Comatrice

En algèbre linéaire, la comatrice d'une matrice carrée A est une matrice carrée de même taille, dont les coefficients, appelés les cofacteurs de A, interviennent dans le développement du déterminant de A suivant une ligne ou une colonne. Si A est une matrice inversible, sa comatrice intervient également dans une expression de son inverse.

Dans cette page, A désigne une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau commutatif K.

Définitions

Le cofacteur d'indice i, j de A est :

$\left(\operatorname {com} A\right)_{i,j}:=\det \left(A'_{i,j}\right)=(-1)^{i+j}\det \left(A_{i,j}\right)$, où

• A'_i,j est la matrice carrée de taille n déduite de A en remplaçant la j-ème colonne par une colonne constituée uniquement de zéros, sauf un 1 sur la i-ème ligne ;
• A_i,j est la sous-matrice carrée de taille n – 1 déduite de A en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne (son déterminant fait donc partie des mineurs de A).

La comatrice de A est la matrice de ses cofacteurs.

Formules de Laplace

Pierre-Simon de Laplace (1749-1827).

On peut calculer le déterminant de A en fonction des coefficients d'une seule colonne et des cofacteurs correspondants. Cette formule, dite formule de Laplace, permet ainsi de ramener le calcul d'un déterminant d'ordre n à celui de n déterminants d'ordre n – 1.

Formules de développement d'un déterminant d'ordre n :

• par rapport à la colonne j :

  $\det A=\sum _{i=1}^{n}a_{i;j}(\operatorname {com} A)_{i,j}$ ;

• par rapport à la ligne i :

  $\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{i;j}(\operatorname {com} A)_{i,j}$.

Généralisation

La formule suivante se déduit des formules de Laplace et les inclut :

$A\;{}^{\operatorname {t} }\!{\operatorname {com} A}=\left({}^{\operatorname {t} }\!{\operatorname {com} A}\right)\;A=\left(\det A\right)\;\mathrm {I} _{n}$,

où I_n désigne la matrice identité de même taille n que A.

La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire de A. Notamment si det A est inversible dans K, alors A est inversible dans M_n(K) et son inverse est un multiple de la matrice complémentaire, ce qui veut dire qu'on a obtenu une formule pour l'inverse, ne nécessitant « que » des calculs de déterminants :

$A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\,{}^{\operatorname {t} }\!{\operatorname {com} A}$.

Cette formule n'a guère qu'un intérêt théorique car en pratique, elle est trop lourde pour calculer explicitement A⁻¹ dès que n ≥ 4 et la méthode plus élémentaire à base d'opérations élémentaires sur les lignes (inversion par pivot de Gauss) est plus efficace, aussi bien pour l'humain que pour la machine.

Propriétés de la comatrice

• Compatibilité avec la transposition : com(^tA) = ^t(com A).
• Compatibilité avec le produit : com I_n = I_n et pour toutes matrices carrées A et B d'ordre n, com(AB) = (com A)(com B).
• Rang (si K est un corps commutatif) :
  • si A est de rang n (c.-à-d. A inversible), com(A) aussi (jointe à la précédente, cette propriété assure que l'application « comatrice » se restreint en un automorphisme du groupe linéaire GL_n(K)) ;
  • si A est de rang n – 1, avec n ≥ 2, com(A) est de rang 1 ;
  • si A est de rang inférieur ou égal à n – 2, com(A) = 0.
• Déterminant : si n ≥ 2, det(com A) = (det A)^n–1.
• Comatrice de la comatrice : si n ≥ 2, com(com A) = (det A)^{n – 2} A.
• Si P(X) = det(A – X I_n) est le polynôme caractéristique de A et si Q est le polynôme défini par Q(X) = (P(0) – P(X))/X, alors : ^t(com A) = Q(A).

Démonstrations

• Les égalités com(^tA) = ^t(com A) et com(I_n) = I_n sont immédiates.
• Produit : si A et B sont inversibles, la formule résulte des propriétés multiplicatives de la transposition, de l'inversion (chacune des deux inversant l'ordre) et du déterminant. Or l'équation com(AB) = (com A)(com B) est polynomiale, à coefficients entiers, en les éléments des deux matrices A et B. En considérant ces 2n² éléments comme les indéterminées d'un anneau de polynômes à coefficients dans ℤ, et en appliquant ce qui précède au corps des fractions (rationnelles à coefficients dans ℚ) associé (dans lequel A et B sont inversibles), on obtient donc une égalité « absolue ». Lorsqu'on remplace ensuite ces indéterminées par les éléments d'un anneau commutatif quelconque, l'égalité est maintenue.
• Rang :
  • Si A est inversible alors com(A) = (det A) ^tA⁻¹ a pour inverse (det A)^−1 tA.
  • Si A est de rang n – 1 et en supposant, par exemple, que ses n – 1 premières colonnes sont linéairement indépendantes et que la dernière en est une combinaison linéaire, avec comme coefficients λ₁, … , λ_n–1, alors, dans com(A), la dernière colonne est non nulle et la k-ième, pour tout k < n, est le produit de la dernière par –λ_k.
  • Si A est de rang inférieur à n – 2 alors, dans A, n – 1 colonnes quelconques sont liées donc tous les cofacteurs sont nuls.
• Déterminant : si n ≥ 2 et A est inversible alors det(com A) = det[(det A) ^tA⁻¹] = (det A)ⁿ det(^tA⁻¹) = (det A)^n–1. Pour A non inversible, on peut faire le même « raisonnement générique » que pour le produit ou — si l'on se contente du cas où les matrices sont à coefficients dans un corps — remarquer plus simplement que les deux membres sont nuls d'après les propriétés du rang. Pour des matrices à coefficients réels ou complexes, on peut aussi raisonner par densité.
• Comatrice de la comatrice : si n ≥ 2, (det A) com(com A) = A ^tcom A com(com A)  = det(com A) A = (det A)^n–1 A donc si A est inversible, com(com A) = (det A)^n–2 A. Le cas général se ramène au cas inversible comme ci-dessus.
• Polynôme caractéristique : d'après le théorème de Cayley-Hamilton, P(A) = 0 donc A Q(A) = P(0) I_n = (det A) I_n = A ^t(com A). Si A est inversible, on en déduit Q(A) = ^t(com A). Le cas général se ramène au cas inversible comme ci-dessus.

Quelques propriétés plus anecdotiques

Si n ≥ 3, les matrices $A\in M_{n}(\mathbb {R} )$ telles que A = com A sont la matrice nulle et les matrices spéciales orthogonales. Si n = 2, ce sont les matrices multiples des matrices spéciales orthogonales.

Exemples

Matrices de taille (1,1)

La comatrice de toute matrice de taille (1,1) est la matrice identité I₁ = (1).

Matrices de taille (2,2)

$\operatorname {com} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$.

Démonstration

On calcule les cofacteurs:

$c_{1,1}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}{\begin{array}{|c|}\hline \color {Red}{\cancel {a}}\\\hline \end{array}}&\color {Red}{\cancel {b}}\\\color {Red}{\cancel {c}}&d\end{vmatrix}}=d$

$c_{1,2}=(-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}\color {Red}{\cancel {a}}&{\begin{array}{|c|}\hline \color {Red}{\cancel {b}}\\\hline \end{array}}\\c&\color {Red}{\cancel {d}}\end{vmatrix}}=-c$

$c_{2,1}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}\color {Red}{\cancel {a}}&b\\{\begin{array}{|c|}\hline \color {Red}{\cancel {c}}\\\hline \end{array}}&\color {Red}{\cancel {d}}\end{vmatrix}}=-b$

$c_{2,2}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}a&\color {Red}{\cancel {b}}\\\color {Red}{\cancel {c}}&{\begin{array}{|c|}\hline \color {Red}{\cancel {d}}\\\hline \end{array}}\end{vmatrix}}=a$

Donc

$\operatorname {com} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1,1}&c_{1,2}\\c_{2,1}&c_{2,2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$.

Matrices de taille (3,3)

$\operatorname {com} {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&&a_{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}$.

On rappelle que ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$ (voir déterminant).

Variations de la fonction déterminant

On suppose ici que K est le corps des réels, et l'on s'intéresse à l'application déterminant, vue comme fonction des coefficients de la matrice :

$\mathbb {R} ^{n^{2}}\simeq \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ,\;A\mapsto \det A$.

La formule de Leibniz montre que c'est une fonction polynomiale (homogène) donc indéfiniment différentiable.

On peut retrouver et préciser cette régularité grâce aux formules de Laplace (voir supra) : en un point A quelconque de M_n(ℝ), la fonction det est affine par rapport à la variable d'indice i, j, et sa dérivée partielle est le cofacteur de A de même indice :

${\frac {\partial \det }{\partial A_{i,j}}}(A)=(\operatorname {com} A)_{i,j}.$

On en déduit, toujours au point A, le gradient de det (si l'on munit M_n(ℝ) de son produit scalaire canonique) : $\nabla \det(A)=\operatorname {com} A$

ou encore, sa différentielle donc son développement limité à l'ordre 1 : $\det(A+H)=\det A+{\rm {tr}}\left(\left({}^{t}\!\operatorname {com} A\right)H\right)+o\left(\left\|H\right\|\right)$.

Notamment pour le cas où A est la matrice identité : $\nabla \det(\mathrm {I} _{n})=\mathrm {I} _{n}{\text{ et }}\det(\mathrm {I} _{n}+H)=1+{\rm {tr}}(H)+o(\|H\|)$.

Comatrice et produit vectoriel

Si A est une matrice réelle d'ordre 3, elle agit sur les vecteurs de l'espace euclidien orienté ℝ³. La comatrice de A décrit alors l'interaction de A avec le produit vectoriel :

$Au\wedge Av=\operatorname {com} A\,(u\wedge v)$.

Démonstration

Notons $\cdot$ le produit scalaire. Pour tout vecteur $x$ de ℝ³,

$(\det A)u\wedge v\cdot x=\det A[u,v,x]=[Au,Av,Ax]=(Au\wedge Av)\cdot Ax={}^{\operatorname {t} }\!A(Au\wedge Av)\cdot x$.

Par conséquent,

${}^{\operatorname {t} }\!A(Au\wedge Av)=(\det A)u\wedge v={}^{\operatorname {t} }\!A\operatorname {com} A\,(u\wedge v)$.

On en déduit l'égalité annoncée si A est inversible.

Le résultat s'étend aux matrices non inversibles par densité.