Le formalisme complexe est un outil mathématique représentant certaines grandeurs physiques, sinusoïdales par rapport au temps, sous forme de nombres complexes. Il permet de simplifier les calculs, et est utilisé, par exemple, dans le cas du régime sinusoïdal de tension électrique .
Soit une grandeur physique
x
{\displaystyle x\,}
x
(
t
)
=
X
0
c
o
s
(
ω
t
+
φ
)
{\displaystyle x(t)=X_{0}\,cos(\omega t+\varphi )}
x
{\displaystyle x\,}
X
0
{\displaystyle X_{0}\,}
x
{\displaystyle x\,}
φ
{\displaystyle \varphi }
x
{\displaystyle x\,}
A
x
{\displaystyle x\,}
valeur complexe notée
X
¯
{\displaystyle {\bar {X}}}
X
¯
=
X
0
e
ȷ
(
ω
t
+
φ
)
{\displaystyle {\bar {X}}=X_{0}\,e^{\jmath \,(\omega t+\varphi )}}
Donc
X
¯
=
X
0
e
ȷ
ω
t
e
ȷ
φ
{\displaystyle {\bar {X}}=X_{0}\,e^{\jmath \omega t}\,e^{\jmath \varphi }}
On pose
X
0
¯
=
X
0
e
ȷ
φ
{\displaystyle {\bar {X_{0}}}=X_{0}\,e^{\jmath \varphi }}
|
X
0
¯
|
=
X
0
{\displaystyle |{\bar {X_{0}}}|=X_{0}\,}
x
{\displaystyle x\,}
a
r
g
(
X
0
¯
)
=
φ
{\displaystyle arg({\bar {X_{0}}})=\varphi }
x
{\displaystyle x\,}
Lorsque l'on dérive la grandeur
x
{\displaystyle x\,}
x
′
(
t
)
=
−
X
0
ω
s
i
n
(
ω
t
+
φ
)
=
X
0
ω
c
o
s
(
ω
t
+
φ
+
π
2
)
{\displaystyle x^{\prime }\,(t)=-X_{0}\,\omega \,sin(\omega t+\varphi )=X_{0}\,\omega \,cos(\omega t+\varphi +{\frac {\pi }{2}})}
A
x
′
{\displaystyle x^{\prime }\,}
X
′
¯
{\displaystyle {\bar {X^{\prime }}}}
X
′
¯
=
X
0
ω
e
ȷ
(
ω
t
+
φ
)
e
ȷ
π
2
=
ȷ
ω
X
¯
{\displaystyle {\bar {X^{\prime }}}=X_{0}\,\omega \,e^{\jmath (\omega t+\varphi )}\,e^{\jmath {\frac {\pi }{2}}}=\jmath \omega \,{\bar {X}}}
e
ȷ
π
2
=
ȷ
{\displaystyle e^{\jmath {\frac {\pi }{2}}}=\jmath }
X
0
e
j
(
ω
t
+
φ
)
=
X
¯
{\displaystyle X_{0}\,e^{j(\omega t+\varphi )}={\bar {X}}}
Dériver une grandeur
x
{\displaystyle x\,}
X
¯
{\displaystyle {\bar {X}}}
ȷ
ω
{\displaystyle \jmath \omega \,}
On montre de la même manière qu'intégrer une grandeur
x
{\displaystyle x\,}
ȷ
ω
{\displaystyle \jmath \omega }
