Conjectures de Hardy-Littlewood sur la fonction zêta

En mathématiques, les conjectures de Hardy-Littlewood sur la fonction zêta, d'après Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood, sont deux conjectures concernant la répartition et la densité des zéros de la fonction zêta de Riemann.

Conjectures

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En 1914, Godfrey Harold Hardy a prouvé[1] que la fonction zêta de Riemann   a une infinité de zéros réels.

Soit   le nombre de zéros réels inférieurs,   le nombre de zéros d'ordre impair de la fonction  , situés sur l'intervalle   .

Hardy et Littlewood ont avancé[2] deux conjectures.

  1. Pour tout  , il existe   tel que pour   et   l'intervalle   contient un zéro d'ordre impair de la fonction   .
  2. Pour tout  , il existe   et  , tels que pour   et   l'inégalité   est vérifiée.

Avancés

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En 1942, Atle Selberg étudia le problème 2 et prouva que pour tout   il existe   et  , tels que pour   et   ont ait l'inégalité  .

À son tour, Selberg fait une conjecture[3] selon laquelle il est possible de diminuer la valeur de l'exposant   pour  , ce qui a été prouvé 42 ans plus tard par A. Karatsuba[4].

Références

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  1. Hardy, « Sur les zeros de la fonction   », Compt. Rend. Acad. Sci., vol. 158,‎ , p. 1012–1014
  2. Hardy et Littlewood, « The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line », Math. Z., vol. 10, nos 3–4,‎ , p. 283–317 (DOI 10.1007/bf01211614, lire en ligne)
  3. Selberg, « On the zeros of Riemann's zeta-function », SHR. Norske Vid. Akad. Oslo, vol. 10,‎ , p. 1–59
  4. Karatsuba, « On the zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line », Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., vol. 48, no 3,‎ , p. 569–584