et converge lorsque Re(s1) + . . . + Re(si) > i pour tout i–1 < k. Comme la fonction zêta de Riemann, les fonctions zêta multiples peuvent être prolongée analytiquement en des fonctions méromorphes (voir, par exemple, Zhao (1999)). Lorsque s1..., sk sont des entiers positifs (avec s1 > 1) ces sommes sont souvent appelées valeurs zêta multiples (VZM) ou sommes d'Euler[1].
Dans la définition ci-dessus, k est nommé la « profondeur » d'une VZM, et n = s1 + ... + sk est le « poids »[2].
Les fonctions zêta multiples apparaissent comme des cas particuliers des fonctions polylogarithmes multiples
qui sont des généralisations des fonctions polylogarithmes. Quand les sont les nièmesracines de l'unité et les sont tous des entiers positifs, les valeurs du polylogarithme multiple sont appelées valeurs zêta multiples colorées de niveau n.
Pour n=2, les sommes d'Euler s'écrivent
où . Parfois, il est indiqué une barre sur correspondant à un égal à , donc par exemple .
Il a été remarqué par Kontsevich qu'il est possible d'exprimer une valeur zêta multiple colorée comme certaines intégrales multivariables. Ce résultat est souvent énoncé avec l'utilisation d'une convention pour les intégrales itérées, laquelle est:
En utilisant cette convention, le résultat peut être énoncé comme suit[3] :
où pour .
Ce résultat est très utile en raison d'un résultat bien connu concernant les produits d'intégrales itérées, à savoir que
où
et est le groupe de permutation sur symboles.
Pour l'utiliser dans le contexte de plusieurs valeurs zêta, soit , le monoïdelibre engendré par et le -espace vectoriel libre engendré par . peut être muni du produit de mélange, donnant une algèbre. Alors la fonction zêta multiple peut être considérée comme une fonction d'évaluation, où nous identifions , , par pour tout ,.
Alors, l'identité intégrale sur les produits donne[3]
Les fonctions zêta multiples sont connues pour satisfaire ce que l'on appelle la dualité VZM, dont le cas le plus simple est la fameuse identité d'Euler :
Soit , et étant donné une partition de l'ensemble , posons . Enfin, étant donné un tel et un k-uplet , on définit .
Les relations entre les et sont données par: et
Théorème (Hoffman) — Pour tout réel .
Démonstration
Supposons, sans perte de généralités, que le soient tous distincts. Le membre de gauche peut s'écrire . Le groupe de symétrie agit sur le sur le k-uplet d'entiers positifs.
Soit l'ensemble des classes d'équivalence de la relation donnée par ssi . Alors le stabilisateur de (n) est. Le terme apparait dans la somme exactement fois.
Dans le terme de droite, ce dernier apparait autant qu'il y a de partition plus fine que . Par conséquent, l'égalité du théorème suivra si pour tout k-tuple et partition associée : . Mais compte le nombre de permutations de type cyclique donné par , et tout élément de a un unique type cyclique donné par une partition plus fine que [6].
Pour énoncer l'analogue du théorème 1 pour , on définit la quantité suivante : pour ou , soit .
Théorème (Hoffman) — Pour tout réel , .
Démonstration
Nous suivons le même raisonnement que dans la démonstration précédente. Le côté gauche est maintenant , et un terme apparait à gauche si et seulement si tous les sont distincts. Ainsi, il suffit de montrer (1)
Pour le prouver, remarquons d'abord que le signe de est positif si les permutations de type cyclique sont paires, et négatif si elles sont impaires : ainsi, le membre de gauche de (1) est la somme signée du nombre de permutations paires et impaires dans le stabilisateur de (n). Mais un tel groupe a un nombre égal de permutations paires et impaires à moins qu'il ne soit trivial, c'est-à-dire à moins que la partition associée soit [6].
Conjecture de la somme (Hoffman[6]) — Pour tous entiers positifs k et n, , où la somme est étendue sur des k-uplets d'entiers positifs avec .
Trois remarques concernant cette conjecture s'imposent.
Premièrement, cela implique .
Deuxièmement, dans le cas , cela s'écrit, ou encore
Cela a été prouvé par Euler[8] et a été redécouvert plusieurs fois, notamment par Williams[9].
Enfin, C. Moen[10] a prouvé la conjecture dans le cas k=3 par des arguments longs mais élémentaires.
Pour la conjecture de la dualité, nous définissons d'abord une involution sur l'ensemble des suites finies d'entiers positifs dont le premier élément est supérieur à 1. Soit l'ensemble des suites finies strictement croissantes d'entiers positifs, et soit la fonction qui envoie une suite de à la suite de ses sommes partielles.
On dira que les suites et sont duales l'une de l'autre[6].
Conjecture de la somme (Hoffman) — Si est dual de , alors .
Cette conjecture peut être exprimée comme suit : la valeur zêta de Riemann d'un entier n ≥ 2 est égal à la somme de toutes les VZMs des partitions de profondeur k et de poids n, avec 1 ≤ k≤n − 1. Dans la formule[2] :
Par exemple avec une profondeur k = 2 et un poids n = 7 :
↑(en) Zhao, « Standard relations of multiple polylogarithm values at roots of unity », Documenta Mathematica, vol. 15, , p. 1–34 (arXiv0707.1459)
↑ a et b(en) Hoffman, « Multiple Zeta Values », Mike Hoffman's Home Page, U.S. Naval Academy (consulté le )
↑ a et b(en) Jianqiang Zhao, Multiple Zeta Functions, Multiple Polylogarithms and Their Special Values, vol. 12, World Scientific Publishing, coll. « Series on Number Theory and its Applications », (ISBN978-981-4689-39-7, DOI10.1142/9634)
↑ a et b(en) Borwein, Borwein et Bradley, « Parametric Euler Sum Identities », CARMA, AMSI Honours Course, The University of Newcastle, (consulté le )
↑(en) Ramachandra Rao et M. V. Subbarao, « Transformation formulae for multiple series », Pacific Journal of Mathematics, vol. 113, no 2, , p. 417–479 (DOI10.2140/pjm.1984.113.471)
↑(la) Euler, « Meditationes circa singulare serierum genus », Novi Comm. Acad. Sci. Petropol, vol. 15, no 20, , p. 140–186
↑Williams, « On the evaluation of some multiple series », Journal of the London Mathematical Society, vol. 33, no 3, , p. 368–371 (DOI10.1112/jlms/s1-33.3.368)
Certaines informations figurant dans cet article ou cette section devraient être mieux reliées aux sources mentionnées dans les sections « Bibliographie », « Sources » ou « Liens externes » ().
(en) Jonathan M. Borwein et Roland Girgensohn, « Evaluation of Triple Euler Sums », Electron. J. Comb., vol. 3, no 1, , #R23 (DOI10.37236/1247, MR1401442, lire en ligne)
(en) Jianqiang Zhao, « Analytic continuation of multiple zeta functions », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 128, no 5, , p. 1275–1283 (DOI10.1090/S0002-9939-99-05398-8, MR1670846)
(en) Kohji Matsumoto, Proceedings of the Session in Analytic Number Theory and Diophantine Equations, vol. 360, Bonn, Univ. Bonn, coll. « Bonner Math. Schriften », (MR2075634), « On Mordell–Tornheim and other multiple zeta-functions »
(en) Jianqiang Zhao, Multiple Zeta Functions, Multiple Polylogarithms and Their Special Values, vol. 12, World Scientific Publishing, coll. « Series on Number Theory and its Applications », (ISBN978-981-4689-39-7, DOI10.1142/9634)