Théorie k-catégorique

En logique mathématique, une théorie est dite k-catégorique pour un nombre cardinal k si elle a exactement un modèle de cardinalité k (à isomorphisme près).

Théorème de Łoś-Vaught

Énoncé

Théorème de Łoś (pl)-Vaught — Toute théorie sans modèle fini qui est k-catégorique pour un certain cardinal k (infini) au moins égal à celui de son langage est complète.

Exemples de telles théories complètes

• La théorie des ensembles infinis est k-catégorique pour tout cardinal k infini.

  C'est une théorie du premier ordre en calcul des prédicats égalitaire pur qui comporte une infinité dénombrable d'axiomes, soit pour tout entier n ≥ 1 l'axiome « il existe au moins n éléments distincts » :

  $\exists x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\qquad \wedge _{1\leq i<j\leq n}~\neg (x_{i}=x_{j})$.

• Les quatre théories des ensembles densément ordonnés pour lesquels on précise s'ils ont ou non un premier ou un dernier élément sont ℵ₀-catégoriques (en) et leurs modèles dénombrables sont isomorphes respectivement aux ensembles ordonnés de rationnels

  $\left]0,1\right[\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left[0,1\right[\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left]0,1\right]\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left[0,1\right]\cap \mathbb {Q}$.

Théorème de Morley

Théorème de Morley — Si une théorie dans un langage au plus dénombrable est k-catégorique pour un certain cardinal k strictement supérieur au dénombrable, alors elle l'est pour tous.

Voir aussi

Bibliographie

(en) Dirk van Dalen (de), Logic and Structure, "chap. 3.3 Some model theory", Springer-Verlag, 1991.

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