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En [[mathématiques]], une '''semi-norme''' est une [[Application (mathématiques)|application]] d'un [[espace vectoriel]] dans l'ensemble des [[nombre réel|réels]] [[Nombre positif|positifs]]. ElleC'est dispose ''« presque'' des propriétés » lui conférant le statut deune [[norme (mathématiques)|norme]]. Unemais une propriété est manquante, : la semi-norme d'un vecteur non nul n'estpeut pas nécessairement nonêtre nulle.
En [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], cette situation est relativement courante. L'espace vectoriel est un espace de fonctions d'un ouvert d'un [[topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|espace vectoriel topologique de dimension finiemesuré]] à valeurvaleurs dans les réels ou [[nombre complexe|complexes]]. La semi-norme correspond par exemple à l'[[Intégrale (mathématiques)|intégrale]] de la [[valeur absolue]] ou du [[module d'un nombre complexe|module]] de la fonction. Une [[fonction nulle]] sur l'ouvertespace sauf sur un [[ensemble négligeable]] est non nulle mais de semi-norme nulle.
La [[espace topologique|topologie]] induite par la semi-norme confère à l'espace leune statutstructure d'[[espace vectoriel topologique]]., Il possède néanmoins une faiblesse rendant malcommode son usage. l'espace n'estnon pasnécessairement [[espace séparé|séparé]]. En vue[[Espace devectoriel pallierquotient|quotientant]] cettecet difficulté,espace ilpar estun toujours[[Sous-espace possiblevectoriel|sous-espace]] debien '''quotienter'''choisi, l'espaceon pour obtenirobtient un nouvel ensemble équipé d'une structure d'[[espace vectoriel normé]]. EnDans termesla dthéorie de l'analyse[[intégrale fonctionnellede Lebesgue]], ceconsidérer quotientde tels quotients revientamène à travailler non plus sur des fonctions, mais sur des classes de fonctions, équivalentes donc identifiées si elles ne diffèrent que sur un ensemble négligeable.
== Définition et exemples ==
{{Article détaillé|Norme (mathématiques)}}
Dans cet article, ''E'' désigne un espace vectoriel sur un [[corps (mathématiques)|corpscommutatif]] ''K''. En général, ''K'' désigne le corps des réels ou des complexes, même si la théorie s'applique dans un contexte plus général. L'espace ''E'' est muni d'une semi-norme ''N''. La lettre Ω désigne un ouvert de ''K''<sup>n</sup> où ''n'' est un entier strictement positif, ''K''<sup>n</sup> est muni de sa [[topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|topologie naturelle]] et μ une [[Mesure (mathématiques)|mesure]] sur Ω. ''E' ''désigne le [[dual topologique]] de ''E'' et <math>\sigma</math> (''E'', ''E' '') la [[topologie faible]] de ''E''.
{{Théorème|Définition|
Une application <math>\mathcal N:E\to\R_+</math> est une semi-norme si elle est :
Une '''semi-norme''' sur E est une application ''N'' de E dans l'ensemble des nombres réels positifs vérifiant les axiomes dit d''''homogénéité''' et de '''sous-additivité'''. Ils s'expriment de la manière suivante:
* '''homogénéité'''[[Fonction homogène|absolument homogène]] : <math> \forall (\lambda, x)\in \mathbb K \times E, \ quad\mathcal N (\lambda \cdot x) = |\lambda| \mathcal N (x) </math> ;
* '''[[sous-additivité'''|sous-additive]] : <math> \forall (x,y) \in E^2,\ quad\mathcal N (x + y) \leq \mathcal N (x) + \mathcal N (y) </math>.
|style=display:table}}
La semi-norme <math>\mathcal N</math> est une norme si et seulement si elle vérifie la propriété supplémentaire suivante :
* '''[[séparation ''' (mathématiques)|séparation]] : <math> \forall x \in E ,\ quad\mathcal N(x)=0 \Rightarrow x=0_E </math> .▼La propriété manquante est celle de la '''séparation''', qui assure que la norme d'un vecteur est nulle seulement si le vecteur est nul. Cette propriété confère à la semi-norme le statut de '''norme'''.
▲* '''séparation''' : <math> \forall x \in E,\ \mathcal N(x)=0 \Rightarrow x=0_E </math>
=== Exemples ===
Deux configurations introduisent naturellement une semi-norme en analyse fonctionnelle :
#Soient <math>\mu</math> une [[mesure (mathématiques)|mesure]] sur un [[espace mesurable]] <math>\Omega</math> (par exemple : <math>\Omega=\R</math> muni de la [[tribu borélienne]] et <math>\mu=</math> la [[mesure de Lebesgue]]), et <math>p\ge1</math> un réel (le cas le plus simple est <math>p=1</math>). L'ensemble des [[Fonction mesurable|fonctions mesurables]] de Ω dans ''K'' dont le module à la [[Puissance d'un nombre|puissance]] ''p'' est μ-intégrable est un espace vectoriel noté ℒ<sup>''p''</sup>(Ω, μ). Il est naturellement muni de la semi-norme <math>\mathcal N_p</math> définie par :<center><math>\forall f \in\mathcal L^p(\Omega,\mu) \quad \mathcal N_p(f) ={\left[\int_{\Omega} |f|^p \mathrm{d}\mu\right]}^{1/p}</math>.</center>La propriété de séparation est absente : dès qu'une fonction est nulle sur le [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaire]] d'un ensemble [[ensemble négligeable|μ-négligeable]], sa semi-norme est nulle.
#Un deuxième exemple est un ingrédient dans la définition de la [[topologie faible]]. Soit <math>\varphi</math> un élément du [[Espace dual|dual]] ''E''* de ''E'', c'est-à-dire une [[forme linéaire]] sur ''E''. L'application <math>p_{\varphi}</math> définie de la manière suivante est une semi-norme :<center><math>\forall x \in E \quad p_{\varphi}(x) = |\varphi(x)|</math>.</center>Cette semi-norme est nulle sur le [[Noyau (algèbre)#Noyau d'une application linéaire|noyau]] de <math>\varphi</math> (qui est un [[hyperplan]] si <math>\varphi\ne0</math>).
L'ensemble des fonctions intégrables en valeur absolue ou en module de Ω dans ''K'' pour la mesure μ est un espace vectoriel noté ''L''<sub>1</sub>(Ω) et possédant la semi-norme ''N''<sub>1</sub> définie de la manière suivante :
<center><math>\forall f \in L_1(\Omega) \quad \mathcal N_1(f) = \int_{\Omega} |f|d\mu</math></center> ▼La propriété de séparation est absente, toute fonction nulle sauf sur un [[ensemble négligeable]] possède une norme nulle.
Un deuxième exemple provient de la topologie faible. Soit ''e' '' un élément de ''E' ''c'est à dire une [[forme linéaire]] continue de ''E''. L'application ''p''<sub>e'</sub>, définie de la manière suivante est une semi-norme :
<center><math>\forall x \in E \quad p_{e'}(x) = |\langle e',x\rangle|</math></center>
Cette semi-norme est nulle sur un [[hyperplan]] [[Fermé (topologie)|fermé]], le noyau de ''e' ''.
=== Topologie ===
AÀ l'imageinstar de la norme, une semi-norme définit une [[espace topologique|topologie]]. Unpour laquelle les boules ouvertes de centre un point ''x'' forment une [[Voisinage (mathématiques)|base de voisinages]] de ''x'' : un ensemble ''O'' est ouvert si, pour chaque point ''x'' de ''O'', il existe une boule ouverte non vide de centre ''x'' incluse dans ''O''. Cette topologie est [[espace séparé|séparée]] si et seulement si la semi-norme vérifie la propriété de ''séparation'', c'est-à-dire si la semi-norme est une norme.
Si, de surcroît, la semi-norme vérifie la propriété de ''séparation'', c'est-à-dire si elle est une norme,''E'' devient un [[espace vectoriel normé|Espace_vectoriel_normé]].
Autrement dit, c'est [[espace vectoriel topologique]] (''cf.'' (i)(ii)) [[Espace_localement_convexe|localement convexe]] borné (''cf.'' (iii) )
En effet:
Pour cette topologie, l'addition et la [[multiplication par un scalaire]] sont continues : on dit que l'espace vectoriel ''E'', muni de cette topologie, est un [[espace vectoriel topologique]]. La semi-norme, elle aussi, est continue. Par ailleurs, les boules sont [[ensemble convexe|convexes]].
(i)L'addition et la multiplication par un scalaire forment deux applications continues.
Les démonstrations sont analogues à celles proposées dans l'article « [[Norme (mathématiques)]] ».
(ii) Les singletons sont fermés.
(iii) À l'instar de la norme, les boules sont des [[ensemble convexe|convexes]] bornés et les boules ouvertes de centre un point ''x'' forment une [[Voisinage (mathématiques)|base de voisinages]] de ''x''. Les démonstrations sont analogues à celles proposées dans l'article [[Norme (mathématiques)]].
Notons qu'une semi-norme qui n'est pas une norme ne peut pas faire de E un [[espace vectoriel topologique]]: ces espaces sont toujours séparés (c'est une conséquence de (i),(ii) ) et E ne peut pas l'être tant que sa semi-norme ne l'est pas.
=== Noyau ===
Les vecteurs de semi-norme nulle jouent un rôle particulier, ce rôlequi justifie la définition suivante :
{{Théorème|Définition|
L'ensemble des vecteurs de semi-norme nulle s'appelle le '''noyau''' de la semi-norme.|style=display:table}}
Le noyau possède unedes structurepropriétés à la fois algébriquealgébriques et topologiquetopologiques :
{{Théorème|Proposition|
Le noyau d'une semi-norme est un [[sous-espace vectoriel]] [[Fermé (topologie)|fermé]]. Il correspondest égal à l'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] du vecteursous-[[espace nul]].|style=display:table}}
En effet, un vecteur ''x'' est adhérent à <math>\{0\}</math> (le [[Singleton (mathématiques)|singleton]] réduit au [[vecteur nul]]) si et seulement si toute boule ouverte de centre ''x'' et de rayon ''r'' > 0 contient ce vecteur nul, ce qui se traduit par : la semi-norme de ''x'' est inférieure à tout ''r'' > 0, ou encore : ''x'' appartient au noyau. Ceci prouve que le noyau est bien l'adhérence du sous-espace nul. C'est donc un sous-espace vectoriel fermé (comme l'est l'adhérence de tout sous-espace vectoriel dans un espace vectoriel topologique).
En effet, soit ''x'', ''y'' deux vecteurs de semi-norme nulle et λ un scalaire, déterminons la norme de la [[combinaison linéaire]] associée :
<center><math>\mathcal N (x + \lambda y) \le \mathcal N (x) + |\lambda|\mathcal N (y) = 0 </math></center>
=== Convexité ===
Soit ''x'' un vecteur de l'adhérence de l'espace des vecteurs de semi-norme nulle, alors pour tout ε strictement supérieur à ''zéro'', il existe un vecteur ''y'' de semi-norme nulle tel que la [[distance (mathématiques)|distance]] entre ''x'' et ''y'' soit inférieure à ε. La majoration de ''sous-additivité'' montre que la semi-norme de ''x'' est inférieure à ε. Cette propriété est vraie pour toute valeur de ε strictement supérieure à ''zéro'', ce qui montre que ''x'' est de semi-norme nulle. L'espace est donc bien fermé.
Si le corps de base est ℝ, toute semi-norme est une [[application sous-linéaire]] donc [[fonction convexe|convexe]].
=== Cône des semi-normes ===
La somme de deux semi-normes est une semi-norme. Il en est de même pour lale multiplicationproduit externed'une semi-norme par un scalaireréel positif. OnAutrement endit déduit que les semi-normes forment un convexe.:
{{énoncé|
{{Théorème|Proposition|
L'ensemble des semi-normes sur un espace ''E'' est un cône [[ensembleCône (analyse convexe)#Différents types de cônes|cône convexe pointé]] d'extrémité la fonction nulle, de l'ensembleespace des applications de ''E'' dans ''R''. Ce cône est stable pour l'additionℝ.}}
== Norme et espace quotient ==
Soit ''H'' le sous-espace des vecteurs de semi-norme nulle de ''E''. LD'articleaprès l'inégalité triangulaire, la semi-norme est constante sur chaque classe de l'[[espace vectoriel norméquotient]] montre qu'il est possible d'équiper ''E''/''H''. On peut donc équiper ce quotient d'une semi-''norme,'' avec lainduite définitionen suivanteposant :
<center><math>\forall \bar x \in E/H \quad \mathcal N_{E/H} (\bar x) = \min_{x\in \bar x} \mathcal N_E (x)</math></center>
{{Théorème|Définition|Si ''H'' est le noyau d'une semi-norme <math>\mathcal N</math> sur ''E'', la norme induite <math>\mathcal N_{E/H}</math> sur le quotient ''E/H'' est définie par :
Si un vecteur ''x'' de ''E'' n'est pas élément de ''H'' alors la norme de sa classe dans ''E''/''H'' est non nulle. En effet, comme ''H'' est fermé, ''x'' n'est pas dans l'adhérence de ''H'' et il existe une boule de centre ''x'' non vide ne rencontrant pas ''H''. Soit ''r'' son rayon. Alors la norme de la classe de ''x'' est supérieure à ''r''.
▲<center><math>\forall f x\in L_1(\Omega) E\quad \mathcal N_1N_{E/H}( f\bar x) = \ int_{\Omega}mathcal |f|d\muN(x).</math></center> |style=display:table}}
Comme il est plus pratique de travailler sur un espace séparé, cette technique de quotient est largement utilisée, par exemple en [[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]]. Reprenons l'exemple 1 [[#Exemples|ci-dessus]]. Le noyau de la semi-norme <math>\mathcal N_p</math> est le sous-espace des fonctions sur Ω nulles μ-[[presque partout]]. Le quotient de ℒ<sup>''p''</sup>(Ω,μ) par ce noyau est l'espace vectoriel normé [[Espace Lp|(L<sup>''p''</sup>(Ω,μ), ║ ║{{ind|''p''}})]].
{{Théorème|Proposition|
Le quotient d'un espace vectoriel muni d'une semi-norme par le noyau de sa semi-norme est séparé pour la norme induite par le quotient.}}
== Topologie définie par une famille de semi-normes - [[Espace localement convexe]]== ▼Comme il est infiniment plus pratique de travailler sur un espace séparé, cette technique de quotient est largement utilisée, par exemple en analyse fonctionnelle. Soit ''L''<sup>p</sup>(Ω,μ) l'espace des fonctions de Ω dans ''K'' dont le module à la puissance ''p'' est intégrale sur Ω pour la mesure μ. Ici ''p'' désigne un réel compris entre ''un'' et l'infini. Cet espace est ''presque'' dénommé l'[[Espace Lp|espace L<sup>p</sup>]] de Ω.
{{ancre|Topologie définie par une famille de semi-normes - Espace localement convexe}}
== =Famille filtrante de semi-normes === ▼La norme est définie par l'égalité suivante :
Une [[Famille (mathématiques)|famille ]] <math> (p_i)_{i \in I}</math> de semi-normes sur l'espace vectoriel <math>E </math> est dite '''[[Ensemble ordonné filtrant|filtrante ''']] si pour toute sous-famille ''finie'' <math> ( p_ip_j)_{ i j\in J} , J \subseteq I, J</math> finie,est ilmajorée existepar l'une semi-norme p de la famille ''majorant toutes lesdes semi-normes de J''<math>p_i</math>. ▼<center><math> \forall f \in L^p(\Omega,\, \mu) \quad \|f\|_p = {\left[\int_{\Omega} |f|^p d\mu\right]}^{1/p}</math></center>
Par exemple, la famille de semi-normes <math>(p_{\varphi})_{\varphi\in E^*}</math> définie dans l'exemple 2 [[#Exemples|ci-dessus]] n'est ''pas'' filtrante.
Alors le noyau de la semi-norme est l'ensemble des fonctions nulles sur Ω sauf, peut être sur un ensemble négligeable. En pratique ''L''<sup>p</sup>(Ω,μ) est déjà quotienté par le noyau de la semi-norme, il est donc équipé d'une norme.
Cependant, pour toute famille <math>(p_i)_{i \in I}</math> de semi-normes sur <math>E</math>, la famille suivante de semi-normes est filtrante :
▲== Famille filtrante de semi-normes ==
▲Une famille <math> (p_i)_{i \in I}</math> de semi-normes sur l'espace vectoriel E est dite '''filtrante''' si pour toute sous-famille ''finie'' <math> (p_i)_{i \in J}, J \subseteq I, J</math> finie, il existe une semi-norme p de la famille ''majorant toutes les semi-normes de J''.
:<math>(p_J)_{J\text{ fini }\subset I}</math>, où <math>p_J</math> est la semi-norme <math>x\mapsto\max_{j\in J}{p_j(x)}</math>.
'''Exemple 1''': La famille de semi-normes définie précédemment n'est pas filtrante. Cependant on peut toujours définir une famille filtrante en effectuant une "complétion" comme montré ci-après.
===Topologie associée===
'''Exemple 2 ("complétion" d'une famille quelconque)''': Soit une famille quelconque <math>\mathcal P=(p_i)_{i \in I}</math> de semi-normes sur E. On peut alors définir la famille <math>\mathcal Q </math> dont les éléments sont définis par <math>\quad p_J=</math><math>\sup_{j \in J}</math><math>\quad p_j</math>, <math>J</math> sous-famille ''finie'' de <math>I</math>.
Soit <math>(p_i)_{i \in I}</math> une famille ''filtrante'' de semi-normes (on peut toujours se ramener au cas filtrant, par la procédure ci-dessus). Alors, les ensembles suivants forment une famille de [[Base de voisinages|bases de voisinages]] définissant une topologie sur <math>E</math>, qui fait de <math>E</math> un [[espace vectoriel topologique]] (un tel espace est appelé un [[espace localement convexe]]) :
On prend, comme base de voisinages de chaque vecteur <math>x</math>, la famille, indexée par <math> i \in I </math> et <math> R>0</math>, des ensembles (appelés « ''p''-boules ») :
On voit facilement alors que <math> \mathcal Q</math> est une famille filtrante de semi-normes.
:<math>\beta (x,i,R):=\{ y \in E\mid p_i(y-x)<R \}</math>.
Autrement dit : les voisinages de <math>x </math> sont les ensembles contenant au moins une "« ''p ''-boule ". » de centre < brmath> x</math>.▼▲== Topologie définie par une famille de semi-normes - [[Espace localement convexe]]==
:'''Soit E un espace vectoriel réel ou complexe muni d'une famille ''filtrante'' <math> (p_i / i \in I) </math>de semi-normes. Nous définissons la topologie associée en prenant comme ''[[base de voisinages]]'' de chaque point x les ensembles appelés "p-boules"<br> <math>\quad \beta (x,i,R)=</math>{<math> y \in E / p_i(y-x)<R </math>} définis pour tout <math> i \in I </math> et tout <math> R>0</math>'''.<br>
▲Autrement dit les voisinages de x sont les ensembles contenant au moins une "p-boule".<br>
Vérifions que les 4 axiomes des voisinages sont bien vérifiés: ▼*'''Tout voisinage de x contient x''' (évident ici).
*'''Si <math> \quad V</math> est un voisinage de x et <math>W \supset V</math> alors <math>\quad W</math> est voisinage de x''' (idem). ▼*'''L'intersection de 2 voisinages de x est un voisinage de x''' (en effet si <math>\quad p_1(y-x)<R_1</math> et <math>\quad p_2(y-x)<R_2</math> sont 2 "p-boules" incluses respectivement dans les 2 voisinages, comme la famille de semi-normes est filtrante, il existe une semi-norme <math>\quad p^*</math> de la famille majorant <math>\quad p_1</math> et <math>\quad p_2</math>. Alors <math>\quad p^*(y-x)<inf(R_1,R_2)</math> définit un voisinage de x inclus dans les 2 voisinages initiaux). ▼*'''Il existe un voisinage de x qui soit voisinage de chacun de ses points'''. En fait toute "p-boule" est voisinage de chacun de ses points puisque si y est un point de la "p-boule" <math>\quad \beta (x,i,R)</math>, on peut trouver <math>\quad \alpha > 0</math> tel que <math>\quad p(y-x)+\alpha<R</math> et alors <math>\quad p(z-y)<\alpha </math> entraîne <math>\quad p(z-x)\le p(y-x)+p(z-y)<p(y-x)+\alpha<R</math>. Ceci qui montre que la "p-boule" <math>\quad \beta (y,i,\alpha)</math> est incluse dans <math>\quad \beta (x,i,R)</math> qui est donc un voisinage de y. ▼
{{Démonstration|
:'''Démontrons maintenant que la topologie que nous venons de définir est ''compatible avec la structure d'espace vectoriel'', ce qui fait de E un ''[[espace vectoriel topologique ]]''. Un tel espace est dit ''[[espace localement convexe]]''.
▲Vérifions que les 4[[Voisinage (mathématiques)#Base de voisinages|5 axiomes des voisinages ]] sont bien vérifiéssatisfaits :
'''
▲*'''#Si <math> \quad V</math> est un voisinage de <math>x </math> et <math>W \supset V</math> alors <math> \quad W</math> est un voisinage de <math>x '''</math> : par (idem)définition.
*L'application <math>(x,y) \mapsto x+y</math> est ''continue''.
▲*'''#L'intersection de 2deux voisinages de <math>x </math> est un voisinage de <math>x ''' (en</math> effet: si <math>\ quad p_1beta( y-x )<,i_1,R_1 )\subset V</math> et <math>\ quad p_2beta( y-x ,i_2,R_2) <R_2\subset W</math> sont 2 "p-boules" incluses respectivement dans les 2 voisinages, comme la famille de semi-normes est filtrante, il existe une semi-norme <math> \quad p^*p_i</math> de la famille majorant <math> \quad p_1p_{i_1}</math> et <math> \quad p_2p_{i_2}</math>. Alors <math>\ quad p^*beta( y-x )<inf,i,\min(R_1,R_2) )\subset V\cap W</math> définit un voisinage de x inclus dans les 2 voisinages initiaux).
En effet un voisinage de x+y contient la "p-boule" <math>\quad \beta (x+y,i,R)</math> dont l'antécédent contient le couple de "p-boules" <math>\quad (\beta (x,i,R/2),\beta (y,i,R/2)),</math>
*L'application #<math>(\lambda,x)E</math> \mapstoest \lambdaun voisinage de <math>x</math> est: ''continue''immédiat.
En effet un#Tout voisinage de <math>\lambda x</math> contient la "p-boule" <math>\quad \beta (\lambda x,i,R)</math> dont l'antécédent contient le couple: <math>(]-x\sqrt R,\sqrt R[,in\beta (x,i,\sqrt R))</math>.
▲*'''Il#Pour existe untout voisinage <math>V</math> de <math>x </math>, quiil soitexiste un voisinage de chacun<math>W</math> de ses<math>x</math> points'''.tel Enque fait toute "p-boule"<math>V</math> est un voisinage de chacun de ses points puisque si y est unchaque point de la<math>W</math> "p-boule": soit <math> y\ quadin W:=\beta (x,i,R) \subset V</math>, onil peut trouverexiste <math> \quad \alpha > 0</math> tel que <math> \quad pp_i(y-x)+\alpha<R</math> et alors <math> \forall z\in E\quad pp_i(z-y)<\alpha </math> entraîne <math>\ quadRightarrow p(z-x)\le p(y-x)+p(z-y)<p(y-x)+\alpha<R</math>. Ceci qui montre que la "p-boule" <math> \quad \beta (y,i,\alpha) </math> est incluse dans <math>\ quad subset\beta (x,i,R) \subset V</math> , qui est donc un voisinage de <math>y </math>.
La topologie que nous venons de définir est compatible avec la structure d'espace vectoriel : même démonstration que [[Norme (mathématiques)#Topologie|pour la topologie associée à une norme]].
:'''Plus généralement, si <math>\quad (p_i)_{i\in I} </math> est une famille ''quelconque'' de semi-normes, la famille complétée selon la procédure définie à l'exemple 2 ci-dessus est filtrante et définit donc un [[espace localement convexe]] dont la toplologie est dite définie par la famille <math>\quad (p_i)_{i\in I} </math>.'''
== Voir aussiArticle connexe==
[[Jauge (mathématiques)|Jauged'un convexe]]
{{portail Portail|mathématiques}}
[[Catégorie:Espace vectoriel topologique]] ▼
▲[[Catégorie:Espace vectoriel topologique]]
[[it:Seminorma]]
[[pt:Seminorma]]
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