Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs
En mathématiques, la fonction "somme des puissances k-ièmes des diviseurs", notée , est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des puissances -ièmes des diviseurs positifs de n, où est un nombre complexe quelconque [1]:
Propriétés
modifier- La fonction est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers m et n premiers entre eux, . En effet, est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance -ième et la fonction constante 1.
- Si p est un nombre premier alors est une somme partielle de série géométrique :
- L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer σk(n) connaissant la décomposition en facteurs premiers de n :
- On peut aussi calculer σk(pq) par les polynômes de Tchebychev : soient Uq le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré q, et Xq sa renormalisation, définie par Xq(T) = Uq(T/2). Alors[2] :
- Par multiplicativité, on déduit du point précédent[2] :
[1] (où (m, n) désigne le pgcd de m et n) puis, par inversion de Möbius :. - On a l'identité permettant d'évaluer l'ordre moyen de : [1]
- La série de Dirichlet associée à s'exprime à l'aide de la fonction ζ de Riemann :
Cas où k est un entier naturel
modifierFonction nombre de diviseurs
modifierLa fonction[3] (« nombre de diviseurs »), également notée[4] d, est aussi appelée fonction tau[5],[1] (de l'allemand Teiler : diviseur) et notée τ. Elle compte le nombre de diviseurs positifs de n :
La suite est répertoriée comme suite A000005 de l'OEIS.
Fonction somme des diviseurs
modifierLa fonction sigma est parfois notée σ. On a
Par exemple, si n = pq pour deux nombres premiers distincts p et q, alors
où φ est l'indicatrice d'Euler.
La somme des diviseurs stricts de n est L'entier n est dit parfait si s(n) = n, déficient si s(n) < n et abondant si s(n) > n.
La suite est répertoriée comme suite A000203 de l'OEIS.
Autres valeurs de k
modifierNotes et références
modifier- Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, page 26.
- Emmanuel Royer. Un cours « Africain » sur les formes modulaires.
- « d(n) (also called tau(n) or sigma_0(n)), the number of divisors of n », suite A000005 de l'OEIS.
- G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres ; William John Ellison et Michel Mendès France, Les Nombres premiers, [détail de l’édition].
- Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909.
Voir aussi
modifierArticles connexes
modifier- Constante d'Erdős-Borwein
- Constante d'Euler-Mascheroni
- Ordre moyen d'une fonction arithmétique
- Série de Lambert
Bibliographie
modifierJ. Liouville, « Généralisation d'une formule concernant la somme des puissances des diviseurs d'un nombre », J. Math. Pures Appl., 2e série, vol. 3, , p. 63-68 (lire en ligne)
Lien externe
modifier(en) Eric W. Weisstein, « Divisor Function », sur MathWorld