Image d'une application

On appelle image d'une application f (d'un ensemble A vers un ensemble B) l'image directe par f de l'ensemble de départ A. C'est donc le sous-ensemble de B contenant les images de tous les éléments de A, et uniquement ces images. On le note Im(f).

$f$ est une fonction de $X$ dans $Y$. L'ovale jaune dans $Y$ est l'image de $f$.

$\operatorname {Im} (f)=\{y\in B\mid \exists x\in A\quad f(x)=y\}=\{f(x)\mid x\in A\}=f(A)$.

Exemple : « L'image de la fonction sinus est le segment [–1, 1]. »

Une application est surjective si et seulement si son image coïncide avec son ensemble d'arrivée.

Une application est dite injective si tout élément de son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent par f.

Une application est dite bijective si elle est à la fois surjective et injective, ce qui signifie que chaque élément de l'ensemble d'arrivée a un antécédent et que celui-ci est unique.

On peut aussi parler d'image réciproque d'une fonction qui est définie par:

$\operatorname {Im} (f^{-1})=\{x\in A\mid f(x)\in B\}=f^{-1}(B)$

Notes et références

Articles connexes

• Image d'une application linéaire
• Lemme des noyaux
• Catégorie abélienne
• Limite projective
• Noyau (algèbre)
• Image d'une fonction multivaluée (autrement dit : d'une relation binaire)