Fonction de Liouville

La fonction de Liouville, notée λ et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, définie par[1]

où Ω (n) désigne le nombre de facteurs premiers comptés avec multiplicité de l'entier n > 0 :

Par exemple 12 = 2² × 3, d'où Ω (12) = 3).

Propriétés

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  est une fonction thêta de Jacobi.

Conjectures

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Conjecture de Pólya

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On note  . Pólya avait conjecturé en 1919[2] que  ,ce qui fut réfuté en 1958 par Colin Brian Haselgrove[3]. Minoru Tanaka trouva en 1980 le plus petit contre-exemple n[4],[2] : L (906 150 257) = 1. On a même L(n) > 0,061867 n pour une infinité d'entiers n[4]. On ignore si le nombre de changements de signes de L est fini[2], et pour cause : l'hypothèse de Riemann et la simplicité de tous les zéros de la fonction zêta de Riemann en résulteraient[4].

Autre conjecture (parfois attribuée à tort à Pál Turán) : si l'on définit  , alors il semblait plausible que M(n) ≥ 0 pour n suffisamment grand, ce qui a été aussi réfuté en 1958 par Haselgrove[3],[4]. Cette propriété, si elle avait été vraie, aurait entraîné, comme l'avait montré Pál Turán, la véracité de l'hypothèse de Riemann.

Conjecture de Chowla

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Une conjecture de Sarvadaman Chowla énonce que, pour   nombres entiers strictement positifs   tous distincts et   nombres entiers strictement positifs   avec   pour  , on a :

  quand  ,

  désigne le symbole de Landau.

La conjecture est vraie pour   puisque équivalente au théorème des nombres premiers ; elle est ouverte pour  .

En 2015, Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill et Terence Tao ont réalisé des progrès, en ce qui concerne une version moyenne de la conjecture[5]. En 2016, Terence Tao a démontré une version logarithmique de la conjecture dans le cas  [6]. Une conjecture similaire se formule de la même façon, en remplaçant la fonction de Liouville par la fonction de Möbius.

Notes et références

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(en)/(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Liouville function » (voir la liste des auteurs) et en allemand « Liouville-Funktion » (voir la liste des auteurs).
  1. Suite  A008836 de l'OEIS.
  2. a b et c (en) Eric W. Weisstein, « Pólya Conjecture », sur MathWorld.
  3. a et b (en) C. B. Haselgrove, « A disproof of a conjecture of Pólya », Mathematika, vol. 5,‎ , p. 141-145 (DOI 10.1112/S0025579300001480).
  4. a b c et d (en) Peter Borwein, Ron Ferguson et Michael J. Mossinghoff, « Sign Changes in Sums of the Liouville Function », Math. Comp., vol. 77, no 263,‎ , p. 1681-1694 (lire en ligne).
  5. (en) K. Matomäki, M. Radziwill et Terence Tao, « An averaged form of Chowla´s conjecture », Algebra & Number Theory, vol. 9,‎ , p. 2167-2196 (arXiv 1503.05121)
  6. (en) T. Tao, « The logarithmically averaged Chowla and Elliott Conjectures for two-point correlations », Forum of Mathematics, Pi, vol. 4,‎ (DOI 10.1017/fmp.2016.6), 36 pages.