Riemannin pinta

Riemannin pinta funktiolle ƒ(z) = √z. Vaakatasossa olevat akselit edustavat z:n reaalisia sekä kompleksisia arvoja, kun taas pystyssä oleva akseli edustaa reaaliosaa √z. Imaginäärisen osan √z:lle saa kiertämällä kuvaa pystyakselin ympäri 180 astetta.

Matematiikassa Riemannin pinta, nimetty matemaatikko Bernhard Riemannin mukaan, on 1-ulotteinen kompleksimonisto (eli 2-ulotteinen monisto). Riemannin pintojen voidaan ajatella olevan "epämuodostuneita" versioita kompleksitasosta: paikallisesti, jokaisen pisteen ympäristössä, ne näyttävät kompleksitasolta, mutta globaali topologia voi olla hyvinkin erilainen.

Riemannin pinnat ovat kätevä tapa tutkia useita moniarvoisia funktioita, sillä sopivalla Riemannin pinnalla tällaisesta funktiosta voidaan tehdä yksikäsitteinen. Esimerkkejä kyseisistä funktioista ovat neliöjuuri ja logaritmi.

Mille tahansa kompleksitasossa tai sen avoimelle osajoukolle määritellylle analyyttiselle funktiolle f (moniarvoinen tai yksikäsitteinen) on olemassa Riemannin pinnalla määritelty analyyttinen ja yksikäsitteinen funktio g, siten että g vastaa funktiota f tietyin rajoituksin. Riemannin pinnat ovat siis hyödyllisiä analyyttisten funktioiden tutkimiseen.

Määritelmä

Riemannin pinta voidaan määritellä usealla ekvivalentilla tavalla. Tässä muutama:

1. Mikä tahansa 1-ulotteinen kompleksimonisto on Riemannin pinta . Tämä tarkoittaa sitä, että Riemannin pinta on Hausdorffin avaruus, jolla tiettyjen avointen osajoukkojen ja kompleksitason avointen osajoukkojen välillä on kokoelma Φ homeomorfismeja, jotka toteuttavat ehdot:
   1. Jokainen Riemannin pinnan piste kuuluu ainakin yhden homeomorfismin määrittelyjoukkoon.
   2. Jos kahden homeomorfismin $\varphi _{1},\varphi _{2}$ määrittelyjoukot menevät päällekkäin, niin yhdistetty kuvaus $\varphi _{1}\circ \varphi _{2,rajoittuma}^{-1}$ on analyyttinen.
2. Riemannin pinta on pinta, jolla on konformi struktuuri.

Esimerkkejä

Riemannin pallo.

• Kompleksitaso C on yksinkertaisin esimerkki Riemannin pinnasta.
• Analogisesti, jokainen kompleksitason avoin osajoukko on Riemannin pinta. Yleisemmin, jokainen Riemannin pinnan avoin osajoukko on Riemannin pinta.
• Olkoon S = C ∪ {∞} ja f(z) = z, missä z kuuluu joukkoon S \ {∞} ja g(z) = 1 / z missä z kuuluu joukkoon S \ {0} sekä 1/∞ määritellään olemaan 0. Tällöin funktiot f ja g määrittävät Riemannin pinnan S. Tätä Riemannin pintaa kutsutaan Riemannin palloksi. Tämä on esimerkki kompaktista Riemannin pinnasta.

Torus (toroidin pinta).

• Esimerkkejä Riemannin pinnoista. Kuvissa väri edustaa neljättä ulottuvuutta. Kuvat ovat projektioita 4-ulotteisesta avaruudesta 3-ulotteiseen avaruuteen. Vaikka nämä Riemannin pinnat "elävätkin" neljäulotteisessa avaruudessa, ne voidaan kuitenkin upottaa tasoon.

• 
  $f(z)=\arcsin z,\!$
• 
  $f(z)=\log z,\!$
• 
  $f(z)=z^{\frac {1}{2}}$
• 
  $f(z)=z^{\frac {1}{3}}$
• 
  $f(z)=z^{\frac {1}{4}}$

Riemannin pinnan konstruktio neliöjuurifunktiolle

Tämä konstruktio ei ole matemaattisesti kovin eksakti, mutta valottaa ehkä ajatusta Riemannin pintojen takana.

Funktio $f(z)={\sqrt {z}},z\in \mathbb {C}$ ei ole yksikäsitteinen, vaan se saa jokaisessa pisteessä $z\neq 0$ kaksi eri arvoa. Nimittäin jokainen kompleksiluku z voidaan ilmoittaa muodossa $z=re^{i\theta }$, tällöin ${\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i{\dfrac {\theta }{2}}}$. Siispä kun z kulkee yhden kierroksen (r-säteistä ympyrää pitkin) niin ${\sqrt {z}}$ kulkee vain puolikierrosta.

Neliöjuurifunktiolla on siis kaksi haaraa. Tästä ongelmasta päästään eroon rajoittamalla argumentti esimerkiksi välille $[0,2\pi [$. Jatkuvuudessa kuitenkin ongelma säilyy. Riemannin ajatus oli ottaa niin monta kopioita kompleksitasosta, kuin funktiolla on haaroja. Eli tässä tapauksessa kaksi. Nämä kopiot asetetaan päällekkäin ja leikataan tasot haaroja pitkin (neliöjuuren tapauksessa negatiivista tai positiivista reaaliakselia pitkin). Leikataan siis molemmista tasoista negatiivista reaaliakselia pitkin.

Nyt liimataan ylemmän kompleksitason toisen neljänneksen leikkausreuna alemman kompleksitason kolmannen neljänneksen leikkausreunaan. Liimataan vielä ylemmän kompleksitason kolmannen neljänneksen leikkausreuna alemman tason toisen neljänneksen leikkausreunaan (kuvassa keltaiset reunat liimataan yhteen ja punaiset reunat liimataan yhteen).

Riemannin pinnan konstruointia

Näin on saatu aikaan pinta, joka itse asiassa on Riemannin pinta. Tällä Riemannin pinnalla voidaan määritellä uusi neliöjuurifunktio, joka on yksikäsitteinen - nyt voidaan nimittäin erottaa ne pisteet toisistaan, joissa neliöjuurifunktio sai kaksi eri arvoa. Eli funktio saakin kaksi eri arvoa kahdessa eri pisteessä. Tämä johtuu siitä, että täyden kierroksen kulkeminen uudella pinnalla vaatii molempien kompleksitasojen kierrosten läpikäymistä. Pisteet voidaan siis erottaa kierrosluvun perusteella (ensimmäinen kierros ja toinen kierros). Mielivaltainen luku $z\neq 0$ löytyy molemmilta kompleksitasoilta samasta kohtaa, mutta tässä konstruktiossa ne ovat eri pisteet (sillä ne ovat "eri kerroksessa"). Tarkempi tarkastelu osoittaisi, että neliöjuurifunktio on myös analyyttinen ja siis myös jatkuva tällä Riemannin pinnalla.

Riemannin pinta funktiolle $f(z)={\sqrt {z}}$

Riemannin pintojen luokittelu

Riemannin pinnat voidaan luokitella kolmeen eri luokkaan: hyperbolisiin, parabolisiin ja elliptisiin Riemannin pintoihin. Geometrisesti nämä vastaavat negatiivista kaarevuutta, nolla kaarevuutta ja positiivista kaarevuutta.

Elliptiset Riemannin pinnat

Määritelmän mukaan, pinta X, jonka vakio kaarevuus on +1, on elliptinen. Riemannin pallo C ∪ {∞} on ainoa esimerkki.

Paraboliset Riemannin pinnat

Määritelmän mukaan nämä ovat ne pinnat X, joiden vakio kaarevuus on 0. Tällöin on kolme mahdollisuutta X:lle. Se voi olla kompleksitaso, punkteerattu kompleksitaso tai torus

Hyperboliset Riemannin pinnat

Riemannin pinnat joiden kaarevuus on −1 kutsutaan hyperbolisiksi. Tämä luokka on isoin näistä kolmesta.

Lähteet

• http://planetmath.org/encyclopedia/RiemannSurface.html (Arkistoitu – Internet Archive)
• Ahlfors, Lars & Sario, Leo: Rieman surfaces, 2. painos, Princeton university press, 1960.

Kirjallisuutta

• Väisälä, Kalle: Matematiikka IV. (141, 10. painos) Espoo: Otakustantamo, 1986 (1965). ISBN 951-671-087-5

Aiheesta muualla

• Riemann Surfaces