Ordre normal (fonction arithmétique)

Dans la théorie des nombres, l´ordre normal d'une fonction arithmétique est une fonction plus simple ou mieux comprise que la première qui prend "habituellement" les mêmes valeurs ou des valeurs approximatives.

Soit f une fonction définie sur les nombres naturels. On dit que g est un ordre normal de f si pour tout ${\textstyle \varepsilon >0}$, les inégalités

$$(1-\varepsilon )g(n)\leq f(n)\leq (1+\varepsilon )g(n)$$

sont vraies pour presque tout n, c'est-à-dire, que la proportion de n ≤ x, pour lesquelles ces inégalités sont fausses, tend vers 0 quand x tend vers l'infini.

Il est classique de supposer que la fonction d'approximation g est continue et monotone.

Exemples

• Le théorème de Hardy-Ramanujan : l'ordre normal de ${\textstyle \omega (n)}$, le nombre de facteurs premiers distincts de n, est ${\textstyle \ln(\ln \,n)}$;
• L'ordre normal de ${\textstyle \Omega (n)}$, le nombre de facteurs premiers de n comptés avec la multiplicité, est également ${\textstyle \ln(\ln \,n)}$;
• L'ordre normal de ${\textstyle \ln(d(n))}$, où ${\textstyle d(n)}$ est le nombre de diviseurs de n, est égal à $(\ln \,2)\cdot \ln(\ln \,n)$.

Voir également

• Ordre moyen d'une fonction arithmétique
• Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs
• Ordres extrêmes d'une fonction arithmétique

Références

• G.H. Hardy et S. Ramanujan, « The normal number of prime factors of a number n », Quart. J. Math., vol. 48,‎ 1917, p. 76–92 (JFM 46.0262.03, lire en ligne)
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. (ISBN 978-0-19-921986-5). MR 2445243. Zbl 1159.11001.. p. 473
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004), Handbook of number theory II, Dordrecht: Kluwer Academic, p. 332, (ISBN 1-4020-2546-7), Zbl 1079.11001
• Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Dunod (2022) (ISBN 978-2100829835).