Multifonction convexe

En mathématiques, une multifonction convexe est une multifonction entre espaces vectoriels réels dont le graphe est convexe.

Définition

Soient $X$ et $Y$ deux espaces vectoriels réels. On dit qu'une multifonction $F:X\multimap Y$ est une multifonction convexe si son graphe ${\mathcal {G}}(F):=\{(x,y)\in X\times Y:y\in F(x)\}$ est convexe dans l'espace vectoriel produit $X\times Y.$ Il revient au même de dire que, pour tout $(x_{0},x_{1})\in X^{2}$ et tout $t\in [0,1]$, on a

$F{\bigl (}(1-t)x_{0}+tx_{1}{\bigr )}\supset (1-t)F(x_{0})+tF(x_{1}).$

Quelques remarques

• Une multifonction convexe univoque est une fonction affine.
• Si $f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ est une fonction convexe, $f$ n'est en général pas une multifonction convexe, mais la multifonction $x\mapsto {[f(x),+\infty [}\subset \mathbb {R}$ est convexe (son graphe est l'épigraphe de $f$).

Propriété immédiate

• Si $F:X\multimap Y$ est une multifonction convexe et si $C$ est convexe dans $X$, alors $F(C)$ est convexe dans $Y$ (car $F(C)$ est la projection sur $Y$ du convexe ${\mathcal {G}}(F)\cap (C\times Y)$ de $X\times Y$).

Annexe

Articles connexes

• Fonction convexe
• Fonction multivaluée
• Processus convexe

Bibliographie

• (en) J.F. Bonnans and A. Shapiro (2000). Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer Verlag, New York.