Kaikkialla jatkuva ei-missään derivoituva funktio

Funktio on kaikkialla jatkuva ei-missään derivoituva, mikäli se on jatkuva, mutta ei-derivoituva jokaisessa funktion pisteessä. Tällaisia funktioita on suomen kielessä kutsuttu myös patologiksi funktioiksi.

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta ei-missään derivoituvasta funktiosta.

Historia

1800-luvun loppupuolelle asti oletettiin, että jokainen jatkuva funktio on myös vähintään yhdessä sen pisteessä derivoituva. Syynä tähän oli liiallinen luottamus fysikaaliseen intuitioon ja määritelmien epätäsmällisyys; funktioiden tulkittiin olevan vain fysikaalisten ilmiöiden matemaattinen muoto.

Ensimmäisen esimerkin kaikkialla jatkuvasta ei-missään derivoituvasta funktiosta antoi tšekkiläinen matemaatikko Bernard Bolzano vuoden 1830 tienoilla. Tämä funktio oli konstruoitu geometrisesti tietyllä suljetulla välillä. Valitettavasti tämä esimerkki unohtui ja julkaistiin vasta sata vuotta myöhemmin, vuonna 1922. Vuoden 1860 tienoilla matemaatikko Charles Cellerier kehitti esimerkkinä asiasta seuraavan funktion:

$C(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{a^{k}}}\sin(a^{k}x)$, joka on kaikkialla jatkuva ei-missään derivoituva, kun $a>1000,a$ on parillinen. Tämä tulos hautautui ja julkaistiin vasta Cellerierin kuoleman jälkeen vuonna 1890.

Ensimmäinen julkaistu esimerkki kaikkialla jatkuvasta ei-missään derivoituvasta funktiosta on Karl Weierstrassin vuonna 1872 julkaisema funktio:

$W(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a^{k}\cos(b^{k}\pi x)$, missä $0<a<1,b$ pariton ja $ab>1+{\frac {3\pi }{2}}$.

Animaatio, joka esittää Weierstrassin funktion muuttujan b arvojen kasvamista 0,1:stä 5:een.

Puolalainen matemaatikko Stefan Banach todisti vuonna 1931 seuraavan tuloksen: Kaikki ne välin $[0,1]$ jatkuvat funktiot, joilla on derivaatta vähintään yhdessä kyseisen välin pisteessä, sijaitsevat välin kaikkien jatkuvien funktioiden joukossa samantyyppisesti kuin rationaaliluvut reaalilukujen joukossa. Toisin sanoen, välillä $[0,1]$ jatkuvat ei-missään derivoituvat funktiot ovat huomattavasti yleisempiä kuin derivoituvat.

Vuonna 1953 John McCarthy julkaisi seuraavan esimerkin:

Määritellään funktio ${\hat {g}}:[-2,2[\to [-1,1]$ seuraavasti:

${\hat {g}}(x)={\begin{cases}1+x,&{\mbox{kun }}-2\leq x<0\\1-x,&{\mbox{kun }}0\leq x<2\end{cases}}.$

Olkoon apufunktio $g:\mathbb {R} \rightarrow [-1,1]$ funktion ${\hat {g}}(x)$ neljäperiodinen laajennus eli

$g(x_{0}+4p)={\hat {g}}(x_{0})$ aina, kun $-2\leq x_{0}<2$ ja $p\in \mathbb {Z}$.

Tämä funktio on jatkuva kaikkialla, mutta ei-derivoituva pisteissä $x_{0}=2p,p\in \mathbb {Z}$.

Näillä merkinnöillä ja määritelmillä voidaan kirjoittaa varsinainen McCarthyn funktio $M$, joka on

$M(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}g(2^{2^{k}}x)$.

Funktion muodostaminen

Edellä esitetty McCarthyn funktio on esimerkki siitä, kuinka tämän tyyppisiä funktioita tavallisesti muodostetaan. Aluksi määritellään jaksollinen ja jatkuva "sahanteräfunktio", joka on ei-derivoituva yksittäisissä kärkipisteissä. Tämän jälkeen funktion kuvaajaa "rypytetään" siten, että lopulta funktion jokainen piste on kärkipiste ja täten derivaattaa ei ole määritelty missään funktion pisteessä.