Théorème de Bateman

développement asymptotique de la moyenne du nombre d'antécédents de la fonction indicatrice d'Euler


Le théorème de Bateman, publié en 1972, fournit un développement asymptotique de la moyenne du nombre d'antécédents de la fonction indicatrice d'Euler, que l'on note par la suite[1],[2].

Énoncé

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Notons   pour   et   pour  , il existe alors une constante   telle que

 

Notons que   est fini pour tout  . En effet, d'après l'estimation    désigne la constante d'Euler-Mascheroni, on a   dès lors que   donc  .

Démonstration

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Dans toute la suite, on désigne par   un nombre complexe, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont notées respectivement   et  .

Série de Dirichlet associée

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La série   converge absolument sur le demi-plan complexe   d'après l'inégalité précédente. Notons   la série de Dirichlet associée à  , la sommabilité permet d'effectuer une sommation par paquets :  , on en déduit que le produit eulérien de   s'écrit

 

où dans le produit   parcourt l'ensemble des nombres premiers.

En utilisant le produit eulérien de la fonction  , on a   pour   où le produit   est défini par

 

Notons que le produit définissant   est absolument convergent dans le demi-plan complexe   d'après l'inégalité

 

Aussi, on obtient à l'aide du produit eulérien de la fonction   l'égalité  .

Majoration du produit G(s)

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On se place ici dans le domaine défini par   et  . On a d'après l'inégalité précédente

 

D'une part   dès lors que   donc   d'après les estimations de Mertens. D'autre part, grâce à une sommation d'Abel et aux estimations de Tchebychev,   de sorte que  . Il existe ainsi une constante   telle que  .

Développement asymptotique de Φ

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D'après la formule de Perron (voir Remarques)

 

pour tout   où l'intégrale est semi-convergente pour   non entier et converge en valeur principale pour   entier. On choisit   et on évalue l'intégrale en déformant la droite d'intégration, que l'on remplace par la courbe  . On scinde l'intégrale sur le contour déformé aux points   pour une constante convenable  , celle-ci est   pour une constante   d'après la majoration   (voir Remarques). Le théorème des résidus fournit alors le développement asymptotique suivant :

 

De la croissance de   on en déduit que

 

pour tout  . En choisissant   et en remplaçant   par sa valeur on en déduit le développement asymptotique suivant :

 

pour une constante  .

Corollaire

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D'après la relation   on a  .

Remarques

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Formule de Perron

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On pose   lorsque   et   lorsque  , on a alors d'après la formule de Perron

 

pour tout    désigne l'abscisse de convergence simple de la série de Dirichlet  . On en déduit que

    et   

d'où

 

pour tout   et  .

Majoration de la norme du logarithme ζ

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On a la relation  .

Il existe une constante   telle que   ne possède aucun zéro dans la région du plan complexe défini par   (voir l'article Histoire de la fonction zêta de Riemann). Ainsi tout zéro non trivial   de   vérifie l'inégalité  . Cela implique la minoration

 

  parcourt l'ensemble des zéros non triviaux de  , dans le domaine du plan complexe défini par   et  . En effet, si   est un zéro non trivial, alors

  • si  , alors en posant  ,
  quitte à diminuer  .
  • si  , alors   d'où   et  .

Le produit de Hadamard de   fournit

 

où la somme s'étend sur tous les zéros non triviaux de  . On en déduit l'existence d'une constante   telle que   sur le domaine   et  .

Démonstration de la majoration

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On se place dorénavant dans le domaine défini par   et  . Posons   et  , alors pour tout   dans le disque  , le point   vérifie   et   donc

 

d'après le lemme. Posons  , alors   pour tout   dans le disque  . Sachant que  , le lemme de Borel-Carathéodory implique la majoration

 

On utilise enfin le développement en série de Dirichlet de   :

 

  désigne la fonction de von Mangoldt, ce qui permet d'en déduire que  . On peut finalement conclure :

 

et

 

d'où finalement   dans le domaine du plan complexe défini par   et  .

Notes et références

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  1. Tenenbaum, Gérald, 1952- ..., Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Paris, Belin, dl 2015, 592 p. (ISBN 978-2-7011-9656-5 et 2-7011-9656-6, OCLC 933777932, lire en ligne)
  2. Tenenbaum, Gerald., Exercices corrigés de théorie analytique et probabiliste des nombres, Paris, Société Mathématique de France, , 251 p. (ISBN 2-85629-045-0 et 978-2-85629-045-3, OCLC 36462852, lire en ligne)

Voir aussi

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