Fonction à variation bornée

En analyse, une fonction est dite à variation bornée quand elle vérifie une certaine condition de régularité. Cette condition a été introduite en 1881 par le mathématicien Camille Jordan pour étendre le Théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier.

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur le compact $[a,b]$ à valeur dans $\mathbb {R}$.

Pour chaque subdivision $\sigma =(a=x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}=b)\in {\mathcal {S}}([a,b])$, on définit $V(f,\sigma )$ par :

$V(f,\sigma )\doteqdot \sum _{i=1}^{n}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|$.

On appelle variation totale de $f$ la valeur $V_{a}^{b}\in {\bar {\mathbb {R} }}$ définie par :

$V_{a}^{b}(f)\doteqdot \sup _{\sigma \in {\mathcal {S}}([a,b])}V(f,\sigma )$

On dit que $f$ est à variation bornée si $V_{a}^{b}(f)$ est fini.

Plus généralement, une fonction définie sur un intervalle quelconque est à variation bornée si $V_{x}^{y}(f)$ est fini quels que soient x et y dans l'intervalle.

Propriétés

• Les fonctions à variation bornée forment un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb {R}$.
• Toute fonction de classe ${\mathcal {C}}^{1}$ est à variation bornée, toute fonction monotone également.
• Toute fonction à variation bornée est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier.
• Toute fonction à variation bornée est différence de deux fonctions croissantes. A fortiori, l'espace vectoriel des fonctions à variation bornée est engendré par l'ensemble des fonctions croissantes ; on en déduit également que les fonctions à variation bornée ont au plus une infinité dénombrable de points de discontinuité et sont dérivables presque partout (au sens de la mesure de Lebesgue).
• Si f est intégrable au sens de Lebesgue sur un intervalle I, alors, pour a fixé dans I la fonction $x\mapsto F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$ est à variation bornée. En effet, $V_{a}^{x}(F)\leq \int _{a}^{x}\vert f(t)\vert dt\leq \int _{I}\vert f(t)\vert dt$

Voir aussi

• Intégrale
• Absolue continuité