Dans toute la suite, on désigne par
s
{\displaystyle s}
un nombre complexe , sa partie réelle et sa partie imaginaire sont notées respectivement
σ
{\displaystyle \sigma }
et
τ
{\displaystyle \tau }
.
La série
∑
m
⩾
1
1
φ
(
m
)
s
{\displaystyle \sum _{m\geqslant 1}{\frac {1}{\varphi (m)^{s}}}}
converge absolument sur le demi-plan complexe
σ
>
1
{\displaystyle \sigma >1}
d'après l'inégalité précédente. Notons
F
{\displaystyle F}
la série de Dirichlet associée à
a
n
{\displaystyle a_{n}}
, la sommabilité permet d'effectuer une sommation par paquets :
F
(
s
)
=
∑
m
⩾
1
1
φ
(
m
)
s
{\displaystyle F(s)=\sum _{m\geqslant 1}{\frac {1}{\varphi (m)^{s}}}}
, on en déduit que le produit eulérien de
F
{\displaystyle F}
s'écrit
F
(
s
)
=
∏
p
(
1
+
1
(
p
−
1
)
s
(
1
−
p
−
s
)
)
{\displaystyle F(s)=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{(p-1)^{s}(1-p^{-s})}}\right)}
où dans le produit
p
{\displaystyle p}
parcourt l'ensemble des nombres premiers .
En utilisant le produit eulérien de la fonction
ζ
{\displaystyle \zeta }
, on a
F
(
s
)
=
ζ
(
s
)
G
(
s
)
{\displaystyle F(s)=\zeta (s)G(s)}
pour
σ
>
1
{\displaystyle \sigma >1}
où le produit
G
(
s
)
{\displaystyle G(s)}
est défini par
G
(
s
)
=
∏
p
(
1
+
1
(
p
−
1
)
s
−
1
p
s
)
{\displaystyle G(s)=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{(p-1)^{s}}}-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}
Notons que le produit définissant
G
(
s
)
{\displaystyle G(s)}
est absolument convergent dans le demi-plan complexe
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0}
d'après l'inégalité
|
1
(
p
−
1
)
s
−
1
p
s
|
⩽
min
(
2
(
p
−
1
)
−
σ
,
|
s
|
(
p
−
1
)
−
σ
−
1
)
{\displaystyle \left|{\frac {1}{(p-1)^{s}}}-{\frac {1}{p^{s}}}\right|\leqslant \min \left(2(p-1)^{-\sigma },|s|(p-1)^{-\sigma -1}\right)}
Aussi, on obtient à l'aide du produit eulérien de la fonction
ζ
{\displaystyle \zeta }
l'égalité
G
(
1
)
=
ζ
(
2
)
ζ
(
3
)
ζ
(
6
)
{\displaystyle G(1)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}}
.
On se place ici dans le domaine défini par
|
τ
|
⩾
2
{\displaystyle |\tau |\geqslant 2}
et
σ
⩾
1
−
1
ln
(
2
|
τ
|
)
{\displaystyle \sigma \geqslant 1-{\frac {1}{\ln(2|\tau |)}}}
. On a d'après l'inégalité précédente
ln
|
G
(
s
)
|
⩽
4
∑
p
⩽
2
|
τ
|
1
p
σ
+
(
2
+
|
τ
|
)
∑
p
>
2
|
τ
|
1
p
σ
+
1
+
O
(
1
)
{\displaystyle \ln |G(s)|\leqslant 4\sum _{p\leqslant 2|\tau |}{\frac {1}{p^{\sigma }}}+(2+|\tau |)\sum _{p>2|\tau |}{\frac {1}{p^{\sigma +1}}}+{\mathcal {O}}(1)}
D'une part
1
p
σ
≪
1
p
{\displaystyle {\frac {1}{p^{\sigma }}}\ll {\frac {1}{p}}}
dès lors que
p
⩽
2
|
τ
|
{\displaystyle p\leqslant 2|\tau |}
donc
∑
p
⩽
2
|
τ
|
1
p
σ
≪
ln
ln
(
2
|
τ
|
)
{\displaystyle \sum _{p\leqslant 2|\tau |}{\frac {1}{p^{\sigma }}}\ll \ln \ln(2|\tau |)}
d'après les estimations de Mertens . D'autre part, grâce à une sommation d'Abel et aux estimations de Tchebychev ,
∑
p
>
2
|
τ
|
1
p
σ
+
1
≪
ln
ln
(
2
|
τ
|
)
|
τ
|
{\displaystyle \sum _{p>2|\tau |}{\frac {1}{p^{\sigma +1}}}\ll {\frac {\ln \ln(2|\tau |)}{|\tau |}}}
de sorte que
ln
|
G
(
s
)
|
≪
ln
ln
(
2
|
τ
|
)
{\displaystyle \ln |G(s)|\ll \ln \ln(2|\tau |)}
. Il existe ainsi une constante
A
>
0
{\displaystyle A>0}
telle que
G
(
s
)
≪
(
ln
|
τ
|
)
A
{\displaystyle G(s)\ll (\ln |\tau |)^{A}}
.
Développement asymptotique de Φ
modifier
D'après la formule de Perron (voir Remarques)
∫
0
x
Φ
(
t
)
d
t
=
1
2
i
π
∫
κ
−
i
∞
κ
+
i
∞
ζ
(
s
)
G
(
s
)
x
s
+
1
d
s
s
(
s
+
1
)
{\displaystyle \int _{0}^{x}\Phi (t)dt={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }\zeta (s)G(s)x^{s+1}{\frac {ds}{s(s+1)}}}
pour tout
κ
>
1
{\displaystyle \kappa >1}
où l'intégrale est semi-convergente pour
x
{\displaystyle x}
non entier et converge en valeur principale pour
x
{\displaystyle x}
entier. On choisit
κ
=
1
+
1
ln
x
{\displaystyle \kappa =1+{\frac {1}{\ln x}}}
et on évalue l'intégrale en déformant la droite d'intégration, que l'on remplace par la courbe
σ
=
1
−
1
ln
max
(
4
,
2
|
τ
|
)
{\displaystyle \sigma =1-{\frac {1}{\ln \max(4,2|\tau |)}}}
. On scinde l'intégrale sur le contour déformé aux points
τ
=
±
e
−
c
ln
x
{\displaystyle \tau =\pm e^{-c{\sqrt {\ln x}}}}
pour une constante convenable
c
{\displaystyle c}
, celle-ci est
≪
x
2
e
−
c
0
ln
x
{\displaystyle \ll x^{2}e^{-c_{0}{\sqrt {\ln x}}}}
pour une constante
c
0
>
0
{\displaystyle c_{0}>0}
d'après la majoration
|
log
ζ
(
s
)
|
⩽
ln
ln
|
τ
|
+
O
(
1
)
{\displaystyle |\log \zeta (s)|\leqslant \ln \ln |\tau |+{\mathcal {O}}(1)}
(voir Remarques). Le théorème des résidus fournit alors le développement asymptotique suivant :
∫
0
x
Φ
(
t
)
d
t
=
G
(
1
)
2
x
2
+
O
(
x
2
e
−
c
0
ln
x
)
{\displaystyle \int _{0}^{x}\Phi (t)dt={\frac {G(1)}{2}}x^{2}+{\mathcal {O}}\left(x^{2}e^{-c_{0}{\sqrt {\ln x}}}\right)}
De la croissance de
Φ
{\displaystyle \Phi }
on en déduit que
1
h
∫
x
−
h
x
Φ
(
t
)
d
t
⩽
Φ
(
x
)
⩽
1
h
∫
x
x
+
h
Φ
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {1}{h}}\int _{x-h}^{x}\Phi (t)dt\leqslant \Phi (x)\leqslant {\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\Phi (t)dt}
pour tout
0
<
h
⩽
x
{\displaystyle 0<h\leqslant x}
. En choisissant
h
=
x
e
−
c
0
2
ln
x
{\displaystyle h=xe^{-{\frac {c_{0}}{2}}{\sqrt {\ln x}}}}
et en remplaçant
G
(
1
)
{\displaystyle G(1)}
par sa valeur on en déduit le développement asymptotique suivant :
Φ
(
x
)
=
ζ
(
2
)
ζ
(
3
)
ζ
(
6
)
x
+
O
(
x
e
−
c
ln
x
)
{\displaystyle \Phi (x)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}x+{\mathcal {O}}\left(xe^{-c{\sqrt {\ln x}}}\right)}
pour une constante
c
>
0
{\displaystyle c>0}
.
D'après la relation
a
n
=
Φ
(
n
)
−
Φ
(
n
−
1
)
{\displaystyle a_{n}=\Phi (n)-\Phi (n-1)}
on a
a
n
≪
n
e
−
c
ln
n
{\displaystyle a_{n}\ll ne^{-c{\sqrt {\ln n}}}}
.
On pose
a
x
=
a
n
{\displaystyle a_{x}=a_{n}}
lorsque
x
=
n
∈
N
{\displaystyle x=n\in \mathbb {N} }
et
a
x
=
0
{\displaystyle a_{x}=0}
lorsque
x
∈
R
∖
N
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {N} }
, on a alors d'après la formule de Perron
∑
n
<
x
a
n
+
a
x
2
=
1
2
i
π
∫
κ
−
i
∞
κ
+
i
∞
F
(
s
)
x
s
d
s
s
{\displaystyle \sum _{n<x}a_{n}+{\frac {a_{x}}{2}}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }F(s)x^{s}{\frac {ds}{s}}}
pour tout
κ
>
max
(
0
,
σ
c
)
{\displaystyle \kappa >\max(0,\sigma _{c})}
où
σ
c
{\displaystyle \sigma _{c}}
désigne l'abscisse de convergence simple de la série de Dirichlet
F
{\displaystyle F}
. On en déduit que
∑
n
<
x
n
a
n
+
x
a
x
2
=
1
2
i
π
∫
κ
−
i
∞
κ
+
i
∞
F
(
s
)
x
s
+
1
d
s
s
+
1
{\displaystyle \sum _{n<x}na_{n}+{\frac {xa_{x}}{2}}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }F(s)x^{s+1}{\frac {ds}{s+1}}}
et
∑
n
<
x
x
a
n
+
x
a
x
2
=
1
2
i
π
∫
κ
−
i
∞
κ
+
i
∞
F
(
s
)
x
s
+
1
d
s
s
{\displaystyle \sum _{n<x}xa_{n}+{\frac {xa_{x}}{2}}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }F(s)x^{s+1}{\frac {ds}{s}}}
d'où
∫
0
x
Φ
(
t
)
d
t
=
∑
n
⩽
x
(
x
−
n
)
a
n
=
1
2
i
π
∫
κ
−
i
∞
κ
+
i
∞
F
(
s
)
x
s
+
1
d
s
s
(
s
+
1
)
{\displaystyle \int _{0}^{x}\Phi (t)dt=\sum _{n\leqslant x}(x-n)a_{n}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }F(s)x^{s+1}{\frac {ds}{s(s+1)}}}
pour tout
κ
>
max
(
0
,
σ
c
)
{\displaystyle \kappa >\max(0,\sigma _{c})}
et
x
⩾
1
{\displaystyle x\geqslant 1}
.
Majoration de la norme du logarithme ζ
modifier
On a la relation
|
log
ζ
(
s
)
|
⩽
ln
ln
|
τ
|
+
O
(
1
)
{\displaystyle |\log \zeta (s)|\leqslant \ln \ln |\tau |+{\mathcal {O}}(1)}
.
Il existe une constante
c
>
0
{\displaystyle c>0}
telle que
ζ
{\displaystyle \zeta }
ne possède aucun zéro dans la région du plan complexe défini par
σ
⩾
1
−
8
c
ln
(
2
+
|
τ
|
)
{\displaystyle \sigma \geqslant 1-{\frac {8c}{\ln(2+|\tau |)}}}
(voir l'article Histoire de la fonction zêta de Riemann ). Ainsi tout zéro non trivial
β
+
i
γ
{\displaystyle \beta +i\gamma }
de
ζ
{\displaystyle \zeta }
vérifie l'inégalité
β
<
1
−
8
c
ln
(
2
+
|
γ
|
)
{\displaystyle \beta <1-{\frac {8c}{\ln(2+|\gamma |)}}}
. Cela implique la minoration
min
ρ
Re
(
1
ρ
−
1
s
−
ρ
)
⩾
0
{\displaystyle \min _{\rho }{\text{Re}}\left({\frac {1}{\rho }}-{\frac {1}{s-\rho }}\right)\geqslant 0}
où
ρ
{\displaystyle \rho }
parcourt l'ensemble des zéros non triviaux de
ζ
{\displaystyle \zeta }
, dans le domaine du plan complexe défini par
τ
⩾
4
{\displaystyle \tau \geqslant 4}
et
σ
⩾
1
−
4
c
ln
τ
{\displaystyle \sigma \geqslant 1-{\frac {4c}{\ln \tau }}}
. En effet, si
ρ
{\displaystyle \rho }
est un zéro non trivial, alors
si
|
s
−
ρ
|
>
1
2
|
ρ
|
{\displaystyle |s-\rho |>{\frac {1}{2}}|\rho |}
, alors en posant
ϑ
:=
2
|
s
−
ρ
|
ρ
⩾
1
{\displaystyle \vartheta :={\frac {2|s-\rho |}{\rho }}\geqslant 1}
,
Re
(
1
ρ
−
1
s
−
ρ
)
=
β
|
ρ
|
2
+
σ
−
β
|
s
−
ρ
|
2
=
ϑ
2
β
−
4
(
σ
−
β
)
4
|
s
−
ρ
|
2
⩾
4
σ
−
3
4
|
s
−
ρ
|
2
⩾
0
{\displaystyle {\text{Re}}\left({\frac {1}{\rho }}-{\frac {1}{s-\rho }}\right)={\frac {\beta }{|\rho |^{2}}}+{\frac {\sigma -\beta }{|s-\rho |^{2}}}={\frac {\vartheta ^{2}\beta -4(\sigma -\beta )}{4|s-\rho |^{2}}}\geqslant {\frac {4\sigma -3}{4|s-\rho |^{2}}}\geqslant 0}
quitte à diminuer
c
{\displaystyle c}
.
si
|
s
−
ρ
|
⩽
1
2
|
ρ
|
{\displaystyle |s-\rho |\leqslant {\frac {1}{2}}|\rho |}
, alors
|
τ
−
γ
|
⩽
1
2
(
|
γ
|
+
1
)
{\displaystyle |\tau -\gamma |\leqslant {\frac {1}{2}}\left(|\gamma |+1\right)}
d'où
|
γ
|
⩽
2
|
τ
|
+
2
{\displaystyle |\gamma |\leqslant 2|\tau |+2}
et
β
<
1
−
8
c
ln
(
2
τ
+
4
)
⩽
1
−
4
c
ln
τ
⩽
σ
{\displaystyle \beta <1-{\frac {8c}{\ln(2\tau +4)}}\leqslant 1-{\frac {4c}{\ln \tau }}\leqslant \sigma }
.
Le produit de Hadamard de
ζ
{\displaystyle \zeta }
fournit
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
=
ln
2
π
−
1
2
γ
−
1
−
1
s
−
1
−
Γ
′
(
1
+
s
2
)
2
Γ
(
1
+
s
2
)
+
∑
ρ
(
1
s
−
ρ
+
1
ρ
)
{\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\gamma -1-{\frac {1}{s-1}}-{\frac {\Gamma '\left(1+{\frac {s}{2}}\right)}{2\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}+\sum _{\rho }\left({\frac {1}{s-\rho }}+{\frac {1}{\rho }}\right)}
où la somme s'étend sur tous les zéros non triviaux de
ζ
{\displaystyle \zeta }
. On en déduit l'existence d'une constante
K
>
0
{\displaystyle K>0}
telle que
−
Re
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
⩽
K
ln
τ
{\displaystyle -{\text{Re}}{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\leqslant K\ln \tau }
sur le domaine
τ
⩾
4
{\displaystyle \tau \geqslant 4}
et
σ
⩾
1
−
4
c
ln
τ
{\displaystyle \sigma \geqslant 1-{\frac {4c}{\ln \tau }}}
.
On se place dorénavant dans le domaine défini par
τ
⩾
5
{\displaystyle \tau \geqslant 5}
et
σ
⩾
1
−
c
ln
τ
{\displaystyle \sigma \geqslant 1-{\frac {c}{\ln \tau }}}
. Posons
η
:=
c
ln
τ
{\displaystyle \eta :={\frac {c}{\ln \tau }}}
et
s
0
:=
1
+
η
+
i
τ
{\displaystyle s_{0}:=1+\eta +i\tau }
, alors pour tout
w
∈
C
{\displaystyle w\in \mathbb {C} }
dans le disque
|
w
|
⩽
4
η
{\displaystyle |w|\leqslant 4\eta }
, le point
s
0
+
w
=
σ
′
+
i
τ
′
{\displaystyle s_{0}+w=\sigma '+i\tau '}
vérifie
τ
′
⩾
4
{\displaystyle \tau '\geqslant 4}
et
σ
′
⩾
1
−
4
c
ln
τ
′
{\displaystyle \sigma '\geqslant 1-{\frac {4c}{\ln \tau '}}}
donc
−
Re
ζ
′
(
s
0
)
ζ
(
s
0
)
⩽
2
K
ln
τ
{\displaystyle -{\text{Re}}{\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}\leqslant 2K\ln \tau }
d'après le lemme. Posons
F
(
w
)
:=
ζ
′
(
s
0
)
ζ
(
s
0
)
−
ζ
′
(
s
0
+
w
)
ζ
(
s
0
+
w
)
{\displaystyle F(w):={\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}-{\frac {\zeta '(s_{0}+w)}{\zeta (s_{0}+w)}}}
, alors
Re
F
(
w
)
⩽
2
K
ln
τ
+
|
ζ
′
(
s
0
)
ζ
(
s
0
)
|
{\displaystyle {\text{Re}}\,F(w)\leqslant 2K\ln \tau +\left|{\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}\right|}
pour tout
w
{\displaystyle w}
dans le disque
|
w
|
⩽
4
η
{\displaystyle |w|\leqslant 4\eta }
. Sachant que
|
s
−
s
0
|
⩽
2
η
{\displaystyle |s-s_{0}|\leqslant 2\eta }
, le lemme de Borel-Carathéodory implique la majoration
|
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
|
⩽
4
K
ln
τ
+
3
|
ζ
′
(
s
0
)
ζ
(
s
0
)
|
{\displaystyle \left|{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right|\leqslant 4K\ln \tau +3\left|{\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}\right|}
On utilise enfin le développement en série de Dirichlet de
ζ
′
ζ
{\displaystyle {\frac {\zeta '}{\zeta }}}
:
|
ζ
′
(
s
0
)
ζ
(
s
0
)
|
⩽
∑
n
⩾
1
Λ
(
n
)
n
1
+
η
=
1
η
+
O
(
1
)
≪
ln
τ
{\displaystyle \left|{\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}\right|\leqslant \sum _{n\geqslant 1}{\frac {\Lambda (n)}{n^{1+\eta }}}={\frac {1}{\eta }}+{\mathcal {O}}(1)\ll \ln \tau }
où
Λ
{\displaystyle \Lambda }
désigne la fonction de von Mangoldt , ce qui permet d'en déduire que
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
≪
ln
|
τ
|
{\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\ll \ln |\tau |}
. On peut finalement conclure :
log
ζ
(
s
)
ζ
(
s
0
)
=
∫
s
0
s
ζ
′
(
w
)
ζ
(
w
)
d
w
≪
|
s
−
s
0
|
ln
τ
≪
1
{\displaystyle \log {\frac {\zeta (s)}{\zeta (s_{0})}}=\int _{s_{0}}^{s}{\frac {\zeta '(w)}{\zeta (w)}}dw\ll |s-s_{0}|\ln \tau \ll 1}
et
|
log
ζ
(
s
0
)
|
=
|
∑
n
⩾
2
Λ
(
n
)
(
ln
n
)
n
s
0
|
⩽
∑
n
⩾
2
Λ
(
n
)
(
ln
n
)
n
1
+
η
=
ln
ζ
(
1
+
η
)
=
ln
1
η
+
O
(
1
)
=
ln
ln
τ
+
O
(
1
)
{\displaystyle |\log \zeta (s_{0})|=\left|\sum _{n\geqslant 2}{\frac {\Lambda (n)}{(\ln n)n^{s_{0}}}}\right|\leqslant \sum _{n\geqslant 2}{\frac {\Lambda (n)}{(\ln n)n^{1+\eta }}}=\ln \zeta (1+\eta )=\ln {\frac {1}{\eta }}+{\mathcal {O}}(1)=\ln \ln \tau +{\mathcal {O}}(1)}
d'où finalement
|
log
ζ
(
s
)
|
⩽
ln
ln
|
τ
|
+
O
(
1
)
{\displaystyle |\log \zeta (s)|\leqslant \ln \ln |\tau |+{\mathcal {O}}(1)}
dans le domaine du plan complexe défini par
|
τ
|
⩾
3
{\displaystyle |\tau |\geqslant 3}
et
σ
⩾
1
−
c
ln
|
τ
|
{\displaystyle \sigma \geqslant 1-{\frac {c}{\ln |\tau |}}}
.
↑ Tenenbaum, Gérald, 1952- ... , Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres , Paris, Belin , dl 2015, 592 p. (ISBN 978-2-7011-9656-5 et 2-7011-9656-6 , OCLC 933777932 , lire en ligne )
↑ Tenenbaum, Gerald. , Exercices corrigés de théorie analytique et probabiliste des nombres , Paris, Société Mathématique de France, 1996 , 251 p. (ISBN 2-85629-045-0 et 978-2-85629-045-3 , OCLC 36462852 , lire en ligne )