Somme télescopique

En analyse, l'expression somme télescopique désigne informellement une somme dont les termes s'annulent de proche en proche :

Animation d'une somme télescopique, qui se range comme un télescope lorsque les termes s'annulent.

$(a_{1}-a_{0})+(a_{2}-a_{1})+...+(a_{n}-a_{n-1})=a_{n}-a_{0}$

La formulation vient de l'image d'un télescope que l'on replie.

Lorsqu'on effectue cette simplification, on emploie en général la phrase « l'expression se simplifie par télescopage ».

Formule de télescopage et série télescopique

Si $(a_{n})$ est une suite numérique, la série télescopique correspondante est la série de terme général $a_{n+1}-a_{n}$. La formule de télescopage s'écrit alors

$\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{k-1}\right)=a_{n}-a_{0}.$

La convergence de la série télescopique ${\textstyle \sum (a_{n+1}-a_{n})}$ équivaut donc à la convergence de la suite $(a_{n})$ , et ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(a_{n+1}-a_{n})=\lim a_{n}-a_{0}}$

On peut voir cette formule comme une version discrète de la formule d'intégration : $\int _{a}^{b}f'(x)\mathrm {d} x=f(b)-f(a)$.

Exemples d'applications

• L'exemple le plus connu est peut-être la formule des séries géométriques : on a

${\begin{aligned}(1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}&=(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n})\\&=(1-x)+(x-x^{2})+(x^{2}-x^{3})+\dotsb +(x^{n}-x^{n+1})\\&=1-x^{n+1}\end{aligned}}$ ou, plus formellement, $(1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}.$

• Les formules $\sum _{k=1}^{n}k\times k!=(n+1)!-1$ et $\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{(k+1)!}}=1-{\frac {1}{(n+1)!}}$ s'obtiennent par télescopage après avoir écrit $k=k+1-1$.
• La formule concernant la suite de Fibonacci : $\sum _{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1$ s'obtient en écrivant $F_{k}=F_{k+2}-F_{k+1}$.
• La formule de la crosse de Hockey pour les coefficients binomiaux : $\sum _{k=p}^{n}{\binom {k}{p}}={\binom {n+1}{p+1}}$ s'obtient par télescopage en utilisant la relation de Pascal : ${\binom {k}{p}}={\binom {k+1}{p+1}}-{\binom {k}{p+1}}$.
• La relation remarquable $1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(1+2...+n)^{2}$ peut s'obtenir par télescopage.

En effet, si $a_{n}=(0+1+2+...+n)^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$, alors

$a_{k}-a_{k-1}={\frac {k^{2}(k+1)^{2}-k^{2}(k-1)^{2}}{4}}=k^{2}{\frac {4k}{4}}=k^{3}.$

On en déduit

$\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})=a_{n}-a_{0}=(1+2+...+n)^{2}.$

• Plus généralement, les sommes des $n$ premières puissances p-ièmes des entiers $S_{n}^{p}=\sum _{k=0}^{n}k^{p}$ peuvent se calculer de proche en proche grâce à la formule de récurrence (Pascal 1655)  : $(p+1)S_{n}^{p}=(n+1)^{p+1}-\sum _{q=0}^{p-1}{\binom {p+1}{q}}S_{n}^{q}$, formule se démontrant par télescopage et à l'aide de la formule du binôme.
  En effet, par télescopage : $\sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=(n+1)^{p+1}$.
  Et par la formule du binôme, $$\sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=\sum _{k=0}^{n}\sum _{q=0}^{p}{\binom {p+1}{q}}k^{q}=\sum _{q=0}^{p}{\binom {p+1}{q}}\sum _{k=0}^{n}k^{q}=(p+1)S_{n}^{p}+\sum _{q=0}^{p-1}{\binom {p+1}{q}}S_{n}^{q}$$ d'où la formule annoncée.
• La décomposition en éléments simples permet parfois une réécriture sous forme télescopique ; par exemple, puisque

${\frac {1}{x(x+1)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x+1}},$ on a (si $-\alpha \notin \mathbb {N}$) : ${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+\alpha )(k+\alpha +1)}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+\alpha }}-{\frac {1}{k+\alpha +1}}\right)\\&=\left({\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{\alpha +1}}\right)+\left({\frac {1}{\alpha +1}}-{\frac {1}{\alpha +2}}\right)+\cdots \\&={\frac {1}{\alpha }}+\left(-{\frac {1}{\alpha +1}}+{\frac {1}{\alpha +1}}\right)+\left(-{\frac {1}{\alpha +2}}+{\frac {1}{\alpha +2}}\right)+\cdots ={\frac {1}{\alpha }}.\end{aligned}}$

• De nombreuses séries trigonométriques admettent une représentation comme différence permettant un télescopage :

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}\sin \left(k\right)&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)}}\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(k\right)\right)\\&={\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)}}\sum _{k=1}^{n}\left(\cos \left({\frac {2k-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2k+1}{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)}}\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}$

• Plus généralement, les expressions closes suivantes des sommes $C_{n}=\sum _{k=0}^{n}\cos(k\theta +\varphi )$ et $S_{n}=\sum _{k=0}^{n}\sin(k\theta +\varphi )$ pour $\theta \neq 0\mod 2\pi$ :$C_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\cos \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right),\ S_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\sin \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right)$peuvent s'obtenir en multipliant par $\sin {\frac {\theta }{2}}$ , en linéarisant, puis en télescopant.
• Il convient cependant, dans le cas des séries, de ne pas négliger les questions de convergence ; on pourrait sinon en déduire, par exemple, que

${\begin{aligned}1+1+1+\cdots &=(2-1)+(3-2)+(4-3)+\cdots \\&=-1+(2-2)+(3-3)+\cdots \\&=-1\end{aligned}}$ (mais les résultats ainsi obtenus ne sont pas toujours dénués de sens ; on pourra à ce sujet consulter l'article série divergente).

Application à la sommation par parties

Énoncé et démonstration

Si $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont des suites, la formule de sommation par parties s'écrit :

$\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)b_{k}=(a_{n}b_{n}-a_{0}b_{0})-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k+1}\left(b_{k+1}-b_{k}\right)$

En effet, d'une part par télescopage,

$\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}b_{k+1}-a_{k}b_{k}\right)=(a_{n}b_{n}-a_{0}b_{0})$

et d'autre part :

$\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}b_{k+1}-a_{k}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}(b_{k+1}-b_{k})+(a_{k+1}-a_{k})b_{k}\right)$

Exemple d’application

$(x-1)\sum _{k=0}^{n-1}kx^{k}=\sum _{k=0}^{n-1}k(x^{k+1}-x^{k}){\overset {formule}{=}}nx^{n}-\sum _{k=0}^{n-1}x^{k+1}=nx^{n}-{\frac {x^{n+1}-x}{x-1}}$, dont on tire :

$\sum _{k=0}^{n-1}kx^{k}={\frac {(n-1)x^{n+1}-nx^{n}+x}{(x-1)^{2}}}$

Produit télescopique

Formule

La version multiplicative de la formule de télescopage s'écrit, pour une suite $(a_{n})$ jamais nulle :

$\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}}$.

La convergence du produit infini télescopique $\prod {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ équivaut donc à la convergence de la suite $(a_{n})$ vers une limite $\ell \neq 0$, et $\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {\ell }{a_{0}}}.$

Exemples

• En remarquant que $2\cos a={\frac {\sin 2a}{\sin a}}$, on a :

  $2^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )=\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin(2^{k+1}\alpha )}{\sin(2^{k}\alpha )}}={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin \alpha }}$ (généralisation de la loi de Morrie), ce qui équivaut à $\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {a}{2^{k}}}={\frac {\sin a}{2^{n}\sin {\frac {a}{2^{n}}}}}$ et donne $\prod _{k=1}^{\infty }\cos {\frac {a}{2^{k}}}={\frac {\sin a}{a}}$ ;

• $\prod _{n=2}^{N}\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)=\prod _{n=2}^{N}{\frac {\frac {n+1}{n}}{\frac {n}{n-1}}}={\frac {\frac {N+1}{N}}{2}}$, d'où $\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)={1 \over 2}$ ;
• $\prod _{n=2}^{N}{\frac {n^{3}-1}{n^{3}+1}}=\prod _{n=2}^{N}{\frac {\frac {n^{2}+n+1}{n^{2}+n}}{\frac {n^{2}-n+1}{n^{2}-n}}}={\frac {\frac {N^{2}+N+1}{N^{2}+N}}{3/2}}$, d'où $\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {n^{3}-1}{n^{3}+1}}={2 \over 3}$.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Telescoping series » (voir la liste des auteurs).

(en) Eric W. Weisstein, « Telescoping Sum », sur MathWorld