Fonction totient de Jordan
En théorie des nombres, la k-ième fonction totient de Jordan Jk — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout entier n > 0 associe le nombre de k-uplets d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un (k + 1)-uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction φ d'Euler, qui est J1.
Calcul
modifierLa fonction Jk est multiplicative et vaut
où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers p de n.
On peut définir plus généralement Jk pour tout réel k non nul et même pour « presque » tout complexe k, par la même formule[1].
Propriétés
modifierLa formule
se réécrit[2] en termes de la convolution de Dirichlet, de la fonction constante 1(n) = 1 et de la fonction puissance Idk(n) = nk
ou encore, par inversion de Möbius
ce qui justifie le qualificatif de « totient » pour Jk.
Une fonction est dite totient si elle est, pour la convolution de Dirichlet, le produit d'une fonction complètement multiplicative et de l'inverse d'une fonction complètement multiplicative[3] — or Idk et l'inverse 1 de μ sont complètement multiplicatives.
Cela permet par ailleurs d'étendre la définition de Jk à tout nombre complexe k : par exemple J0 = δ1[réf. souhaitée].
Fonction totient et séries de Dirichlet
modifierComme la série de Dirichlet génératrice de la fonction de Möbius μ est 1/ζ(s) et celle de Idk est ζ(s – k), on en déduit celle de Jk :
Un ordre moyen de Jk(n) est
La fonction psi de Dedekind (en) est
Ses généralisations, les fonctions multiplicatives Jk/J1 et J2k/Jk, sont encore à valeurs dans ℕ* car elles coïncident, sur les puissances de nombres premiers, avec des produits de polynômes cyclotomiques.
Formule de Gegenbauer[4] :
Ordres de groupes de matrices
modifierL'ordre du groupe linéaire GL(m, ℤ/nℤ) est[5]
Celui du groupe spécial linéaire SL(m, ℤ/nℤ) est
Celui du groupe symplectique Sp(2m, ℤ/nℤ) est
Les deux premières formules ont été découvertes par Jordan.
Exemples
modifierL'OEIS donne des listes explicites pour J2 ( A007434), J3 ( A059376), J4 ( A059377), J5 ( A059378) et J6 à J10 ( A069091 à A069095).
Des quotients par J1 sont J2/J1 ( A001615), J3/J1 ( A160889), J4/J1 ( A160891), J5/J1 ( A160893), J6/J1 ( A160895), J7/J1 ( A160897), J8/J1 ( A160908), J9/J1 ( A160953), J10/J1 ( A160957) et J11/J1 ( A160960).
Des exemples de quotients J2k/Jk sont J4/J2 ( A065958), J6/J3 ( A065959) et J8/J4 ( A065960).
Notes et références
modifier- Voir Somme de Ramanujan, § φ(n) (sous réserve que k ne soit ni nul, ni de la forme i2πm/logp pour un entier non nul m et un nombre premier p, qui sont alors uniques).
- (en) Jozsef Sándor et Borislav Crstici, Handbook of number theory II, Kluwer Academic, , 637 p. (ISBN 978-1-4020-2546-4, lire en ligne), p. 106.
- (en) Anthony A. Gioia, The Theory of Numbers : An Introduction, Dover, , 207 p. (ISBN 978-0-486-41449-2, lire en ligne), p. 29
- (en) Matthew Holden, Michael Orrison et Michael Varble, « Yet another Generalization of Euler's Totient Function ».
- Toutes ces formules sont extraites de (en) Dorin Andrica et Mihai Piticari, « On some Extensions of Jordan's arithmetical Functions », Acta Universitatis Apulensis, vol. 7, (lire en ligne).
- (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. I, 1971, Chelsea Publishing (ISBN 978-0-8284-0086-2), p. 147
- (en) M. Ram Murty, Problems in Analytic Number Theory, Springer, coll. « GTM » (no 206), , 452 p. (ISBN 978-0-387-95143-0, lire en ligne), p. 11
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jordan's totient function » (voir la liste des auteurs).