Conjectures de Hardy-Littlewood sur la fonction zêta
En mathématiques, les conjectures de Hardy-Littlewood sur la fonction zêta, d'après Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood, sont deux conjectures concernant la répartition et la densité des zéros de la fonction zêta de Riemann.
Conjectures
modifierEn 1914, Godfrey Harold Hardy a prouvé[1] que la fonction zêta de Riemann a une infinité de zéros réels.
Soit le nombre de zéros réels inférieurs, le nombre de zéros d'ordre impair de la fonction , situés sur l'intervalle .
Hardy et Littlewood ont avancé[2] deux conjectures.
- Pour tout , il existe tel que pour et l'intervalle contient un zéro d'ordre impair de la fonction .
- Pour tout , il existe et , tels que pour et l'inégalité est vérifiée.
Avancés
modifierEn 1942, Atle Selberg étudia le problème 2 et prouva que pour tout il existe et , tels que pour et ont ait l'inégalité .
À son tour, Selberg fait une conjecture[3] selon laquelle il est possible de diminuer la valeur de l'exposant pour , ce qui a été prouvé 42 ans plus tard par A. Karatsuba[4].
Références
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hardy–Littlewood zeta-function conjectures » (voir la liste des auteurs).
- Hardy, « Sur les zeros de la fonction », Compt. Rend. Acad. Sci., vol. 158, , p. 1012–1014
- Hardy et Littlewood, « The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line », Math. Z., vol. 10, nos 3–4, , p. 283–317 (DOI 10.1007/bf01211614, lire en ligne)
- Selberg, « On the zeros of Riemann's zeta-function », SHR. Norske Vid. Akad. Oslo, vol. 10, , p. 1–59
- Karatsuba, « On the zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line », Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., vol. 48, no 3, , p. 569–584