Hiérarchie de Borel
La hiérarchie de Borel désigne une description de la tribu des boréliens d'un espace topologique X comme une réunion croissante d'ensembles de parties de X, indexée par le premier ordinal non dénombrable.
Notations préliminaires
modifierSoit un ensemble de parties d'un ensemble X. On note :
- l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de :
- l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de :
Les lettres grecques σ et δ représentent respectivement les mots allemands désignant la réunion (Summe) et l'intersection (Durchschnitt)[1].
On note par ailleurs ω1 le premier ordinal non dénombrable, c'est-à-dire l'ensemble des ordinaux dénombrables.
Définition de la hiérarchie de Borel
modifierSoient X un espace topologique métrisable, G l'ensemble de ses ouverts et F l'ensemble de ses fermés (F est l'initiale de « fermé », et G celle de « Gebiet » : « domaine (en) » en allemand)[1].
On initialise une induction transfinie sur l'ordinal α ∈ ω1 en notant :
Puis, on définit alors par induction transfinie deux familles d'ensembles :
Finalement pour chaque ordinal dénombrable α, on note :
Par exemple :
- Δ0
1 est l'ensemble des parties de X qui sont à la fois ouvertes et fermées ; - Σ0
2, également noté[2] Fσ, est l'ensemble des unions dénombrables de fermés ; - Π0
2, également noté[2] Gδ, est l'ensemble des intersections dénombrables d'ouverts[3] ; - Σ0
3, également noté Gδσ, est l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de Π0
2 = Gδ ; - Π0
3, également noté Fσδ, est l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de Σ0
2 = Fσ.
Les ensembles Σ0
α, Π0
α et Δ0
α sont respectivement appelés classes additives, multiplicatives et ambiguës. La famille ordonnée par inclusion formée par la totalité de ces classes (pour α ∈ ω1) est appelée la hiérarchie de Borel.
Propriétés élémentaires
modifier- Les classes additives sont closes par unions dénombrables, et les classes multiplicatives sont closes par intersections dénombrables.
- Pour chaque ordinal dénombrable α, les éléments de Σ0
α sont les complémentaires des éléments de Π0
α. - Pour tout ordinal dénombrable α, Δ0
α est une algèbre d'ensembles. - Les classes de la hiérarchie de Borel sont emboitées les unes dans les autres comme indiqué sur le schéma ci-dessous, les flèches symbolisant l'inclusion :
- Dans X (espace métrisable), tout fermé est un Gδ (et, trivialement, un Fσ).
- Dans ℝ, ℚ est un Fσ (comme toute partie dénombrable d'un espace T1) donc ℝ\ℚ est un Gδ.
- Dans ℝ, ℚ n'est pas un Gδ. En effet, sinon — puisque ℚ et ℝ\ℚ sont denses — l'ensemble vide serait comaigre, ce qui contredirait le théorème de Baire.
Exhaustion de la tribu borélienne
modifierSi l'on note la tribu borélienne sur X, on peut montrer que :
Classes de Borel de fonctions
modifierUne fonction f : X → Y (avec X et Y métrisables) est dite Borel-mesurable de classe α si pour tout ouvert U de Y, f−1(U) appartient à la classe additive Σ0
α+1 de X ou encore : pour tout fermé F de Y, f−1(F) appartient à la classe multiplicative Π0
α+1.
Les fonctions de classe de Borel 0 sont donc les fonctions continues, tout comme les fonctions de classe de Baire 0.
Toute fonction de classe de Baire 1 est de classe de Borel 1, autrement dit : pour toute fonction f : X → Y limite simple d'une suite de fonctions continues et tout ouvert U de Y, f−1(U) est un Fσ.
On démontre exactement de la même façon[4],[5] que plus généralement, toute limite simple d'une suite de fonctions de classe de Borel α est de classe de Borel α + 1.
On en déduit facilement que toute fonction de classe de Baire α est de classe de Borel α si l'ordinal α est fini, et α + 1 s'il est infini (en écrivant α = λ + n avec n entier et λ nul ou ordinal limite, et en raisonnant par récurrence et induction)[6].
La réciproque est fausse en général[7], mais vraie si Y = [0, 1]κ avec κ fini ou dénombrable : c'est le théorème de Lebesgue-Hausdorff[6],[8].
Notes et références
modifier- Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Classe de Baire » (voir la liste des auteurs).
- (en) S. M. Srivastava, A Course on Borel Sets, Springer, (1re éd. 1998) (lire en ligne), p. 115-117
- Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], 1978, p. 12.
- Cette terminologie est due à Felix Hausdorff : cf. Rudin 1978, p. 12.
- Une propriété satisfaite par tous les éléments d'un Gδ dense est dite générique. Il arrive qu'on qualifie de « génériques » les éléments de l'ensemble eux-mêmes.
- Casimir Kuratowski, Topologie, vol. 1, Varsovie, PAN, , 4e éd. (1re éd. 1933), p. 293 (§ 27, VIII).
- (en) Gustave Choquet, Lectures on Analysis, vol. 1, W. A. Benjamin, , p. 135-136.
- Kuratowski 1958, p. 299-300.
- Par exemple pour X = [0, 1] et Y = {0, 1}, la fonction caractéristique de {1} est de classe 1 au sens de Borel (le singleton et son complémentaire sont des Fσ) mais pas au sens de Baire.
- (en) R. W. Hansell, « On Borel mappings and Baire functions », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 194, , p. 195-211 (lire en ligne).