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=== Partie I : comment une mathématique pure est-elle possible ? ===
Une connaissance ''a priori'' sera une connaissance certaine, qui promet une extension illimitée pour l'avenir, qui a bénéficie d'une certitude [[apodictique]] (une nécessité absolue), qui ne repose sur aucun principe expérimental, qui est {{Citation|par le fait un produit de la raison, mais qui n'en est pas moins absolument synthétique}}<ref name=":0" />. 

La connaissance mathématique, même si elle est ''a priori'', a besoin d'une intuition. C'est une intuition qui n'est pas empirique, mais pure. Ses jugements sont intuitifs. La mathématique {{Citation|doit avoir pour fondement quelque intuition pure}}, qui lui permette d'{{Citation|exposer toutes ses notions in concreto, et cependant a priori}}. Nous devons comprendre comment cela se fait pour saisir la possibilité d'une proposition synthétique ''a priori<ref name=":0" />''.

Une difficulté évidente se pose alors : comment peut-on connaître de percevoir quelque chose ''a priori'', quand il semble que la perception emporte nécessairement une dimension empirique ? Une intuition est définie comme {{Citation|une représentation dépendant immédiatement de la présence de l'objet}}. Donc, on ne pourrait {{Citation|percevoir originairement a priori}} par l'intuition''<ref name=":0" />''.

Kant donne la solution suivante : {{Citation|Si notre intuition devait être de telle sorte qu'elle représentât des choses telles qu'elles sont en elles-mêmes, il n'y aurait aucune intuition a priori ; elles seraient toutes empiriques}}. Ainsi, le seul moyen qu'une intuition puisse être sans être empirique, c'est que l'intuition {{Citation|ne contienne que la forme de la sensibilité, qui précède dans mon sujet toutes les impressions réelles par lesquelles les objets peuvent m'affecter}}''<ref name=":0" />''.

L'espace et le temps sont les deux intuitions ''a priori'' qui permettent de fonder des jugements synthétiques ''a priori''. Sans ces deux concepts, la mathématique pure ne peut fonctionner. En effet, {{Citation|la géométrie a pour base l'intuition pure de l'espace. L'arithmétique réalise ses notions numériques mêmes, par une addition successive des unités dans le temps}}''<ref name=":0" />''. Cette faculté de percevoir ''a priori'' grâce à l'intuition pure {{Citation|ne concerne pas la matière du phénomène, c'est-à-dire ce qui est sensation en lui, car cette sensation est ce qu'il y a d'empirique}}. Elle ne peut concerner que la forme du phénomène, à savoir l'espace et le temps''<ref name=":0" />''.

==== Première observation ====
La mathématique pure, dont la géométrie pure, a une réalité objective lorsqu'elle se réfère à des objets perceptibles par les sens. Ainsi, les propositions mathématiques ne sont pas des créations de l'imagination, mais sont valides dans l'espace''<ref name=":0" />''. 

==== Deuxième observation ====
Kant soulève la question de l'idéalisme. Notre intuition, qui permet de saisir les phénomènes des choses et non les choses en elles-mêmes, n'a lieu que par le moyen des sens. L'entendement, en effet, {{Citation|ne perçoit pas ; il réfléchit seulement}}. Mais si nous percevons par l'intuition les phénomènes et non les choses, alors n'est-il pas juste de dire que les corps {{Citation|ne doivent être regardés que comme de simples représentations internes}}, et donc, n'existeraient que dans notre pensée ?''<ref name=":0" />''

L'idéalisme, rappelle Kant, est une doctrine selon laquelle il n'existe rien d'autre que les êtres qui pensent, et que le reste des choses que l'intuition nous donne à percevoir {{Citation|ne seraient que des représentations dans les êtres pensants, auxquelles en réalité aucun objet distinct de ces derniers ne correspondrait}}. Cela n'est pas la position de Kant, qui réaffirme que {{Citation|les choses nous sont données comme extérieures à nous et saisissables à nos sens}}, bien que {{Citation|nous ne savons rien de ce qu'elles peuvent être en soi}} (autrement dit : {{Citation|nous n'en connaissons que les phénomènes, c'est-à-dire les représentations qu'elles opèrent en nous lorsqu'elles affectent nos sens}})''<ref name=":0" />''.

==== Troisième observation ====
Les apparences, et non les choses en soi, sont connues par les sens. L'espace, le temps, et les apparences en général, sont des modes de représentation. L'espace et le temps existent ''a priori'' dans toutes nos représentations, et s'appliquent à tous les objets du monde sensible, parce que ces objets existent comme apparences''<ref name=":0" />''.