Conjecture 3^d de Kalai

En géométrie combinatoire , la conjecture 3^d de Kalai est une minoration du nombre de faces des polytopes à symétrie centrale, conjecturée par Gil Kalai en 1989.

Énoncé

Soit P un polytope (convexe) de dimension d, symétrique par rapport à l'origine (c'est-à-dire que si A est un sommet de P, -A en est également un). Notant $f_{k}$ le nombre de k-faces de P (on a donc $f_{0}$ sommets, $f_{1}$ arêtes, etc., et $f_{d}=1$ ), la minoration conjecturée par Kalai^[1] est : $\sum _{k=0}^{d}f_{k}\geq 3^{d}$ .

Exemples

En dimension 2, les polygones symétriques ont un nombre pair de côtés ; on a donc $f_{0}=f_{1}\geq 4$ , et on a bien $f_{0}+f_{1}+f_{2}\geq 4+4+1=9=3^{2}$ .

En dimension 3, le cube ( $f_{0}=8$ , $f_{1}=12$ et $f_{2}=6$ ) et l'octaèdre régulier, son dual ( $f_{0}=6$ , $f_{1}=12$ et $f_{2}=8$ ) atteignent tous deux le minorant : $f_{0}+f_{1}+f_{2}+f_{3}=6+12+8+1=27=3^{3}$ .

En dimensions supérieures, l'hypercube [0,1]^d a exactement 3^d faces (on peut le voir en remarquant que chaque k-face est déterminée par ses projections sur les d axes de coordonnées ; chaque projection est l'origine, le point 1, ou le segment [0,1], ce dernier cas se produisant k fois). Si la conjecture est vraie, l'hypercube est donc une réalisation du minorant^[1]. Plus généralement, tous les polytopes de Hanner (en) (définis par récurrence comme produits cartésiens et duaux de polytopes de Hanner déjà construits) ont exactement 3^d faces.

Résultats partiels

Pour $d\leq 4$ , la conjecture est démontrée^[2] ; elle est également vraie pour les polytopes simpliciaux (en) (ceux dont toutes les faces sont des simplexes) : elle résulte dans ce cas d'une conjecture de Imre Bárány, démontrée par Richard Peter Stanley^[3]^,^[4] (ces deux articles sont cités par Kalai comme motivation pour sa conjecture^[1]). La conjecture a été démontrée pour d'autres classes de polytopes, comme les polytopes de Hansen^[5], mais reste ouverte dans le cas général.

Kalai avait formulé une autre conjecture affirmant que le f-vecteur $(f_{0},f_{1},\dots ,f_{d})$ correspondant à P « dominait » le f-vecteur d'au moins un polytope de Hanner H (de la même dimension), c'est-à-dire qu'en notant $h_{k}$ le nombre de k-faces de H, on avait $h_{k}\leq f_{k}$ pour tout k. Mais cette conjecture (qui implique la conjecture 3^d) a été réfutée en 2009^[2].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kalai's 3^d conjecture » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a b et c} (en) Gil Kalai, « The number of faces of centrally-symmetric polytopes », Graphs and Combinatorics, vol. 5, n^o 1,‎ 1989, p. 389-391 (DOI 10.1007/BF01788696, MR 1554357).
↑ ^{a et b} (en) Raman Sanyal, Axel Werner et Günter M. Ziegler, « On Kalai's conjectures concerning centrally symmetric polytopes », Discrete & Computational Geometry, vol. 41, n^o 2,‎ 2009, p. 183–198 (DOI 10.1007/s00454-008-9104-8, MR 2471868, arXiv 0708.3661)/
↑ (en) Imre Bárány et László Lovász, « Borsuk's theorem and the number of facets of centrally symmetric polytopes », Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, vol. 40, n^os 3–4,‎ 1982, p. 323-329 (DOI 10.1007/BF01903592, MR 686332).
↑ (en) Richard P. Stanley, « On the number of faces of centrally-symmetric simplicial polytopes », Graphs and Combinatorics, vol. 3, n^o 1,‎ 1987, p. 55-66 (DOI 10.1007/BF01788529, MR 932113).
↑ (en) Ragnar Freij, Matthias Henze, Moritz W. Schmitt et Günter M. Ziegler, « Face numbers of centrally symmetric polytopes produced from split graphs », Electronic Journal of Combinatorics, vol. 20, n^o 2,‎ 2013, #P32 (DOI 10.37236/3315, MR 3066371, arXiv 1201.5790, lire en ligne).

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[kalai-1] {a b et c} (en) Gil Kalai, « The number of faces of centrally-symmetric polytopes », Graphs and Combinatorics, vol. 5, n^o 1,‎ 1989, p. 389-391 (DOI 10.1007/BF01788696, MR 1554357).

[swz09-2] {a et b} (en) Raman Sanyal, Axel Werner et Günter M. Ziegler, « On Kalai's conjectures concerning centrally symmetric polytopes », Discrete & Computational Geometry, vol. 41, n^o 2,‎ 2009, p. 183–198 (DOI 10.1007/s00454-008-9104-8, MR 2471868, arXiv 0708.3661)/

[3] (en) Imre Bárány et László Lovász, « Borsuk's theorem and the number of facets of centrally symmetric polytopes », Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, vol. 40, n^os 3–4,‎ 1982, p. 323-329 (DOI 10.1007/BF01903592, MR 686332).

[4] (en) Richard P. Stanley, « On the number of faces of centrally-symmetric simplicial polytopes », Graphs and Combinatorics, vol. 3, n^o 1,‎ 1987, p. 55-66 (DOI 10.1007/BF01788529, MR 932113).

[5] (en) Ragnar Freij, Matthias Henze, Moritz W. Schmitt et Günter M. Ziegler, « Face numbers of centrally symmetric polytopes produced from split graphs », Electronic Journal of Combinatorics, vol. 20, n^o 2,‎ 2013, #P32 (DOI 10.37236/3315, MR 3066371, arXiv 1201.5790, lire en ligne).

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