Relation d'Euler dans le quadrilatère

La relation d'Euler dans le quadrilatère, découverte par Leonhard Euler en 1748^[1], est une relation entre les longueurs des côtés d'un quadrilatère et celles de ses diagonales. C'est une généralisation de l'égalité du parallélogramme.

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}$

Énoncé et application

Dans un quadrilatère plan $ABCD$ de côtés de longueurs $AB=a,BC=b,CD=c,DA=d$ , de diagonales de longueurs $AC=e$ et $BD=f$ , $g=MN$ étant la distance entre les milieux des deux diagonales, la relation d'Euler s'écrit :

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}

On peut démontrer cette relation en utilisant la relation d'Al Kashi dans des triangles formés par les côtés et les diagonales de parallélogrammes auxiliaires^[2].

Le quadrilatère étant un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu, autrement dit si et seulement si $g=0$ , on obtient le fait qu'un quadrilatère convexe est un parallélogramme si et seulement si la somme des carrés des longueurs de ses côtés est égale à la somme des carrés des longueurs de ses diagonales, ce qui généralise la règle du parallélogramme.

Généralisation, démonstration vectorielle et application au parallélépipède

La relation ci-dessus est en fait valable pour tout quadruplet $(A,B,C,D)$ de points d'un espace affine euclidien, donc éventuellement non coplanaires, en l'écrivant sous la forme :

AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4MN^{2}

où $M{\text{ et }}N$ sont les milieux de $[AC]$ et $[BD]$ .

Si l'on pose $x={\overrightarrow {AB}},y={\overrightarrow {BC}},z={\overrightarrow {CD}}$ , alors ${\overrightarrow {AD}}=x+y+z$ et $2{\overrightarrow {MN}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OD}}-({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OC}})={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CD}}=x+z$ ; la relation d'Euler s'écrit donc :

x^{2}+y^{2}+y^{2}+(x+y+z)^{2}=(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}

ce qui se montre facilement en développant ces carrés scalaires.

Ceci montre que pour le parallélépipède construit sur les vecteurs $x,y,z$ , la somme des carrés des longueurs des 12 arêtes ( $=4(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ ) est égale à la somme des carrés des longueurs des 12 diagonales de faces ( $=4((x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2})$ diminuée de la somme des carrés des longueurs des 4 grandes diagonales ( $=4(x+y+z)^{2}$ ).

Caractérisation des normes euclidiennes

La relation d'Euler s'écrit donc pour trois vecteurs $x,y,z$ d'un espace vectoriel euclidien :

$\lVert x\rVert ^{2}+\lVert y\rVert ^{2}+\lVert z\rVert ^{2}+\lVert x+y+z\rVert ^{2}=\lVert x+y\rVert ^{2}+\lVert y+z\rVert ^{2}+\lVert z+x\rVert ^{2}$ .

Maurice Fréchet a démontré que cette relation caractérise les normes euclidiennes (i.e. qui proviennent d'un produit scalaire)^[3]^,^[4].

Notes et références

↑ (la) Leonhard Euler, Opera omnia, série 1, 26, p. 29-32
↑ (en) Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy, The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons, MAA, 2006 (lire en ligne), p. 139
↑ (en) Dan-Ştefan Marinescu, Constantin P. Niculescu, « A survey of the Hornich-Hlawka inequality », arXiv,‎ juillet 2024 (lire en ligne)
↑ Maurice Fréchet, « Sur La Définition Axiomatique D'Une Classe D'Espaces Vectoriels Distanciés Applicables Vectoriellement Sur L'Espace de Hilbert », Annals of Mathematics, vol. 36, n^o 3,‎ jul. 1935, p. 705-718 (lire en ligne )