Fonction xi de Riemann

En mathématiques, la fonction xi de Riemann est une variante de la fonction zêta de Riemann et est définie de manière à avoir une équation fonctionnelle particulièrement simple. La fonction est nommée en l'honneur de Bernhard Riemann.

La fonction xi de Riemann dans le plan complexe La couleur d'un point code la valeur de  : des couleurs sombres dénotent des valeurs proches de zéro et la nuance indique l'argument de la valeur.

Définition et propriétés

modifier

La fonction désignée de nos jours comme la fonction ξ (prononcée "xi") de Riemann est définie pour tout   par

 ζ(s) désigne la fonction zêta de Riemann et Γ(s) est la fonction Gamma. Cette notation est due à Edmund Landau. La fonction que Riemann notait ξ a été rebaptisée Ξ par Landau[1] et satisfait  

L'équation fonctionnelle de ξ est donnée par

 

provenant de l'équation fonctionnelle de ζ. Celle de Ξ est donnée par

 


De nombreuses propriétés de ξ découlent de celles de ζ : par exemple, ξ est holomorphe dans tout le plan complexe (et on a ξ(0) = ξ(1) = 1/2). De plus, tous ses zéros sont dans la bande critique   et dans cette dernière, ξ possède les mêmes zéros que ζ [2].

Valeurs

modifier

La forme générale des valeurs aux entiers pairs positifs est donnée par

 

  désigne le n-ième nombre de Bernoulli. Par exemple, on a  .


Représentations en série

modifier

La fonction possède le développement en série

 

 

où la somme s'étend sur  , les zéros non triviaux de la fonction zêta, dans l'ordre de la valeur absolue de sa partie imaginaire.

Cette expansion joue un rôle particulièrement important dans le critère de Li, qui stipule que l'hypothèse de Riemann équivaut à avoir   pour tout n positif.

Formule de Riemann-van Mangoldt

modifier

En notant   un zéro quelconque de  , on pose

 

La formule de Riemann-von Mangoldt établit alors une formule asymptotique pour cette fonction lorsque  

 

En particulier, cela implique que   possède une infinité de zéros non triviaux[2].

Produit de Hadamard

modifier

Le développement de Hadamard relatif aux zéros de   est donné par[2]

 

  (  étant la constante d'Euler-Mascheroni). On en déduit alors le développement pour  

 

  (avec la même définition pour  ).

Références

modifier
  1. (de) Edmund Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Berlin, Teubner, , p. 70-71, 894.
  2. a b et c Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, (ISBN 978-2-7011-9656-5 et 2-7011-9656-6, OCLC 933777932, lire en ligne), pp. 241-245

Voir aussi

modifier