiter.... HB (d) 4 avril 2010 à 16:27 (CEST)

Tiens, j'étais persuadé à tort que l'article était pour sa structure dû à un autre contributeur, comme quoi le travail collaboratif peut exister sur wikipedia. Tu aurais pu laisser un peu du Ménon à mon goût (qui est que c'est justement le genre de sujet où l'on peut s'écarter un peu), mais c'est accessoire. Ca ne me gênerait pas que le dessin d'architecture indiqué par Yelkrokoyade soit également repris (en plus de celui introduit). Proz (d) 5 avril 2010 à 14:49 (CEST)

Je trouve ta nouvelle version très bien et ne regrette pas du tout Ménon. Merci de ton attention à mes critiques ! Touriste (d) 5 avril 2010 à 15:50 (CEST)

Incommensurabilité et irrationalité

Yves baelde a souligné que l'on ne dit pas que √2 et 1 sont incommensurables; je suis d'accord avec lui. Chez les mathématiciens grecs, 1 représente l'unité, 1 ne peut pas mesurer 5/3 ni √2. Les mathématiciens parlent de longueurs commensurables (ou incommensurables), c'est à dire de longueurs pour lesquelles il existe (ou non) une unité permettant de les mesurer toutes les deux. Cela ne m'avait pas choquée en lisant l'article mais c'est vrai qu'en toute rigueur, il faudrait parler de l'irrationalité de √2 ou de l'incommensurabilité de la diagonale du carré avec son côté. ce serait à changer dans tout l'article (5 occurences)

Cela se dit bien aujourd'hui (cf. TLFI, "par métonymie ...", qui cite par exemple Borel), mais l'attribution en ces termes aux grecs pose problème. Proz (d) 5 avril 2010 à 14:32 (CEST)

Plan

Yves Baelde pense que l'allusion à Gardner devrait être mis dans la partie Histoire, il pense que la section sur le triangle rectangle isocèle pourrait disparaitre ainsi que la section trigonométrie (si on la conserve il faudrait retravailler l'image). Jean de Parthenay trouve que l'article est une peu fourre tout et que les applications pratiques viennent trop tôt et propose le plan suivant : 1) Intro 2) Historique Babylone/grec/chine/inde/arabo-musulman/occident (à compléter) 3) Propriétés mathématiques 4) Utilités pratiques. Que pensez-vous de ce remarques ?HB (d) 3 avril 2010 à 16:10 (CEST)

J'ai ajouté la section sourcée par Gardner et ne vois pas en quoi ce serait une section d'histoire : c'est juste une démonstration simple, dont d'ailleurs j'ignore totalement la date d'apparition. La remarque me semble donc étrange. La section sur le triangle rectangle isocèle me semble en effet raisonnablement superflue, sauf bien sûr sa première phrase qui est d'ailleurs reprise à raison en résumé introductif. La section trigonométrie ne mérite peut-être pas un titre, en même temps signaler que 1/\sqrt 2 est le cosinus ou le sinus de quelque chose, ça me semble avoir sa place dans l'article (en l'absence d'un article distinct au sujet de 1/\sqrt 2) : OK pour virer le sectionnement sur ce point, pas OK pour jeter l'information. Touriste (d) 3 avril 2010 à 16:39 (CEST)

Je préfère le plan actuel. Le paragraphe "dans la vie courante" peut être vu comme une justification de l'article. Je le trouve à sa place avant l'histoire. Ce serait vraiment dommage qu'il soit placé en toute fin d'article. Proz (d) 5 avril 2010 à 15:00 (CEST)

Preuve géométrique

Vous trouverez un dessin de Yves Baelde pour illustrer la démonstration géométrique qu'il a laissé sur ma page de discussion, puis sur celle de HB. Pour le dessin actuel : en ajoutant la référence à Apostol (qui vient de la version anglaise), j'ai repris aussi le dessin (en l'allégeant) qui est un peu plus proche de celui d'Apostol que l'original de Régis Lachaume (d · c · b), en lien sur la page commons du dessin. Je préfère le style du dessin d'Apostol que je trouve très clair (encore plus léger et désigne juste ce qu'il faut comprendre). La démonstration y est plus rapide (égalité de deux des segments par tangence au cercle, sans détailler). Celui de Yves Baelde met plutôt en valeur l'aspect descente infinie. Je ne vois pas d'intérêt évident à changer, mais sans plus (en particulier je n'ai aucun attachement au dessin actuel). Par contre la longue description de l'image de Y. B. sur commons et son contenu me gênent. "Il n'y a pas de preuve géométrique ...", on pourrait discuter à l'infini, mais le contraire est dit et sourcé (Apostol) dans cet article ; "j'ai inventé ...", mais Apostol déclare présenter une variante d'une preuve des anciens grecs, et par exemple Heath 1921, A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid, Volume 1 p 208, fait une figure analogue (inscrite dans un carré), comme reconstitution d'une possible preuve géométrique (le terme "geometrical proof" est employé par lui p 207) due à Théodore de Cyrène. Il y a suffisamment de monde qui fréquente cette page pour trancher, et je passe la main ayant eu une mauvaise expérience des discussions avec Y.B. Proz (d) 5 avril 2010 à 18:20 (CEST)

First letter (this is it)

Dans quelques jours, je crée une nouvelle section dans cette page de discussion. J’ai tout dans la tête, mais voilà, faut du temps pour tout, et j’ai aussi une vie personnelle. Dans quelques jours une nouvelle section, si celle-ci n’est plus la dernière section. Y aurait-il une meute prête à sectionner ma section par des commentaires sur un vote éventuel à je ne sais quel sujet, ou sur une éventuelle intervention de Jack Kennedy, ou autre sujet en rapport avec √2 ? Soyez sages. Voici une image en attendant ma prochaine intervention,
voici un nouveau.

À très bientôt.
Troun’ de l’air. — Yves  Baelde (d) 6 avril 2010 à 12:02 (CEST)

Aïe, mes amis, il est possible que j'ai fait une gaffe : sur ma page de discussion, j'ai dit à Yves Baelde « En tête d'article il faut une image forte, facilement identifiable, emblématique de la notion. » J'ai l'impression qu'il m'a prise au mot. avec ce dessin artistiquement réussi mais ne remplissant pas, à mes yeux, les attentes habituelles sur wikipédia. Visiblement, je ne suis pas à même de gérer les contributeurs et l'évolution de cet article. Je pense vous abandonner lâchement. HB (d) 6 avril 2010 à 18:35 (CEST).

Histoire

J'ai refondu le début de la partie histoire car elle me semblait procéder d'une démarche peu scientifique. Le paragraphe sur la Grèce antique se limitait essentiellement à citer des informations de sources primaires : Platon, Aristote ou encore Proclus; or ces témoignages sont remarquablement difficiles à interpréter. On en restait alors à une image légendaire, incertaine et parfois hors sujet : Hippase n'a rien à voir avec √2. Les historiens du XX^e siècle ont fait un gigantesque travail pour comprendre une époque difficile qui n'était pas retranscrit dans l'article. Jean-Luc W (d) 19 avril 2010 à 11:14 (CEST)

C'est vraiment du beau travail ; bravo (et merci)--Dfeldmann (d) 19 avril 2010 à 11:54 (CEST)

Oh merci Dfeldmann. Pour la suite de l'histoire, Je n'ai rien trouvé. A ma connaissance, elle rejoint alors l'histoire des nombres et la conquête des irrationnels, mais à mon avis, ce n'est pas ici qu'il faut la traiter. Sa spécificité marquée à l'époque des babyloniens et des grecs s'estompe. Je suis pour, si personne n'y voit inconvénient de sabrer les différentes têtes de paragraphes qui sont vides pour une bonne raison et de faire un petit texte court et renvoyant à l'histoire de la racine carrée et celle des irrationnels. Jean-Luc W (d) 19 avril 2010 à 15:05 (CEST)

Le début de la phrase « Le mélange de la culture babylonienne, que Jens Høyrup qualifie d'algébrique, avec la culture géométrique grecque est à l'origine d'une nouvelle démarche mathématique, appelée algèbre géométrique » me paraît un contre sens : il me semble que c'est Neugebauer qui a insisté sur l'aspect "algébrique" de maths babyloniennes, et que tout le travail de Høyrup, justement, vise à montrer le contraire : les raisonnements babyloniens sont avant tout géométriques. « L’algèbre » babylonienne est en fait, pour Jens Høyrup, une « géométrie naïve ». (citation extraite de http://educmath.inrp.fr/Educmath/ressources/lecture/repertoire/hoyrup/?searchterm=hoyrup) ---- El Caro ^bla 21 avril 2010 à 14:20 (CEST)

Bonjour El Caro, et merci de ta remarque. L'idée d'algèbre chez les babyloniens est clairement de Neugebauer puis reprise par Van der Waerden. Le véritable apport de Høyrup est d'avoir montré la dimension géométrique de la pensée babylonienne, nous sommes parfaitement d'accord. Ta source le cite d'ailleurs : Cette méthode de « complétion du carré » est proche de celle des Grecs .... La question est, pour les historiens, si ce mélange, fondé sur le raisonnement géométrique pour, par exemple établir des équivalents d'identités remarquables, peut-être considéré comme de l'algèbre. Ma lecture du chapitre VII (intitulé Old babylonian algebra, a global caracterisation), et plus particulièrement son interrogation à la page 278, m'indique que pour lui ce mélange peut être effectivement considéré comme de l'algèbre. J'ai donc choisi cette référence car elle me semble représenter la tendance des historiens actuels qui tend à considérer qu'une pensée construite sur une logique géométrique comme celle des grecs ou des babyloniens de Høyrup peut tout de même être qualifiée d'algèbre dans un sens peu différent de celui que Neugebauer donnait à ce terme. Cette réponse te semble-t-elle convaincante, ou penses-tu qu'elle risque d'être mal interprétée ? Jean-Luc W (d) 21 avril 2010 à 15:18 (CEST)

Ta réponse est très convaincante, mais ce petit paragraphe de l'article risque d'être mal interprété : qui fait le "mélange" ? Est-ce Høyrup qui qualifie d'algèbre (on comprend : qui est le premier à avoir l'idée de qualifier)... D'autre part, il n'est pas certain que les Babyloniens ce soient posé la question de l'irrationalité, donc leur place à cet endroit précis risque d'être abusive... Je pense qu'il vaut mieux remplacer ces deux lignes (qui, si j'ai bien compris, servent surtout d'introduction aux démonstrations) par d'autres qui se contenteraient de dire que les démonstrations suivantes font appel à l'algèbre géométrique et sont connues depuis les Grecs anciens (au moins). ---- El Caro ^bla 21 avril 2010 à 17:15 (CEST)

J'ai suivi ton conseil, bravo pour ton travail sur les babyloniens, c'est un vrai plaisir. Jean-Luc W (d) 21 avril 2010 à 17:51 (CEST)

Suite

J'ai refondu la fin de la partie histoire. Je n'ai pas trouvé de texte spécifique sur les Indes à propos d'un rôle particulier de √2, mais je n'ai pas vraiment cherché.

J'ai réécrit la partie définition d'un irrationnel. Elle ne me semblait pas vraiment faire sens.

J'ai retiré l'information à propos de la connaissance d'une démonstration avant Aristote. Telle que rédigée, cette démonstration suppose connus le principe de la descente infini, la notion de diviseur d'un entier, ou encore des identités remarquables sous forme algébrique, ce qui ne fait guère de sens avant Aristote. Jean-Luc W (d) 20 avril 2010 à 11:59 (CEST)

Mathématiques élémentaires

J'ai refondu le début de la partie mathématique. L'objectif de cette refonte est d'obtenir un texte plus facile d'accès et plutôt plus court. La séparation algèbre et géométrie me semblait un peu artificielle. Nous sommes ici au coeur de l'algèbre géométrique, un mélange des deux. La nouvelle présentation est elle plus simple ? En tant que contributeur principal, je serais mauvais juge pour évaluer convenablement. Jean-Luc W (d) 21 avril 2010 à 11:26 (CEST)

Je la trouve personnellement meilleure mais la logique ne voudrait-elle pas que les sections 5.3, 5.4 et 5.5 migrent à l'intérieur de la rubrique 5.2 car elles sont des preuves de l'incommensurabilité de la diagonale par rapport au côté. Je regrette par ailleurs la disparition de l'allusion à Ménon qui est quand même un moment de référence (philosophique et mathématique) concernant la duplication du carré. HB (d) 21 avril 2010 à 12:18 (CEST)

À titre perso, je n'aime pas bien ce mélange d'histoire et de démonstrations - les trucs qui me semblent "intéressants" comme lecteur sont les démonstrations en langage du XXIème siècle, typiquement la phrase que j'avais rapatriée de Martin Gardner (celle référée par la note 40). Un lecteur comme moi qui saute systématiquement au paragraphe suivant dès qu'il voit un mot comme "babylonien" se retrouve sans preuve d'irrationalité. Mais bon j'aime pas l'histoire des mathématiques c'est pas une raison pour en dégoûter les autres :-). Simplement le "point de vue" historique me semble un peu trop se répandre dans tout l'article. Ma remarque étant finalement peu constructive, je le concède. Touriste (d) 21 avril 2010 à 12:37 (CEST)

Faiblesses des modifications

Je ne crois pas que mes modifications ait empiré l'article, mais elles ne sont pas moins entachés de faiblesses. J'en vois encore quelques unes, je les corrigerais si elles font consensus :

Mon interprétation de l'idée de HB : L'anecdote du Ménon est célèbre à juste titre. L'étude de la racine carrée de deux met en évidence en philosophie des vérités cachées : Quelque soit l'acuité de mes yeux, je peux construire un triangle commensurable que je ne sais pas différencier d'un demi carré, mais aucun demi carré n'est commensurable. Cet aspect de la question n'est pas traitée, il devrait être abordé. La conséquence des découvertes en mathématiques des études sur la racine carrée de deux ne sont pas non plus négligeables : d'une méthode pour trouver la commune mesure, on obtient un algorithme arithmétique sur le PGCD, on invente l'anthyphérèse, Eudoxe développe une construction axiomatique qui rend compatible l'exhaustion et les incommensurables. On remarque de plus des propos sur l'architecture et √2. Ces remarques devraient être insérées avec plus de précision dans le texte, mais méritent un développement.

Mon interprétation de l'idée de Touriste : En bref, les grecs l'emmer... La question de l'irrationnalité est avant tout algébrique, un point de vue surtout orienté géométrie est peut-être une vérité historique, mais c'est aussi un contre sens aux yeux des mathématiques actuelles. Ma position n'est pas exactement celle de Touriste, l'histoire est un bon prétexte pour mettre en évidence les démonstrations les plus intuitives et les plus simples, ce qui devrait être l'objectif d'un tel article. Cependant, l'équilibre n'est pas encore le bon. Une preuve généralement attribuée à Dedekind est la suivante : si √2 est rationnel, soit q le plus petit entier tel que q√2 soit un entier, alors q√2 - q est plus petit et vérifie la même propriété. Cette démonstration est plus simple que celle de la descente infinie géométrique, qui pourtant est mise en avant. L'équilibre de l'article peut donc être amélioré.

Le plan de l'article : Il pêche à plusieurs niveaux à mes yeux. Une réalité jamais contredite sur WP est que le lecteur qui visite un article de mathématique, cherche en premier lieu un savoir mathématique. J'ai mis du temps à vérifier cette règle, commençant souvent par des longues introductions historiques. Placer un premier paragraphe sur √2 dans la vie de tous les jours est une erreur. Ensuite, l'article est simplifiable sur les mathématiques, en regroupant en deux grandes parties, celle algébrique qui tourne toujours autour de la même idée diophantienne et celle analytique qui tourne toujours autour d'un développement en série (exprimé parfois sous la forme d'un produit infini). Une explication plus précise des mécanismes sous jacents permettrait d'éviter de nombreuses redites et de structurer l'article.

La rigueur : L'article peut être rendu plus rigoureux à certains endroits. Le premier exemple qui me saute aux yeux est celui sur les formats de papier. Je doute que l'intérêt du lecteur de ce paragraphe soit de l'ordre d'une construction à la règle et au compas. Un rapide travail de source permettrait de corriger ce type d'incohérence.

Si la communauté est convaincu par cette vision, j'irai dans ce sens et continuerait à refondre l'article. Jean-Luc W (d) 22 avril 2010 à 11:47 (CEST)

Concernant le plan de l'article il s'agit d'un préjugé sur ce que viennent chercher les lecteurs de l'article quand ils lisent cet article. Pour ma part je trouve ca plutôt reposant d'avoir une distraction avant de plonger dans les méandres des mathématiques qui sont plus difficiles. Xavier Combelle (d) 7 juillet 2010 à 19:18 (CEST)

Je suis d'accord avec Touriste que depuis le 21/4/10, les preuves "en langage moderne" sont, quand elles n'ont pas disparu, enfouies au fin fond de la partie "histoire" (et avec Jean-Luc W que l'image dans le § sur les formats de papier semble un TI). Je vais tenter d'insérer une section "Preuves simples d'irrationalité" avant "Histoire" (et y placer entre autres la prétendue "Variante de la même démonstration" du § "le pair et l'impair"). Anne (discuter) 9 juillet 2014 à 21:22 (CEST)

Questions de superficies

Dans l’intention de ne pas trop en dire, néanmoins je serai humain. Pas moyen de faire autrement. Des sciences ont beau être exactes nous sommes souvent compliqués. Afin d’être clair je l’espère, je serai bref, m’en tenant à des questions de superficies. J’aurai l’impression de me répéter.

Comparons des superficies (ici les chiffres 1 sont des numéros).

Le carré d’une longueur étant une superficie, jamais on ne construit la racine carrée d’une longueur. Même si la première phrase de cette page-ci n’est pas d’une limpidité parfaite (mais je ne suis pas tellement à l’aise en anglais), je lis bien “given a fixed line segment of unit length” : il est donné un segment de longueur unité. Par contre, cette page-là commence mal. Et il serait bon que son image montrant la construction de √x exhibe un rectangle de dimensions 1 et x, même si la longueur 1 est bien présente dans l’image. Par exemple ici avec cette image-ci, ce point fondamental de l’unité de longueur est oublié.

En présence d’un triangle rectangle quelconque, le théorème de Pythagore donne une relation entre des superficies. Mais dans cet article-ci, le triangle rectangle sera toujours particulier, toujours isocèle. Évocations, citations, et emplois inutiles du théorème Pythagore dans un exposé de mathématiques ne sont pas seulement inutiles, ils sont néfastes.

Troun’ de l’air. — Yves  Baelde (d) 24 mai 2010 à 08:28 (CEST)

Attention Baelde, chez les grecs anciens comme dans nos mathématiques actuelles, √2 est un être sans dimension. Chez les grecs, si ABCD est un carré, √2 désigne la proportion entre AC et AB, et non pas la longueur AC d'un carré de côté 1. Dans nos mathématiques actuelles comme chez les grecs, l'égalité √2 x √3 = √6 fait parfaitement sens, indépendamment des questions de dimension et le fait que √2 soit constructible est indépendant que la question de l'unité de longueur. (Pour fixer le vocabulaire, on peut se référer à : Jean Claude Carréga, Théorie des corps, la règle et le compas, Hermann 1981). Pour être rigoureux, dire que √2 est constructible à la règle est au compas signifie que √2 est un élément d'une tour d'extension quadratique. Jean-Luc W (d) 24 mai 2010 à 09:44 (CEST)

Chez les Anciens comme chez moi, si ABCD est un carré, √2 désigne le rapport entre les longueurs AC et AB. Que tu veux me dire ensuite ? L’image en tête de l’article actuel ne serait pas valable chez les Anciens ? Ou bien √2 ne serait pas constructible pour les Anciens ?

Critiquer est un exercice assez ingrat. Là peut-être est mon tort, ci-dessus j’ai encore effectué une tâche ingrate.
— Yves  Baelde (d) 24 mai 2010 à 10:11 (CEST)

Pour comprendre, chez Eudoxe, mais surtout dans les mathématiques contemporaines l'enjeu de la dimension, tu peux te poser la question de la dimension que l'on devrait donner aux valeurs 2, 3, 6, √2, √3 et √6 ; dans l'égalité : √2 x √3 = √6. Jean-Luc W (d) 24 mai 2010 à 10:22 (CEST)

Avant d’aller au soleil, ce qui m’évitera de me répéter davantage, la notion de nombre constructible pour le moment est carrément bâclée dans l’introduction de l’article qui lui est consacré. Les constructions de racines carrées seraient mieux exposées dans cet article-ci et ailleurs, si les images consentaient à montrer des surfaces. Ici l’article “parle” de carrés.  Quel rapport avec  √2 x √3 = √6 ?
Cordialement. — Yves  Baelde (d) 24 mai 2010 à 10:42 (CEST)

Je comprend que le soleil soit plus tentant que cette discussion. Il est en effet subtil de comprendre pourquoi le concept de racine ne s'applique ni maintenant ni chez les grecs anciens à des surfaces pas plus qu'à des longueurs. Pour fixer le vocabulaire de cette partie de l'article, le plus simple est de comprendre le Jean Claude Carréga. Pour la partie historique, la raison du choix du terme proportion plutôt que rapport est bien explicité dans le Árpád Szabó. L'exemple √2 x √3 = √6, mais je comprend qu'il est subtil et que tu préfères le soleil. Bonne journée. Jean-Luc W (d) 24 mai 2010 à 10:50 (CEST)

Irrationalité par congruence

Il me semble que le caractère lapidaire de cette démonstration cache en fait trop de non dit pour être compréhensible, du moins pour moi. Il faut à mon avis une argumentation non anodine pour passer de « 2 n'est pas un carré modulo 3» à «2 n'est pas le carré d'un rationnel». Ensuite renvoyer sur le symbole de Legendre pour expliquer que 2 n'est pas un carré modulo 3 me semble fermer l'accès à la compréhension élémentaire d'une propriété qu'un simple tableau de congruence modulo 3 permet de saisir. HB (discuter) 11 juillet 2014 à 08:21 (CEST) P.S. : Autre modification surprenante : pourquoi changer «p est premier avec q» (que l'on rencontre dans presque tous les livres de maths) en «p est premier à q» qui me semble bien moins courant ?

Juste par commodité car le redirect premier à existait et pas l'autre. Il est sourcé là-bas par Serre, mais puisque tu dis que premier avec est plus courant, je vais le créer et l'utiliser. Tu as raison je vais détailler la démo pour 3 (et placer le lien « symbole de Legendre » seulement pour justifier la généralisation ?). Anne (discuter) 11 juillet 2014 à 09:46 (CEST)

Je ne comprends pas comment on est sensé compléter cette preuve et que ça reste simple, je dirais que si l'un parmi p et q n'est pas divisible par 3 aucun ne l'est par congruence modulo 3, mais alors pourquoi envisager ensuite le cas pr^2 congru à 0 modulo 3 ? Parler d'inverse semble compliqué alors qu'il suffit de regarder l'égalité modulo 3, peut-être y-a-t-il une intention cachée que je n'ai pas vue. Proz (discuter) 17 novembre 2014 à 20:58 (CET)

Le 11/7 j'avais satisfait HB en rendant non « lapidaire » la preuve. Je ne vois pas ce qu'il y aurait à « compléter » plus. Tu proposes de remplacer par : mod 3, (p², q²) ≡ (1, 0), (0, 1) ou (1, 1) donc p² – 2q² ≢ 0 ? C'est effectivement moins « compliqué », mais fait moins apparaître l'« intention » (révélée dans la parenthèse finale). Anne 17/11/14 23h25

C'est certainement mieux, mais là le problème est différent, pour suivre le raisonnement j'ai l'impression de devoir m'attacher une main dans le dos sans trop savoir laquelle, le passage non explicité est "on déduit de p^2 = 2q^2 que q possède un inverse r modulo 3" (à comprendre de ce qui précède et de ..., (et d'ailleurs pas p puisqu'ensuite tu envisages qu'il puisse être nul modulo 3), mais c'est forcément parce qu'on connait le résultat général sur Z/pZ*, car inverser à la main c'est élever au carré et l'autre solution apparaît immédiatement. Il faudrait peut-être avouer d'emblée que la preuve s'appuie sur les propriétés du groupe multiplicatif Z/pZ*, p premier. Ou alors faire la simple (accessible niveau bac) et donner la généralisation sans détailler ? fait je (et le lecteur) ne sais pas à quel niveau cette preuve est sensée se situer. Proz (discuter) 18 novembre 2014 à 22:30 (CET)

Preuve géométrique (2)

La preuve arithmétique dans le paragraphe Racine_carrée_de_deux#Descente_infinie est donnée sans aucune source. Elle s'appuie sur un dessin inspiré d'Apostol qui ne décrit pas cette preuve (ref. aujourd'hui accessible). La seule note renvoie à Caveing 1979, p. 168, soit cet article qui est une recension critique d'un livre de Szabo, qui ne donne rien étayant le contenu de la section. Par ailleurs cette note renvoie à ceci (p 167-168) "C'est une erreur de croire que l'algorithme d'Euclide appliqué à deux longueurs incommensurables ne permet pas une démonstration effective d'incommensurabilité [...] ce qui manque à la démonstration c'est l'axiome d'Archimède [...] qu'on n'a pas le droit de faire remonter plus haut qu'Eudoxe de Cnide". Je ne sais pas quel sens il faut donner à démonstration effective (difficile sans savoir ce que dit Szabo que je n'ai pas lu). Cependant une preuve d'irrationalité telle que celle présentée dans le paragraphe n'utilise pas l'axiome d'Archimède, c'est juste de l'arithmétique, illustrée géométriquement, mais la géométrie n'intervient pas dans les justifications, c'est la preuve déjà présentée plus haut dans la partie mathématique. Aucune raison de penser que cela ait un rapport avec ce dont parle Caveing et que cela justifie que "cette preuve ne peut être antérieure à Eudoxe", ce qui de toute façon pour une description aussi peu "historique" n'a guère de sens. Ceci d'autant plus, que plus loin une référence à Caveing 1998 p 130 annonce que "cette anthyphérèse est probablement la première preuve complète", or il s'agit de la même "anthyphérèse" (c.a.d la fraction continue de racine de 2). De plus c'est une erreur de lecture, Caveing p 130 parle en fait de la preuve par le pair et l'impair comme probable première preuve, non d'une preuve par anthyphérèse, mais en expliquant comment elle aurait pu être inspirée par "les nombres diagonaux et latéraux" (encore l'anthyphérèse en question), et en s'appuyant sur un dessin p 124 qui montre bien les triangles du dessin (tiré d'Apostol), (mais des constructions et une justification différente) !

En bref ce paragraphe qui n'est pas sourcé ne me paraît pas pouvoir être conservé. La partie sourçable par Apostol correspondant au dessin est en boîte déroulante, je propose qu'elle soit allégée pour correspondre à l'original (sans ajouter des calculs ou explications inutiles, la démonstration géométrique d'Apostol est intéressante aussi parce qu'elle est minimaliste et ne demande aucun calcul), soit donnée dans la partie mathématique, et en signalant au moins en note les variantes données par http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml . La version arithmétique est déjà présente.

Pour la partie historique, il me semble par ailleurs indispensable de bien attribuer les diverses reconstructions des historiens, qui ne sont pas tous d'accord entre eux (ex. Caveing et Szabo), ça ne peut être passé sous silence. Et il y a d'autres problèmes à régler. Proz (discuter) 29 octobre 2014 à 16:39 (CET)

Peux-tu attendre une petite semaine. Je n'ai pas mes livres sous la main mais je crois me souvenir que dans La démonstration mathématique dans l'histoire, il y a la description d'une démonstration de l’irrationalité sous la forme géométrique illustrée par un dessin qui ressemble à celui-ci. Je n'en suis pas sûre et préfère consulter la source avant de dire mon avis sur la suppression que tu envisages. Merci. message laissé par HB le 29 octobre 2014 à 17:54

Il n'y a bien entendu aucune urgence. Et une nouvelle source est bienvenue, surtout si elle permet de défricher le terrain. Maintenant, c'est ce paragraphe tel qu'il est rédigé que je remets en cause, avec une justification qui n'a rien de géométrique. Des dessins "qui ressemblent" j'en trouve : Caveing 1998 p 124, Heath 1921, A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid, Volume 1 p 208. Dans les deux cas c'est la méthode d'anthyphérèse, l'algorithme d'Euclide, absent de notre paragraphe, qui est mise en avant (on cherche une plus petit diviseur commun de p et q, d'où les soustractions successives), et les justifications sont bien géométriques. Dans les deux cas il s'agit d'hypothèses : ce sont des reconstructions pour imaginer quelles auraient pu être les premières démonstrations d'irrationnalité (pas forcément seulement de racine de 2), où comment les grec auraient pu en avoir l'idée, par ex. Heath discute d'une hypothèse de Zeuthen sur la façon dont Théodore de Cyrène aurait pu obtenir ses résultats d'irrationalité, en utilisant l'additivité des aires. Plus l'époque dont il est question est ancienne plus c'est spéculatif, et plus il faut être attentif aux formulations (compatibles avec ce que les historiens pensent être à l'époque les connaissances mathématiques). Peut-être que le dessin actuel est récupérable dans la partie historique, mais il n'a pas été conçu pour ça, et Apostol, pour le sien, ne prétend pas faire oeuvre d'historien.

On a le même problème avec la preuve par les rectangles plus bas. Là il est question d'anthyphérèse, c'est déjà mieux (mais une erreur de lecture de Caveing soulevée ci-dessus), mais je ne sais pas du tout d'où sort le passage par 1+√2. Evidemment c'est correct et plutôt joli, mais ce n'est pas chez Caveing (qui donne des rectangles homothétiques de rapport √2 en procédant par découpage, mais en passant par les triangles) et je ne crois pas chez Szabo, malgré les ref. indiquées, et on pourrait présenter en utilisant les mêmes arguments le paragraphe Racine_carrée_de_deux#Descente_infinie. Proz (discuter) 29 octobre 2014 à 20:34 (CET)

La preuve par découpage de rectangles est attribuée par Martin Gardner (ouvrage cité) à Hugo Steinhaus .... (p 13), alors qu'il attribue bien aux grecs une variante de la première par les triangles (p 12). Proz (discuter) 29 octobre 2014 à 22:20 (CET)

Bon j'ai pu relire mon livre. Et cela me fait dire que notre article pèche par imprudence (la version de septembre 2009 était plus prudente). La figure du triangle n'y figure pas, la méthode d'anthyphérèse est donnée sur des carrés et sous forme d'une reconstruction hypothétique. Ma source (Denis Daumas, «Sur la démonstration de l'irrationalité chez les grecs», in La démonstration mathématique dans l'histoire, 7eme colloque inter IREM, Besançon, mai 1989) précise que la méthode du pair-impair figure parfois (indument) dans des versions des Eléments mais ne figure pas dans la traduction de Heath. Elle dit que cette méthode est attesté par Aristote. Le texte de Théon de Smyrne avec nombre latéraux et diagonaux est présenté mais il est précisé que Proclus attribue la méthode aux pythagoriciens.

• L'allusion à l'algorithme d'approximation babylonien comme étant l'ancêtre de la méthode d'anthyphérèse doit être supprimé («L'algorithme d'approximation des racines est repris et prend le nom d'anthyphérèse»). la source ne faisant absolument pas le rapprochement entre les deux et la méthode babylonienne étant inconnue.
• La relation entre la méthode d'anthyphérèse et l'algorithme d'Euclide de recherche d'un pgcd doit être plus mis en évidence. Ma source rappelle la proposition II (livre ???) d'Euclide «Deux grandeurs inégales étant proposées, et si la plus petite étant toujours retranchée de la plus grande, le reste ne mesure jamais le reste précédent, ces grandeurs sont incommensurables», signale que les Elements ne proposent aucune utilisation de ce critère mais qu'Euclide ne l'a surement pas cité en vain.
• l'allusion à Eudoxe de Cnide me parait devoir aussi être supprimé. Dans la source fournie, p. 168 Caveing indique seulement que l'axiome d'Archimède ne peut pas remonter avant Eudoxe. Le lien entre cet axiome et la preuve effective d'une irrationalité par descente infinie est trop vague pour que l'on soit aussi affirmatif, d'autant plus que Caveing est en train de signaler (p. 167) une erreur de Szabo.
• Quand des historiens ne sont pas d'accord et que l'on n'est pas sur de savoir expliquer sur quel point ils se déchirent, il vaut mieux rester vague et le moins affirmatif possible.
• En fait toute la section Construction et démonstration grecques doit être recyclée. Il n'est pas prudent de la présenter comme une section historique car il s'agit davantage d'hypothèses sur des raisonnements remis en plus à la sauce moderne. Si on regarde bien, le pair impair est déjà placé plus haut, comme la descente infinie . Reste le problème de construction à déplacer dans une section idoine (à la règle et au compas et surtout au compas seul qui est quand même ce qui est le plus intéressant). Et la section sur les fractions continues ne me convainct pas : dans mes souvenirs, elle remontent au Vie siècle après JC donc rien à voir avec les grecs, On y parle encore d'un algorithme babylonien tout aussi hypothétique. Le principe peut rester mais doit être déconnecté de toute prétention historique à mon avis.

Je sais que j'ai laissé passer ces textes il y a 5 ans mais à l'époque je n'avais pas encore compris combien il faut être prudent quand on veut parler d'histoire. HB (discuter) 5 novembre 2014 à 10:23 (CET)

Je pense que l'on est sur la même longueur d'onde. J'essayerai de présenter quelque chose à ce sujet, mais la démarche, à mon avis peut être : présenter les sources disponibles en rapport avec le sujet (Platon : Ménon et dialogue du Théétète, Aristote, Euclide), la proposition 127 du livre X (pas forcément d'Euclide), les sources plus tardives, rapidement comment et pourquoi elles sont ou non utilisées, éventuellement les outils (linguistiques ...), puis l'absence de consensus chez les historiens (j'ai quelques sources, Berggren, hélas un peu ancien, et un recueil de textes historiques). Il me semble qu'il faut quand même mentionner quelques hypothèses très présentes encore (le "scandale logique" de Tannery, pythagoriciens ...) en expliquant qu'elles sont (à des degrés divers), contestées. La difficulté est de trouver des sources d'historien qui présentent un panorama des hypothèses en présence (Berggren mais un peu ancien 1984, Caveing mais il a quand même aussi une thèse à défendre, Fowwler appendice de la seconde édition mais idem ...), et le fond également car toute cette scholastique développée par les historiens des math. préeuclidiennes n'est franchement pas simple. Un paragraphe mathématique sur le calcul de la racine de 2 devrait être intercalé avant les preuves d'irrationalité, et on peut y parler de fraction continue (et recycler en partie la boîte déroulante). Juste une remarque annexe, l'anthyphérèse et les nombres diagonaux et latéraux Theon (1er S après JC) ont quand même un rapport étroit avec le développement en fraction continue. Proz (discuter) 6 novembre 2014 à 10:44 (CET) PS. Proposition 2 livre X, l'autre proposition pertinente est la 9 (et le livre VIII pour la partie arithmétique utile).

Mathématiquement oui, l'anthyphérèse et les nombres latéraux et diagonaux ont un rapport étroit avec les fractions continues mais historiquement, c'est moins évident (très nettement antérieurs à mon avis). Même remarque sur le calcul de racine de 2, mathématiquement, toute une section est consacrée à son calcul (section 7. Méthodes numériques d'approximation). Faut-il faire en plus un chapitre historique au risque de doublonner et de manquer de source pour faire autre chose que des hypothèses ? HB (discuter) 6 novembre 2014 à 14:43 (CET)

Oui je suis d'accord bien sûr avec le 1er point. Pour le second, ce que je suggère c'est une section plus élémentaire que la section 7 dans la première partie de l'article, mais bien dans une section mathématique, pas historique. Un point de départ peut être la version algébrique actuellement en boîte déroulante, qui ne paraît pas si mal, mais débarassée de ses allusions historiques. Proz (discuter) 6 novembre 2014 à 19:23 (CET)

Calcul babylonien

Toute cette section est problématique pour différentes raisons :

• "duplication du carré" : indispensable mais ce n'est pas du tout un paragraphe d'histoire : à replacer avant l'irrationalité (voire en tête d'article), les utilisations en architecture s'intègreraient assez avec la section "dans la vie courante".
• "Rendre carré un rectangle" : pas de source et le support et l'illustration géométriques donnés n'a rien de "babylonienne" autant que je comprenne (pas du copié-collé d'aire par ex.), il y a en référence sur YBC 7289 un papier de Fowler et Robson qui montrent comment reconstituer cette preuve à la manière de ces mathématiques, mais ça me paraît trop rentrer dans le détail ici, éventuellement à développer sur l'article YBC 7289. Par contre on pourrait alléger (la géométrie n'apoorte rien ama) et placer là aussi avant les preuves d'irrationnalité ce paragraphe (avec le papier de Rittaud en réf. pour les justifications). C'est repris plus bas ensuite, mais il y a de bonnes raisons de donner rapidement une méthode de calcul et la fraction continue (avant la partie sur l'histoire qui pourra y faire référence).
• "Calculer avec √2" : aucune source, vu le contenu le titre est très exagéré. Un calcul d'inverse ? Aucune idée d'où ça vient. A voir si quelqu'un trouve des sources.
• la boîte déroulante : complètement hors sujet sur l'article (mais il y a une source !). A déplacer ici.

Il y a déjà un paragraphe sur la période babylonienne avec référence à YBC 7289, donc la section sur "Calcul babylonien" peut disparaître, en récupérant ailleurs ce qui est récupérable (en particulier la duplication du carré). Proz (discuter) 30 octobre 2014 à 21:53 (CET)

D'accord en tout point. Ce développement est très intéressant mais si on veut le considérer comme de l'histoire des maths, il faudrait le sourcer plus sérieusement et bien distinguer hypothèses (personnelle ou tirées de livres) et faits avérés. Je suis donc pour une suppression. Sur la duplication du carré, il y a peut-être des choses à dire. Je n'en sais rien pour les maths babyloniennes mais le problème est clairement un classique grec et il est dommage que toute allusion au dialogue du Ménon ait disparu au cours des diverses refontes. Pour l'algorithme en oeuvre dans YBC 7289 et son interprétation, je passe en discussion de l'article concerné. HB (discuter) 5 novembre 2014 à 10:27 (CET)

Irrationalité par parité

Pour des raisons en partie historique, mais aussi par ce que ça me paraît un peu plus élémentaire, il me semble préférable de rédiger cette démonstration de façon un peu moins élégante probablement, mais en ne simplifiant que par 2, et en concluant que q ne peut être à la fois impair et pair (la récurrence ou descente infinie ou principe du minimum étant un peu dissimulée dans le fait que ça s'arrête quand on simplifie par 2, ce qui me paraît moins abstrait que "le plus petit entier q tel que 2q^2" soit un carré parfait ou ce qui est dans l'article, qui tel quel s'appuie de plus sur l'existence de racine de 2). Proz (discuter) 17 novembre 2014 à 20:35 (CET)

Bibliographie incomplète

bonjour

un certain nombre de références ne fonctionnent pas, la bibliographie n'étant pas précise (ou les années mauvaises). Si qq'unpeut regarder, ça serait sympa. Voila les refs cassées :

• Entrée #Caveing1998 appelée par la référence [18] (chercher)
• Entrée #Berggren1985 appelée par la référence [19] (chercher)
• Entrée #Caveing1998 appelée par la référence [22] (chercher)
• Entrée #Caveing1998 appelée par la référence [24] (chercher)
• Entrée #Caveing1998 appelée par la référence [25] (chercher)
• Entrée #Caveing1998 appelée par la référence [26] (chercher)
• Entrée #Berggren1995 appelée par la référence [32] (chercher)
• Entrée #Caveing1998 appelée par la référence [33] (chercher)
• Entrée #Caveing1998 appelée par la référence [34] (chercher)
• Entrée #Caveing1998 appelée par la référence [36] (chercher)
• Entrée #Caveing1998 appelée par la référence [37] (chercher)
• Entrée #Caveing1998 appelée par la référence [38] (chercher)
• Entrée #Caveing1998 appelée par la référence [39] (chercher)
• Entrée #Caveing1998 appelée par la référence [40] (chercher)

merci d'avance. --TaraO (d) 22 novembre 2014 à 14:11 (CET)

Ce sont des erreurs de saisie (dont je suis responsable), merci pour la relecture. Proz (discuter) 22 novembre 2014 à 14:32 (CET)

Calcul de √2

La section Racine carrée de deux#Calcul de √2 qui ne contient qu'une sous-section Racine carrée de deux#Fraction continue montre qu'il y a un problème de plan dans l'article, car il y a une longue section dédiée au calcul de √2 : Racine carrée de deux#Méthodes numériques d'approximation.

Y a-t-il une objection à ce que je fasse disparaitre la section Racine carrée de deux#Calcul de √2, que je transfère Racine carrée de deux#Fraction continue comme sous-section de Racine carrée de deux#Méthodes numériques d'approximation, la fusionnant éventuellement avec Racine carrée de deux#Développement en fraction continue?

Je compte à cette occasion modifier légèrement l'exposé sans ajouter de lignes superflues pour mettre plus clairement en évidence le caractère itératif au lieu de naviguer entre √2 - 1 et √2 +1 (la dernière guerre d'édition du 19 juin semble suggérer qu'une clarification est souhaitée). Je compte aussi ajouter l'algorithme de la potence pour son ancienneté. HB (discuter) 22 juin 2016 à 11:10 (CEST)

Ceci me semble bien et complètement justifié --Huguespotter (discuter) 22 juin 2016 à 12:37 (CEST)

Rhaaa, je n'avais pas vu qu'il y a aussi dans la section «Autres propriétés», la sous-section Racine carrée de deux#Développement en fraction continue plus susceptible de recevoir la section déplacée. Pardon Huguespotter de changer d'avis en cours de discussion. HB (discuter) 22 juin 2016 à 12:51 (CEST)

Constante de Pythagore

En cherchant je trouve très peu d'utilisations de cette dénomination hors wikipedia : https://www.google.com/search?tbm=bks&q=%22constante+de+Pythagore%22 seulement deux (les autres renvoient à wikipedia, ou sont des coïncidences qui renvoient à autre chose (présence constante de Pythagore ...). Ces deux ouvrages (La pensée de Dieu des Bogdanov, math pour les nuls de Bourdin) sont de 2011 et 2012 (postérieurs à cet article). On trouve très peu de choses sur le web hors wikipedia. Ca n'apparait plus ni en intro ni dans le corps de l'article de la version en:. Il est possible que cela vienne de cet article de Weinstein où le début montre que ce n'est pas une appellation connue. Cela semble venir de Finch "Mathematical constants". Je propose de faire comme sur en:, laisser la redirection et le signalement, mais ne rien mettre dans l'article, ou alors ailleurs que dans le résumé introductif. Proz (discuter) 10 février 2017 à 20:42 (CET)

Je ne suis pas d'accord je pense qu'il doit avoir une mention quitte à dire que le nom est rare quelque part dans l'article. Il y a des sources. On le retrouve aussi ce nom dans OEIS : [3].--Huguespotter (discuter) 11 février 2017 à 12:53 (CET)

Même en anglais ça semble rare, et je ne suis pas sûr qu'en français ce soit le cas (avant wikipedia), mais soit, je l'ai remise (pas en résumé). Proz (discuter) 11 février 2017 à 13:14 (CET)

Ceci me semble parfait, merci, --Huguespotter (discuter) 11 février 2017 à 13:19 (CET)

Preuve d'irrationalité par parité

Je lis : « Soient p et q entiers > 0 tels que p² = 2q², avec p le plus petit possible qui soit le double du carré d'un entier. » Je ne comprends pas cette phrase. --Fr.Latreille (discuter) 19 décembre 2017 à 22:30 (CET)

Merci à Anne Bauval pour sa modif.

J'ose une nouvelle question, faussement naïve : comment sait-on qu'on a bien « p le plus petit possible » ?

Personnellement, je préfère partir de « Supposons qu'il existe p et q tels que ... » ; s'ils ne sont pas premiers entre eux, on les divise par leur PGCD ; alors il reste : p² est pair, donc ..., donc q aussi, contradiction. --Fr.Latreille (discuter) 19 décembre 2017 à 23:54

Je ne comprends pas la « nouvelle question, faussement naïve ». On ne « sait » pas qu'on « a » (et pour cause…). On dit juste : s'il y en a alors il y a un plus petit (car tout ensemble non vide d'entiers > 0 a un plus petit élément (c'est plus économique que de parler de pgcd). Anne, 20/12, 6 h 23

Pour renchérier : pour comprendre la partie historique ça me paraît utile qu'il soit bien clair que l'on n'a besoin de rien d'autre que de la parité (pas besoin de "pgcd", ni de "premier entre eux"). Par ailleurs je pense que l'on peut pour une preuve aussi élémentaire détailler la justification de p^2 pair donc p pair en passant par p impair donc p^2 impair . Proz (discuter) 20 décembre 2017 à 11:54

J'ai vu que c'est toi qui avais ajouté ça mais ça me semble pas utile. Anne, 13 h 41

Je précise : qu'il soit clair que l'argument reste bien seulement la parité (pas de lemme d'Euclide par ex.), et par ailleurs la première preuve devrait être aussi accessible que possible. Proz (discuter) 20 décembre 2017 à 20:16

Cette « précision » (?) ne légitime pas d'avoir réintroduit ça. Je ne suis toujours pas d'accord :

• Absolument inutile d'insister à ce point pour qu'il soit clair que dans cette preuve, l'argument « principal » (?) est la parité (et « pas le lemme d'Euclide par ex. »).
• Cette scholie parasite nuit à mon avis à l'accessibilité, en détournant (comme en témoignent les questions de Fr.Latreille) l'attention à prêter à un argument « secondaire » (?) : N est bien ordonné.

Anne, 21 h 13

p^2 pair donc p pair est un cas particulier du lemme d'Euclide. En passant par p impair donc p^2 impair il me semble plus clair que dans ce cas particulier on a une preuve juste calculatoire (il faut voir aussi la facilité avec laquelle quelqu'un ayant un peu de culture mathématique va tout de suite introduire des notions un poil plus avancées, premiers entre eux etc.). Sinon je suis d'accord que trop de détails peut obscurcir. Mais en l'occurrence ça reste malgré tout très simple, et la preuve peut être accessible à quelqu'un connaissant juste quelques propriétés élémentaires de l'addition et de la multiplication, donc pour qui reconstituer l'argument n'est pas si évident, peut être faudrait-il même ajouter encore un détail (impair, de la forme 2k+1). Pour rendre moins abstrait le bon ordre, on pourrait plutôt dire tout de suite "p minimal et donc q impair, car sinon on pourrait simplifier par 2", puis faire porter la contradiction sur q impair (je pense que ça peut répondre à la "nouvelle question faussement naïve" de Latreille). Proz (discuter) 21 décembre 2017 à 00:40

 Proz : Merci pour ton complément d'explications, qui m'a permis de mieux comprendre la motivation de ton ajout. Peut-être pourrait-il maintenant être effacé, grâce à Spécial:Diff/143718041 et Spécial:Diff/143718001#Produit ? Je comprends moins l'intérêt de la fin de ton message. Est-ce que Spécial:Diff/143719111 te semble suffir à « rendre moins abstrait le bon ordre » ? Anne (discuter) 1 janvier 2018 à 12:36 (CET)

Pour le premier point pourquoi pas (même si ça fait un peu jeu de piste). Pour le second je pense que le lien n'aide en rien ceux qui auraient besoin d'aide. Pour dire les choses autrement : tu utilises un principe non constructif pour éviter de parler de simplification et de diviseur commun. D'une part ça me paraît moins accessible car plus abstrait, d'autre part il suffit de simplifier par 2, ce qui ne conduit pas nécessairement à p minimal (ce que j'ai écrit au dessus est inexact). En réalité contrairement à ce que nous prétendons dans l'article, la preuve par descente infinie n'est pas exactement la même que la précédente, et je suis maintenant persuadé que c'est celle par descente infinie la plus simple et accessible (une autre façon de rédiger serait : p est pair car p^2 impair etc. et en simplifiant p et q par 2 tant que c'est possible on peut supposer que q est impair, mais c'est la descente infinie dissimulée). De plus ça me paraît être (au niveau purement mathématique) cet argument qu'ont tenté de reconstituer certains historiens des math. dans le cadre d'une arithmétique du pair et de l'impair qui aurait pu exister avant le cas général de la division euclidienne. Proz (discuter) 2 janvier 2018 à 02:04 (CET)

C'est du réchauffé mais Salomon Ofman, dans ce document p. 20 et suivantes, essaie de reconstituer le raisonnement d'Aristote en n'utilisant que des connaissances antérieures à Euclide (en particulier sans utiliser la notion de fraction irréductible). Son raisonnement s'appuie sur la capacité à écrire tout entier comme le produit d'une puissance de 2 et d'un nombre impair (propriété connue aussi dans l'égypte antique) et la remarque que dans un carré, la puissance de 2 est toujours paire. Si √2 était un rationnel a/b alors la puissance de 2b² serait à la fois impaire (puisque la puissance de 2 dans b² est paire) et paire (puisque 2b²=a² et que la puissance de 2 dans a² est paire).. C'est assez original comme pensée mais cela vient de quelqu'un d'assez pointu dans ce domaine. Comme je sais  Proz : que tu t'intéresses aussi à la spirale de Théodore, je ne résiste pas à l'envie de te présenter [cette conférence de ce même Salomon Ofman, qui à partir de la 53 eme minute, analyse et contredit l'hypothèse de la présentation des racines carré d'entiers à l'aide de la spirale et propose une construction par la hauteur d'un traingle rectangle découpant la base en 1 et 2n+1, la suite de la conférence intéressante aussi (mais un peu longuet) sur la dem possible de Théodore. HB (discuter) 9 novembre 2024 à 20:57 (CET)

ok, merci. J'avais vu passer l'article, mais pas les conf. Je ne sais trop quoi penser de l'article. Le fait qu'on puisse se passer de la notion d'entiers premiers entre eux semble bien connu des historiens spécialisés et depuis un moment (l'article donne des arguments pour cela tout en semblant peut-être parfois dire le contraire). Il y a eu d'autres tentatives de reconstitution (comme l'article l'écrit). L'originalité est dans l'utilisation directe de la valuation 2-adique le nombre de fois qu'on peut diviser par 2, et pas seulement de la division par 2 "tant qu'on peut" ou de la descente infinie, le nombre de fois qu'on peut diviser par 2 (ça semble quand même d'un niveau d'abstraction plus élevé). Je ne trouve pas de "review" sur cet article (de 2010). Proz (discuter) 9 novembre 2024 à 23:55 (CET)

Square root of 2 : page de Wikipédia en anglais

Comme souvent sur Wikipédia, je suis sidéré qu'une chose très simple n'ait pas été faite : il existe sur le Wikipédia en anglais une excellentissime page Square root of 2. Pourquoi diable ne pas avoir tout simplement traduit cette excellente page plutôt que de réinventer laborieusement une roue imparfaite ? ptyxs (discuter) 25 novembre 2019 à 18:34 (CET)