Coordonnées trilinéaires

En géométrie, les coordonnées trilinéaires d'un point relativement à un triangle donné, notées $(x : y : z)$ sont, à une constante multiplicative strictement positive près, les distances algébriques relativement aux côtés (étendus) du triangle.

Pour un triangle $ABC$ , le rapport $x / y$ est le rapport des distances algébriques du point aux côtés $(BC)$ et $(AC)$ respectivement et ainsi de suite par permutation sur $A, B, C$ .

Le signe d'une coordonnée trilinéaire indique si le point est intérieur au triangle par rapport à un côté : par exemple, la coordonnée $x$ est positive s'il se trouve du même côté que $A$ par rapport à la droite $(BC)$ . Il est ainsi impossible que les trois coordonnées trilinéaires soient négatives.

Détermination des coordonnées trilinéaires

L'aire algébrique d'un triangle $XYZ$ est $S_{XYZ}={\frac {1}{2}}\det \left({\overrightarrow {XY}},{\overrightarrow {XZ}}\right)$ , positive si $XYZ$ est direct, négative sinon. Or $S_{XYZ}={\frac {1}{2}}YZ\times h$ où $h$ est la distance algébrique de $X$ à la droite $(YZ)$ orientée de $Y$ vers $Z$ . Pour un triangle $ABC$ de sens direct et de côtés de longueur $BC = a, AC = b, AB = c$ , les coordonnées trilinéaires d'un point $M$ sont donc :

\left({\frac {\det({\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MC}})}{a}}:{\frac {\det({\overrightarrow {MC}},{\overrightarrow {MA}})}{b}}:{\frac {\det({\overrightarrow {MA}},{\overrightarrow {MB}})}{c}}\right)

ou

\left({\frac {S_{MBC}}{a}}:{\frac {S_{MCA}}{b}}:{\frac {S_{MAB}}{c}}\right)

.

Le triplet $(S_{MBC},S_{MCA},S_{MAB})$ étant un triplet de coordonnées barycentriques de $M$ , on en déduit que si $M$ a pour coordonnées trilinéaires $(x : y : z)$ , il a pour coordonnées barycentriques $(ax, by, cz)$ .

Propriétés

Pour un triangle $ABC$ donné et un point défini par ses coordonnées trilinéaires $M(x:y:z)$ , on a^[1]

le point de coordonnées trilinéaires $M^{*}(yz:zx:xy)$ est le conjugué isogonal de $M *$ .
l'intersection de la cévienne partant de $A$ et passant par $M$ a pour coordonnées trilinéaires $A_{M}=AM\cap BC=(0:y:z)$ ; de façon similaire, les deux autres sommets du triangle cévien ont pour coordonnées trilinéaires $B_{M}=BM\cap CA=(x:0:z)$ et $C_{M}=CM\cap AB=(x:y:0)$
le triangle formé par les points de coordonnées trilinéaires respectives $(-x:y:z),(x:-y:z),(x:y:-z)$ est le triangle anticévien de $ABC$ par rapport à $M$ .

Exemples

Voici les coordonnées trilinéaires de quelques points remarquables du triangle :

$A(1:0:0)$
$B(0:1:0)$
$C(0:0:1)$
milieu de $[BC]\,(0:ac:ab)$
milieu de $[CA]\,(bc:0:ba)$
milieu de $[AB]\,(cb:ca:0)$
centre du cercle inscrit $I(1:1:1)$
centre de gravité $G(bc:ca:ab){\text{ ou }}(1/a:1/b:1/c){\text{ ou }}(1/\sin {\widehat {A}}:1/\sin {\widehat {B}}:1/\sin {\widehat {C}})$
centre du cercle circonscrit $O(\cos {\widehat {A}}:\cos {\widehat {B}}:\cos {\widehat {C}})$
orthocentre $H(1/\cos {\widehat {A}}:1/\cos {\widehat {B}}:1/\cos {\widehat {C}}){\text{ ou }}(\cos {\widehat {B}}\cos {\widehat {C}}:\cos {\widehat {C}}\cos {\widehat {A}}:\cos {\widehat {A}}\cos {\widehat {B}})$
centre du cercle d'Euler $\Omega (\cos({\widehat {B}}-{\widehat {C}}):\cos({\widehat {C}}-{\widehat {A}}):\cos({\widehat {A}}-{\widehat {B}}))$
point de Lemoine $K(a:b:c){\text{ ou }}(\sin {\widehat {A}}:\sin {\widehat {B}}:\sin {\widehat {C}}).$

On trouvera dans l'encyclopédie des centres de triangle (ETC) les coordonnées trilinéaires de milliers de points remarquables du triangle.

Équation de droite à partir de coordonnées trilinéaires

Pour un point de coordonnées trilinéaires $(x : y : z)$ , l'équation

x\alpha +y\beta +c\gamma =0

est l'équation d'une droite, appelée droite centrale liée au point considéré^[2].

Pour deux points de coordonnées trilinéaires $(x : y : z)$ et $(x' : y' : z')$ , l'équation de la droite passant par ces deux points est donnée par :

\left|{\begin{matrix}x&y&z\\x'&y'&z'\\\alpha &\beta &\gamma \end{matrix}}\right|=0

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Trilinear coordinates » (voir la liste des auteurs).

↑ Clark Kimberling, « Ceva Collineations », Forum Geometricorum, vol. 7,‎ 2007, p. 67–72 (lire en ligne [PDF])
↑ H. Faure, « Extrait d’un mémoire sur les coordonnées trilinéaires », Nouvelles annales de mathématiques, vol. 2, n^o 2,‎ 1863, p. 289-300 (lire en ligne)

Voir aussi

Articles connexes

Coordonnées barycentriques

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Trilinear Coordinates », sur MathWorld

Portail de la géométrie

[1] Clark Kimberling, « Ceva Collineations », Forum Geometricorum, vol. 7,‎ 2007, p. 67–72 (lire en ligne [PDF])

[2] H. Faure, « Extrait d’un mémoire sur les coordonnées trilinéaires », Nouvelles annales de mathématiques, vol. 2, n^o 2,‎ 1863, p. 289-300 (lire en ligne)

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