Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs

En mathématiques, la fonction "somme des puissances k-ièmes des diviseurs", notée , est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des puissances -ièmes des diviseurs positifs de n, où est un nombre complexe quelconque [1]:

Propriétés

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  • La fonction   est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers m et n premiers entre eux,  . En effet,   est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance  -ième et la fonction constante 1.
  • Si p est un nombre premier alors  est une somme partielle de série géométrique :
     
    (La condition pk = 1 équivaut à k ∈ i(2π/logp)ℤ, ce qui est vrai pour tous les p si k est nul et pour au plus un sinon.) En particulier,   n'est pas complètement multiplicative.
  • L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer σk(n) connaissant la décomposition en facteurs premiers de n :
     
  • On peut aussi calculer σk(pq) par les polynômes de Tchebychev : soient Uq le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré q, et Xq sa renormalisation, définie par Xq(T) = Uq(T/2). Alors[2] :
     
  • Par multiplicativité, on déduit du point précédent[2] :
    [1] 
    (où (m, n) désigne le pgcd de m et n) puis, par inversion de Möbius :
     .
  • On a l'identité permettant d'évaluer l'ordre moyen de   :  [1]
  • La série de Dirichlet associée à   s'exprime à l'aide de la fonction ζ de Riemann :
     
    et l'on a la relation :
     

Cas où k est un entier naturel

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Fonction nombre de diviseurs

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La fonction[3]   (« nombre de diviseurs »), également notée[4] d, est aussi appelée fonction tau[5],[1] (de l'allemand Teiler : diviseur) et notée τ. Elle compte le nombre de diviseurs positifs de n :

 

La suite   est répertoriée comme suite A000005 de l'OEIS.

Fonction somme des diviseurs

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La fonction sigma   est parfois notée σ. On a

 

Par exemple, si n = pq pour deux nombres premiers distincts p et q, alors

  où φ est l'indicatrice d'Euler.

La somme des diviseurs stricts de n est   L'entier n est dit parfait si s(n) = n, déficient si s(n) < n et abondant si s(n) > n.

La suite   est répertoriée comme suite A000203 de l'OEIS.

Autres valeurs de k

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La suite   est répertoriée comme suite A001157 de l'OEIS.

La suite   est répertoriée comme suite A001158 de l'OEIS.

Notes et références

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  1. a b c et d Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, page 26.
  2. a et b Emmanuel Royer. Un cours « Africain » sur les formes modulaires.
  3. « d(n) (also called tau(n) or sigma_0(n)), the number of divisors of n », suite A000005 de l'OEIS.
  4. G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres ; William John Ellison et Michel Mendès France, Les Nombres premiers, [détail de l’édition].
  5. Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909.

Voir aussi

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Articles connexes

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Bibliographie

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J. Liouville, « Généralisation d'une formule concernant la somme des puissances des diviseurs d'un nombre », J. Math. Pures Appl., 2e série, vol. 3,‎ , p. 63-68 (lire en ligne)

Lien externe

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(en) Eric W. Weisstein, « Divisor Function », sur MathWorld