« Semi-norme » : différence entre les versions
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En [[mathématiques]], une '''semi-norme''' est une application d'un [[espace vectoriel]] dans l'ensemble des [[nombre réel|réels]] positifs. Elle dispose ''presque'' des propriétés lui conférant le statut de [[norme (mathématiques)|norme]]. Une propriété est manquante, la semi-norme d'un vecteur non nul n'est pas nécessairement non nulle.
En [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], cette situation est relativement courante. L'espace vectoriel est un espace de fonctions d'un ouvert d'un [[topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|espace vectoriel topologique de dimension finie]] à valeur dans les réels ou [[nombre complexe|complexes]]. La semi-norme correspond par exemple à l'[[Intégrale (mathématiques)|intégrale]] de la [[valeur absolue]] ou du [[module d'un nombre complexe|module]] de la fonction. Une fonction nulle sur l'ouvert sauf sur un [[ensemble négligeable]] est non nulle mais de semi-norme nulle.
La [[espace topologique|topologie]] induite par la semi-norme confère à l'espace le statut d'[[espace vectoriel topologique]]. Il possède néanmoins une faiblesse rendant malcommode son usage. l'espace n'est pas [[espace séparé|séparé]]. En vue de pallier cette difficulté, il est toujours possible de '''quotienter''' l'espace pour obtenir un nouvel ensemble équipé d'une structure d'[[espace vectoriel normé]]. En termes d'analyse fonctionnelle, ce quotient revient à travailler non plus sur des fonctions, mais sur des classes de fonctions, équivalentes donc identifiées si elles ne diffèrent que sur un ensemble négligeable.
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