Liitännäisyys

Liitännäisyys eli assosiatiivisuus tarkoittaa laskutoimituksen riippumattomuutta sitomisjärjestyksestä. Mielivaltainen laskutoimitus $\circ$ on liitännäinen, jos

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

pitää paikkansa kaikille $a$, $b$ ja $c$. Tätä ominaisuutta kutsutaan myös termillä liitäntälaki.

Esimerkkejä

Esimerkiksi kokonaislukujen ja myös reaalilukujen yhteen- ja kertolasku ovat liitännäisiä laskutoimituksia, koska (a+b) + c = a + (b+c) ja (a·b) · c = a · (b·c) kaikilla luvuilla a, b ja c. Sitä vastoin vähennys- ja jakolaskuille ei liitäntälaki päde.

Matriisien kertolasku on liitännäinen muttei vaihdannainen. Vektorien ristitulo ei ole vaihdannainen eikä liitännäinen.

Propositiologiikan JA- ja TAI-konnektiivit ovat liitännäisiä: $a\land (b\land c)=(a\land b)\land c$, ja $a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c$. Esimerkiksi JA-konnektiivin liitännäisyys nähdään seuraavasti:

$(a\land b)\land c=1$ tarkalleen silloin kun $a\land b=1$ ja $c=1_{\mathbf {} }$, mikä taas tarkoittaa sitä, että niin $a=1_{\mathbf {} }$ kuin $b=1_{\mathbf {} }$ ja vielä edelleen $c=1_{\mathbf {} }$, eli kaikkien kolmen arvona on oltava $1_{\mathbf {} }$. Vastaavasti $a\land (b\land c)=1$ todetaan olevan voimassa tarkalleen silloin, kun kaikkien kolmen arvona on $1_{\mathbf {} }$. Siis molemmat laskujärjestykset tuottavat arvon $1_{\mathbf {} }$ tarkalleen silloin, jos kaikkien kolmen muuttujan arvona on $1_{\mathbf {} }$, ja muussa tapauksessa molemmat laskujärjestykset tuottavat arvon $0_{\mathbf {} }$.

Funktioiden yhdistely on liitännäinen: $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$.

Liitännäisyyden merkitys

Liitännäisyyden takia laskutoimitusten järjestystä ei tarvitse sitoa sulkumerkein, sillä kaikki mahdolliset järjestykset johtaisivat lopulta samaan lopputulokseen, ja siksi kirjallisuudessa jätetään yleensä sulut merkitsemättä tällaisissa tilanteissa. Esimerkiksi

$a\circ b\circ b\circ c$

voi tarkoittaa laskutoimitusten suorittamista vaikka järjestyksessä

$(a\circ (b\circ b))\circ c$ tai $(a\circ b)\circ (b\circ c)$,

mutta "oikealla" tavalla ei ole merkitystä, sillä lopputulos on sama. Tästä konkreettiseksi esimerkiksi käy yllä kuvatun laskun suorittaminen kokonaislukujen kertolaskuina niin, että

$(3\cdot (2\cdot 2))\cdot 7=(3\cdot 4)\cdot 7=12\cdot 7=84=6\cdot 14=(3\cdot 2)\cdot 14=(3\cdot 2)\cdot (2\cdot 7)$.

Katso myös

• Osittelulaki
• Vaihdannaisuus.

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0