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Étant donné une application <math>f:E\to F</math> : |
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* pour tout élément {{mvar|x}} de {{mvar|E}}, l’unique élément <math>f(x)</math> qui lui est relié dans {{mvar|F}} est appelé '''image''' de {{mvar|x}} par {{mvar|f}}, et dans ce cas on dit que {{mvar|x}} est un ''antécédent'' de <math>f(x)</math> par {{mvar|f}} ; |
* pour tout élément {{mvar|x}} de {{mvar|E}}, l’unique élément <math>f(x)</math> qui lui est relié dans {{mvar|F}} est appelé '''image''' de {{mvar|x}} par {{mvar|f}}, et dans ce cas on dit que {{mvar|x}} est un ''antécédent'' de <math>f(x)</math> par {{mvar|f}} ; |
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* l’ensemble des images des éléments de {{mvar|E}} est appelé '''[[ensemble image]]''' de {{mvar|f}}, ou simplement ''image'' de {{mvar|f}}, et se note <math>\operatorname{Im}(f) = \left\{f(x), x\in E\right\}</math> ; |
* l’ensemble des images des éléments de {{mvar|E}} est appelé '''[[ensemble image]]''' de {{mvar|f}}, ou simplement ''image'' de {{mvar|f}}, et se note <math>\operatorname{Im}(f) = \left\{f(x), x\in E\right\}</math> ; |
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Cette terminologie n'est pas réservée aux seules fonctions d'une variable réelle mais à toute transformation ; ainsi on parle de l'''image'' de la figure par [[symétrie (transformation géométrique)|symétrie]]. |
Cette terminologie n'est pas réservée aux seules fonctions d'une variable réelle mais à toute transformation ; ainsi on parle de l'''image'' de la figure par [[symétrie (transformation géométrique)|symétrie]]. |
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L'ensemble image ne doit pas être confondue avec l'[[ensemble d'arrivée]] (ou codomaine) de ''f''. Pour une fonction donnée ''f'' : ''X'' → ''Y'', l'ensemble de définition est ''X'' et l'ensemble d'arrivée est ''Y''. L'image ''f''(''X'') de ''X'' par ''f'', aussi appelée [[image d'une application|l'image de ''f'']], est en général seulement un [[sous-ensemble]] strict de ''Y''. On a ''f''(''X'') = ''Y'' si et seulement si ''f'' est une [[surjection]]. |
L'ensemble image ne doit pas être confondue avec l'[[ensemble d'arrivée]] (ou codomaine) de ''f''. Pour une fonction donnée ''f'' : ''X'' → ''Y'', l'ensemble de définition est ''X'' et l'ensemble d'arrivée est ''Y''. L'image ''f''(''X'') de ''X'' par ''f'', aussi appelée [[image d'une application|l'image de ''f'']], est en général seulement un [[sous-ensemble]] strict de ''Y''. On a ''f''(''X'') = ''Y'' si et seulement si ''f'' est une [[surjection]]. |
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== Image d'une fonction == |
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Une fonction numérique ou complexe <math>f:\begin{cases} E \rightarrow F\\ x\mapsto y=f(x)\end{cases}</math>associe toujours à tout élément de l'[[ensemble de définition]] ''E'' un unique élément de l'[[Ensemble image|ensemble d'arrivée]] ''F'', c'est la définition d'une fonction. L'image de <math>x</math> par <math>f</math> se note <math>f(x) |
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</math> et correspond au nombre associé à ''x'' par ''f''. A une image peut correspondre plusieurs antécédents. |
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exemple : pour <math>f:\begin{cases} \mathbb R \rightarrow \mathbb R\\ x\mapsto x^2\end{cases}</math>, 8 a pour image <math>f(8)=64</math>, mais 64 a pour antécédents <math>x=8 \lor x=-8</math> |
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{{Portail|mathématiques}} |
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Dernière version du 11 septembre 2024 à 11:15
Pour les articles homonymes, voir Image (homonymie).
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En mathématiques, la notion d’image est reliée à la notion d’application avec plusieurs définitions distinctes.
Étant donné une application :
- pour tout élément x de E, l’unique élément qui lui est relié dans F est appelé image de x par f, et dans ce cas on dit que x est un antécédent de par f ;
- l’ensemble des images des éléments de E est appelé ensemble image de f, ou simplement image de f, et se note ;
- pour tout sous-ensemble , l’image directe de A par f est l’ensemble des images des éléments de A par f : , autrement dit c’est l’ensemble des éléments de F qui ont au moins un antécédent par f ;
- pour tout sous-ensemble , l’image réciproque ou préimage de B par f est l’ensemble des antécédents des éléments de B par f :
Cette terminologie n'est pas réservée aux seules fonctions d'une variable réelle mais à toute transformation ; ainsi on parle de l'image de la figure par symétrie.
L'ensemble image ne doit pas être confondue avec l'ensemble d'arrivée (ou codomaine) de f. Pour une fonction donnée f : X → Y, l'ensemble de définition est X et l'ensemble d'arrivée est Y. L'image f(X) de X par f, aussi appelée l'image de f, est en général seulement un sous-ensemble strict de Y. On a f(X) = Y si et seulement si f est une surjection.
Image d'une fonction
[modifier | modifier le code]Une fonction numérique ou complexe associe toujours à tout élément de l'ensemble de définition E un unique élément de l'ensemble d'arrivée F, c'est la définition d'une fonction. L'image de par se note et correspond au nombre associé à x par f. A une image peut correspondre plusieurs antécédents.
exemple : pour , 8 a pour image , mais 64 a pour antécédents
