Discussion:Point col

Appellation

En optimisation, les points définis dans cette page s'appellent des points-selles (plutôt que des points-cols). Je mettrais un trait d'union, et vous ? Je propose donc de changer le titre de la page en Point-selle. Jean-Charles.Gilbert (d) 16 juillet 2011 à 11:30 (CEST)

les deux terminolgies point selle et point col co-existent, la première me semblant plus fréquente (et sans trait d'union, c'est l'usage). La seule ref que j'ai sous la main (mais ça doit se trouver dans n'importe quel bouquin de calcu diff est le T1 d'un vieux livre russe :Geometrie contemporaine de Doubrovine Novikov Fomenko Jaclaf (discuter) 1 mai 2016 à 23:21 (CEST)

Il est curieux que la page s'appelle "point-col" alors que le terme le plus utilisé dans la page wikipédia est "point-selle". Dans l'article le terme "point-col" apparaît uniquement comme une remarque : "On utilise aussi l'appellation point col, en renvoyant alors à l'image du col de montagne." (J'ai vérifié : le terme point-col n'apparaît qu'une seule fois dans l'article).--Alex44119 (discuter) 4 mars 2023 à 11:24 (CET)

Manque de précision concernant la définition

Bonjour,

Il semblerait que la définition amenée du point col soit inexacte. En effet:

   $y\mapsto f({\bar {x}},y)$ atteint un maximum en ${\bar {y}}$ sur $Y$ et
   $x\mapsto f(x,{\bar {y}})$ atteint un minimum en ${\bar {x}}$ sur $X$.

... n'est qu'une caractérisation du point col. L'inverse serait également possible, $f({\bar {x}},y)$ pourrait atteindre son minimum sur $Y$, ainsi que $f(x,{\bar {y}})$ son maximum sur $X$. ~~ Merci de me contredire si ce raisonnement est erroné.

--46.193.64.105 (discuter) 1 mai 2016 à 15:16 (CEST) tu as a la fois raison ... et tort : on peut intervertir les rôles de X et Y ! Cdt Jaclaf (discuter) 1 mai 2016 à 23:24 (CEST)

point-col, point-selle sont utilisés indifféremment, semble-t-il

La wikipédia de langue anglaise prend comme définition : point critique qui n'est pas un point d'extremum local(w

cette def n'est pas correcte(wp n'est pas toujours une source sure)Jaclaf (discuter) 4 mai 2016 à 22:55 (CEST)

La définition donnée dans le présent article est celle qu'on trouve par exemple à la page 44 de l'ouvrage de Jean-Baptiste Hiriart-Urruty Optimisation et analyse convexe (PUF), et l'auteur signale les deux termes (selle, col). Cette définition ne correspond pas nécessairement avec l'intuition géométrique que l'article lui-même invoque, exemple et figure à l'appui (cf. l'exemple ci-dessous)

Si on prend $f(x,y)=x^{2}y^{2}$, alors tous les points des deux axes sont à la fois des points de minimum local (et en fait global) et des points cols (au sens de l'article). En effet, soit $(x_{0},y_{0})$ l'un de ces points critiques, avec par exemple $x_{0}=0$ et $y_{0}$ quelconque ; alors quels que soient x, y réels : $f(x_{0},y)=0=f(x_{0},y_{0})\leq f(x,y_{0})$.

Dans cet exemple, tous les points de l'axe vertical sont des points-selles, mais pas tous ceux de l'axe horizontal (cela entraînerait d'ailleurs que tous les points sont des points-selles car ceux-ci forment un produit cartésien). JChG (discuter) 2 mai 2016 à 14:29 (CEST)

Apparemment, la même terminologie est utilisée dans des domaines distincts des mathématiques, avec des sens qui ne coïncident pas

Vivarés (discuter) 2 mai 2016 à 00:58 (CEST)

l'exemple de $x^{2}-y^{2}$ n'est pas bien intéressant : on n'a pas besoin de résultats de calcul diff pour voir que 0

est un point selle !!Jaclaf (discuter) 4 mai 2016 à 22:55 (CEST)

au sens de la définition de l'article (qui ne fait pas jouer des rôles symétriques à x et y), (0, 0) n'est pas un point-selle/col de la fonction $(x,y)\mapsto y^{2}-x^{2}$ ; et d'autre part, dans l'exemple que j'ai donné ci-dessus, tous les points-selles/cols sont des points de minimum de la fonction $(x,y)\mapsto x^{2}y^{2}$... Vivarés (discuter) 4 mai 2016 à 23:55 (CEST)

Plusieurs définitions selon les domaines

La section précédente est devenue illisible à cause des insertions faite par Jaclaf et Jean-Charles.Gilbert dans le texte de Vivarès. je reprends donc à mon compte la question clé de Vivarès, tout en demandant aux deux interlocuteurs cités de bien vouloir ne pas couper le texte des autres intervenants. Merci. Vivarès signale plus haut «Apparemment, la même terminologie est utilisée dans des domaines distincts des mathématiques, avec des sens qui ne coïncident pas». J'abonde dans son sens. Comme il le signale aussi, la définition actuelle fait que, pour les fonctions f:(x,y) -> y² - x² ou g:(x,y) -> xy, le point (0,0) ne serait pas un point selle. Je pense que l'article devrait mettre en évidence la multiplicité des approches, au lieu de faire croire au caractère univoque de la définition. Peut-être faire remarquer qu'un simple changement de base dans les deux exemples cités, permet de considérer (0,0) comme un point selle pour la définition actuelle. Faire remarquer que l'inégalité large de la définition actuelle élargit considérablement le champ des points selles possibles. Actuellement l'article est contradictoire puisque la hessienne de la fonction g précédemment présentée h:(x,y)-> xy+0,1(x^3+y^3) a la signature requise sans respecter la définition d'un point selle. D'autre part, on vient de passer, pour la hessienne, sans lien vers une source, d'une fonction à deux variables à une fonction à n variables. Bref, en l'état, peu de gens peuvent s'y retrouver dans l'article. L'idéal serait de faire une recension sourcée des définitions (classée par domaine et par difficulté croissante) et de leur propriétés respectives. Malheureusement, je manque des ouvrages nécessaire pour entamer cette refonte. HB (discuter) 5 mai 2016 à 08:59 (CEST)

Un point de détail : je n'ai à aucun moment mentionné la fonction g:(x,y) -> xy (au sens de l'article, comme g(0, y) et g(x, 0) sont identiquement nulles, (0, 0) est point selle/col). Vivarés (discuter) 5 mai 2016 à 11:39 (CEST)

Tu as raison c'était mon exemple. Et il n'est pas bon avec la notion élargie de point col. Je le barre donc et en propose un autre HB (discuter) 5 mai 2016 à 13:15 (CEST)

J'ai ajouté deux phrases. Est-ce mieux comme cela? Par ailleurs définir les points-selles à partir de la signature de la hessienne ne me paraît pas une bonne idée; c'est un peu comme si l'on définissait un minimum local à partir de la semi-définie positivité de la hessienne (la condition nécessaire d'optimalité du second ordre), ce qui n'est pas adéquat (problème avec $x^{3}$), ou avec le définie positivité de la hessienne (condition suffisante d'optimalité du second ordre), ce qui n'est pas adéquat non plus (problème avec $x^{4}$). JChG (discuter) 6 mai 2016 à 09:07 (CEST) + JChG (discuter) 6 mai 2016 à 18:10 (CEST)

Si j'avais la bonne solution, je ne serais pas en train de bavarder en page de discussion et j'interviendrais sur l'article. Ce qui me gène est de vouloir imposer une définition unique, tirée d'un domaine des mathématiques. Mais comme c'est la seule définition sourçable, je ne vois pas quoi faire d'autre. Et comme les objections signalées ont conduit à ajouter des phrases signalant les écueils possibles (merci JChG), on s'est plus ou moins dédouané de toute incohérence, même si cela ne facilite pas la lecture de l'article. HB (discuter) 7 mai 2016 à 09:36 (CEST)

deux réponses

a) si une fonction f(x,y) admet un point selle, les ensembles X et Y ne sont pas forcément les axes de coordonnées. Pöur f(x,y)=xy, ce sont les bissectrices.

b) le passage à plus de deux variables est sourcé : il contient un lien (cliquer sur lemme de Morse) sourcé cela devrait suffire

cela étant dit, je trouve que l'on passe beaucoup de temps sur un article peu excitant.

Cdt Jaclaf (discuter) 8 mai 2016 à 23:17 (CEST)

Point (a): pour $f(x,y)=xy$, $(0,0)$ est aussi un point-selle pour le produit cartésien $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$, mais on voit ce que vous voulez dire. Point (b): d'accord. Votre conclusion: chacun peut y passer moins de temps; pour ma part, j'insiste sur le fait que cette notion de point-selle est à la base de toute la dualité en optimisation et donc qu'il est bien que l'article soit présent et lisible. Est-il lu? Je ne sais car il semble que le site http://stats.grok.se/fr/latest90/Point_col ne fonctionne plus pour wp.fr, dommage. JChG (discuter) 9 mai 2016 à 11:12 (CEST)

JchG, pour suivre la consultation, taper sur historique et dans la section "outils externes et statistiques", cliquer sur "statistiques de consultations" et vous tomberez sur ceci, un équivalent de grok.se. HB (discuter) 9 mai 2016 à 12:51 (CEST)

Merci HB. Je ne connaissais pas/plus. L'article est quand même très consulté (30 fois par jour). C'est donc bien de le soigner, de le clarifier si nécessaire. Je vais réfléchir à la restructuration de la section Point-selle en calcul différentiel/Utilisation de la hessienne pour mieux la rattacher au cadre général qui précède (qui est plus souple qu'on ne le pense) et faire une introduction avant le cadre abstrait. JChG (discuter) 9 mai 2016 à 18:59 (CEST)

À éclaircir

La seule définition figurant dans l'article concerne des fonctions de "deux" variables, c'est-à-dire définies sur le produit cartésien de deux ensembles (pas de trois, ou plus). Dès lors, si on considère par exemple une fonction f de trois variables réelles x, y, z, on peut la considérer comme une fonction des 2 variables (x, y) et z définie sur $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R}$ (ou un sous-ensemble), ou des 2 variables x et (y, z) définie sur $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}$ (ou un sous-ensemble), et le fait d'être ou non point col/selle dépend du point de vue adopté.

Ainsi, soit $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}$:

• $f(x,y,0)=x^{2}+y^{2}$ est minimum en (0,0) ; $f(0,0,z)=-z^{2}$ est maximum en 0: (0, 0, 0) est point col/selle
• $f(x,0,0)=x^{2}$ est minimum en 0 ; $f(0,y,z)=y^{2}-z^{2}$ n'admet pas d'extremum en (0,0): (0, 0, 0) n'est pas point col/selle.

Je persiste à penser que la notion, telle qu'elle est définie en tête d'article, et celle qu'on rencontre en calcul différentiel (condition suffisante d'ordre 2) ne sont pas très clairement articulées. Mais la critique est aisée... Vivarés (discuter)

En géométrie différentielle des surface

Bon, pour tout dire, l'image de la selle de cheval pour moi était plutôt liée à des problèmes de courbure. Du coup en cherchant un peu en géométrie différentielle des surfaces, je l'ai effectivement rencontrée dans la courbure de Gauss: un point selle, qui ne soit pas un point méplat, est nécessairement un point hyperbolique. Je vous laisse articuler cela (ou non) avec la hessienne.

Je persiste à penser, comme Vivarès, qu'il me parait difficile d'articuler les divers notions. Je pense qu'il vaudrait mieux indiquer clairement les angles d'approche sans tenter une définition universelle. Réserver une grande part à la notion de point selle en optimisation et problème min-max puisque c'est dans ce domaine semble-t-il que la notion est définie et étudiée. Et consacrer une autre rubrique, distinctes de la première, qui permettrait de présenter la notion (hélas sans définition) en géométrie différentielle, avec deux sous-section, l'une concernant les surfaces (ce qui est quand même l'image qu'on a d'un col ou d'une selle) l'autre évoquant la notion pour une fonction à n variables.

Il serait alors plus simple dans chaque rubrique de mette en évidence en quoi la notion se rapproche et se distingue de celles des autres sections. HB (discuter) 10 mai 2016 à 08:28 (CEST)

Exemple pour la hessienne

Pour l'instant, il y a un gap entre le critère par la hessienne et l'exemple présenté : l'outil est quand même assez lourd (surtout si on l'envisage en dimension n) et l'exemple est trivial et ne nécessite pas la sortie de l'artillerie lourde. Je comprends donc le désir de Jaclaf d'en changer de telle sorte qu'une recherche directe par restriction à x = 0 et y = 0 ne permette pas de conclure. Malheureusement pour f(x)= sin(x).sin(y) une recherche directe permet de conclure car f(0,y) <= f(0,0) <= f(x,0).

Je proposerais bien mon exemple f(x)=x^3+y^3+xy pour lequel la recherche directe ne fonctionne pas. On peut aussi, si on veut, chercher plus compliqué pour que les vecteurs propres et valeurs propres soient encore moins évident. HB (discuter) 10 mai 2016 à 08:50 (CEST)

tu as raison : un bon exemple doit être simple, mais aussi sufisamment compliqué pour qu'il soit nécessaire d'utiliser ce th non trivial !Jaclaf (discuter) 11 mai 2016 à 14:21 (CEST)

Point selle/col et calcul différentiel

Pour y voir plus clair, il faut expliciter ce que dit la condition suffisante d'ordre 2, et qui, me semble-t-il, n'apparaît pas sur la wikipédia. Je détaille (pardon d'enfoncer des portes ouvertes).

Soit $f:U\to \mathbb {R}$ de classe $\mathrm {C} ^{2}$ sur l'ouvert U de $\mathbb {R} ^{n}$. On considère un point critique a de f et on suppose que la hessienne H_a de f en a admet (au moins) une valeur propre $\lambda _{1}>0$ et une valeur propre $\lambda _{2}<0$ ; on note $u_{1},u_{2}$ deux vecteurs propres associés respectivement à ces valeurs propres (identifiés au besoin à des matrices-colonnes), et on désigne par $D_{1},D_{2}$ les droites affines passant par a, de directions respectives $\mathbb {R} u_{1},\mathbb {R} u_{2}$. Alors :

• la fonction d'une variable réelle $t\mapsto f(a+tu_{1})$, définie au voisinage de 0, admet un minimum local en 0. En effet, d'après la formule de Taylor :

$f(a+tu_{1})=f(a)+\langle \nabla f_{a},tu_{1}\rangle +{\frac {1}{2}}^{t}{(tu_{1})}H_{a}(tu_{1})+o(\left\|tu_{1}\right\|^{2})=f(a)+{\frac {\lambda _{1}}{2}}t^{2}\left\|u_{1}\right\|^{2}+o(t^{2})$

En d'autres termes, la restriction de f à $D_{1}\cap U$ admet en a un minimum local.

• de même, la restriction de f à $D_{2}\cap U$ admet en a un maximum local.

C'est cette situation qu'on a coutume de résumer en disant que a est un point selle/col de f : il s'agit d'une notion locale, et elle signifie qu'il existe deux droites passant par le point critique a, telles qu'en restriction à l'une d'elles, f admet un minimum local en a, et en restriction à l'autre, un maximum local. Comme on ne peut rien tirer d'autre des hypothèses, il semble que c'est cela qu'on peut prendre comme définition d'un point col/selle dans ce contexte.

On voit bien l'analogie avec l'autre définition. Mais je doute qu'on puisse aisément unifier les deux notions. Vivarés (discuter) 12 mai 2016 à 10:56 (CEST)

Ce n'est pas la même notion que celle de l'article si l'on ne requiert de l'information que sur 2 directions alors que $n>2$ (même avec autorisation de changement de variables linéaire). En première analyse, le point 0 est un point-selle de $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+x_{3}^{3}$ pour la définition ci-dessus, mais pas pour celle de l'article (même avec autorisation de changement de variables linéaire), me semble t-il. La notion ci-dessus est-elle admise par un nombre suffisamment important d'auteurs? Y a t-il des références? En quelles circonstances est-elle utile? L'article peut discuter de ces différentes notions, mais est-ce intéressant/utile? JChG (discuter) 12 mai 2016 à 12:01 (CEST)

Par ailleurs les conditions suffisantes d'optimalité du second ordre en optimisation (pas pour les points-selles) apparaissent ici. JChG (discuter) 12 mai 2016 à 12:09 (CEST)

L'énoncé de la CS d'ordre 2 permettant d'affirmer l'existence d'un point selle/col me paraît usuel (une attestation : https://webusers.imj-prg.fr/~christian.blanchet/enseignement/2007-8_S1/ch9_diff_sup.pdf dans des notes de cours de Christian Blanchet). Mais je n'ai pas de source pour une définition dans ce contexte de la notion de point selle/col. Vivarés (discuter) 12 mai 2016 à 15:14 (CEST)

Le document [1] donne une CS de point-selle, mais pas de définition du point-selle... On ne peut donc rien en conclure. JChG (discuter) 12 mai 2016 à 15:57 (CEST)

Forme quadratique, exemple

Bonjour. Dans l'exemple, je lis que la forme quadratique doit être de type (p,q) avec p>0 et q>0. Qu'est-ce que cela signifie ? Est-ce la signature ? Si c'est le cas, alors p et q sont toujours positifs.

Athanatophobos (discuter) 21 septembre 2021 à 17:25 (CEST)

Oui, c’est bien la signature ; p et q doivent être non nuls (autrement dit il y a des termes de signes opposés).—Dfeldmann (discuter) 21 septembre 2021 à 17:45 (CEST)

Je comprends mieux, cela signifie que la forme quadratique doit être définie. Athanatophobos (discuter) 21 septembre 2021 à 21:22 (CEST)