Constantes de Stieltjes
En mathématiques, les constantes de Stieltjes (nommées d'après le mathématicien néerlandais Thomas Joannes Stieltjes) sont les nombres qui interviennent dans le développement en série de Laurent de la fonction zêta de Riemann :
On démontre que chaque γn est donné par une limite :
est la constante d'Euler-Mascheroni.
Propriétés
modifierEn utilisant la formule intégrale de Cauchy on trouve :
Et une comparaison série-intégrale montre que :
Cela dit, c'est un majorant d'une précision assez médiocre.
Matsuoka, en 1985[1], a montré que pour n > 4,
On sait aussi qu'il y a asymptotiquement la moitié de ces nombres qui sont positifs.
Valeurs jusqu'à 15
modifierVoici les quelques premières valeurs[2] :
Valeur | |
---|---|
0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 | |
−0,0728158454836767300000000000000 | |
−0,00969036319287232000000000000000 | |
0,00205383442030334600000000000000 | |
0,00232537006546730000000000000000 | |
0,000793323817301062700000000000000 | |
−0,000238769345430199600000000000000 | |
−0,000527289567057751000000000000000 | |
−0,000352123353803039500000000000000 | |
−0,0000343947744180880500000000000000 | |
0,000205332814909064800000000000000 | |
0,000270184439543903500000000000000 | |
0,000167272912105140200000000000000 | |
−0,0000274638066037601580000000000000 | |
−0,000209209262059299960000000000000 | |
−0,000283468655320241400000000000000 |
Constantes de Stieltjes généralisées
modifierPlus généralement, on définit les constantes γn(a) comme coefficients du développement en série de Laurent de la fonction zêta de Hurwitz :
Une formule dite de réflexion, souvent attribuée à Almkvist et Meurman (qui l'ont découverte dans les années 1990), avait en fait été obtenue par Carl Johan Malmsten dès 1846[3] : (m et n entiers positifs avec m<n).
Références
modifier- (en) Y. Matsuoka, « Generalized Euler Constants Associated with the Riemann Zeta Function », Number Theory and Combinatorics, World Scientific, , p. 279-295.
- Simon Plouffe, « Les constantes de Stieltjes, de 0 à 78, avec 256 décimales de précision ».
- (en) Iaroslav V. Blagouchine A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, pp. 537-592 and vol. 151, pp. 276-277, 2015. arXiv PDF
Voir aussi
modifierArticle connexe
modifierOpérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing
Lien externe
modifier(en) Eric W. Weisstein, « Stieltjes Constants », sur MathWorld