Ellipsirata

Aurinkoa (A) kiertävän planeetan (B) ja komeetan (C) radat.

Erityyppisiä kiertoratoja gravitaatiokentässä. Harmaa: ympyrärata, punainen: ellipsirata, vihreä: paraabelirata, sininen: hyperbelirata. Kuvioon merkityt luvut (e) tarkoittavat ratojen eksentrisyyksiä.

Erilaisia liikeratoja gravitaatiokentässä. Yläoikealla ellipsirata. Siinä keskusmassaa ympäröivä potentiaalikuoppa kuvaa kappaleen potentiaalienergiaa sen ollessa eri etäisyyksillä keskuskappaleesta, ja sen liike-energia ellipsiradalla on kuvattu punaisella. Liike-energia pienenee Keplerin lakien mukaisesti, kun kappale etääntyy keskuskappaleesta ja sen nopeus pienenee. Se muuttuu tällöin gravitaatiokentän potentiaalienergiaksi, joka kuitenkin muuttuu takaisin kappaleen liike-energiaksi, kun se jälleen lähestyy keskuskappaletta.

Ellipsirata on soikea rata, jossa jokin kappale kiertää toista kappaletta pitkin ellipsiä, jolla on tietty eksentrisyys eli soikeus. Keskuskappale on se kappale jota yleensä pienempi kappale, kiertolainen kiertää. Maa kiertää Aurinkoa ellipsiradalla, joka on lähes ympyrä, sillä se ei ole kovin soikea. Sanotaan, että Aurinko on planeetta Maan keskustähti, sillä tähdet ovat aurinkoja. Käytännössä Maa-Aurinko -parilla on 2 ellipsirataa, sillä Maa huojuttaa Aurinkoa jota se kiertää lähes ympyrämäisellä ellipsiradalla, hyvin pientä ellipsiä pitkin. Nämä ellipsit kiertävät yhteistä painopistettä. Käytännössä näiden ellipsien summa kuvataan yhtenä ellipsinä.

Ratamekaniikkaa

Suljetun, ellipsimäisen kiertoradan muodon, koon ja suunnan määrittämiseen tarvitaan kuusi riippumatonta muuttujaa, esimerkiksi tieto kappaleen paikka- ja nopeusvektorista tietyllä hetkellä (kaksi kolmiulotteisen avaruuden vektoria muodostaa kuusi muuttujaa). Ellipsiradan tapauksessa käytetään yleensä Johannes Keplerin elementtejä: ellipsin isoakselin puolikkaan pituus, eksentrisyys, inklinaatio eli kulma johonkin vertailutasoon verrattuna, nousevan solmun pituus, periapsin argumentti, periapsisaika.

Periapsis on kiertoradan matalin kohta ja vastaavasti apoapsis on korkein. Gravitaatiovoimien takia kappale kulkee sitä suuremmalla nopeudella mitä lähempänä se on kiertämäänsä kappaletta.

Periheli ja apheli

Ellipsiradan lähin piste on peri- ja kaukaisin ap-/apo-. Lisäksi kuvataan se kappale, josta peri tai ap/apo on otettu:

• Maa: perigeum ja apogeum (esimerkiksi satelliitin ellipsiradan lähin ja kaukaisin piste)
• Aurinko: periheli ja apheli (esimerkiksi planeetan Aurinkoa lähin ja kaukaisin piste)
• Tähti: periastroni ja apoastroni
• Mielivaltainen taivaankappale: periapsis ja apoapsis.

Kiertoaika ellipsiradalla

Tavallinen on tapaus, jossa hyvin pienimassainen kappale kiertää valtavan massiivista kappaletta. Tällöin pienen kappaleen vaikutus isompaan voidaan useasti unohtaa ja kirjoittaa yksinkertaisempia yhtälöitä. Kiertoaika lasketaan seuraavalla kaavalla:

$T={2\pi \over {\sqrt {G\cdot M}}}a^{3 \over {2}}$,

jossa

• $T$ = kiertoaika
• $a$ = kappaleiden keskietäisyys
• $G$ = gravitaatiovakio
• $M$ = suuren kappaleen massa

Tämä yhtälö selittää Keplerin aikoinaan huomaaman Keplerin kolmannen lain, jonka mukaan planeettojen kiertoaikojen neliöt suhtautuvat toisiinsa kuin niiden isoakselin puolikkaiden kuutiot.

Ratanopeus ellipsiradalla

$v={\sqrt {2GM\left({1 \over {r}}-{1 \over {2a}}\right)}}$

• $v$ = kappaleen ratanopeus
• $r$ = kappaleen etäisyys
• $a$ = kappaleen keskietäisyys
• $G$ = gravitaatiovakio
• $M$ = keskuskappaleen massa

Kahdella samamassaisella kappaleella ei voi olla samaa rataa ja eri ratanopeutta, sillä suuremman ratanopeuden omaavalla kappaleella on enemmän liike-energiaa, jolloin kappale pyrkii keskipakovoiman ansiosta poistumaan vetovoimakentästä. Tällöin rata suurenee.

Ellipsiradan soikeus eli eksentrisyys e

Ellipsiradan soikeutta kuvataan eksentrisyydellä e, joka on ympyrälle 0. Ellipsiradalle e on aina alle 1. Planeetoille on monesti ympyrämäinen rata, jossa karkeasti e on suunnilleen 0 (ehkä e <0,1).

Planeetan paikka ellipsiradalla

Planeetan etäisyys keskuskappaleesta ellipsiradalla, kun planeetan kulmaetäisyys perihelistä tunnetaan, on

$r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\theta -\omega )}}$

missä

• $r$ = planeetan etäisyys keskuskappaleesta
• $a$ = planeetan radan isoakselin puolikas
• $e$ = planeetan radan eksentrisyys
• $\theta -\omega$ = perihelin ja planeetan sijainnin välinen kulma

Planeetan kulmaetäisyys ν perihelistä ja säde $r$ saadaan laskettua, kun tunnetaan periheliaika ja planeetan nykyinen olinaika. Historiallisista syistä käytetään nelivaiheista menetelmää, jossa yhdessä tarvitaan iterointia.

1. Lasketaan planeetan keskianomalia $M$ kaavasta

$M={\frac {2\pi t}{P}}$

2. Lasketaan eksentrinen anomalia $E$ numeerisesti iteroiden Kaplerin yhtälöä:

$\ M=E-\epsilon \cdot \sin E$

3. Lasketaan todellinen anomalia ν yhtälöstä:

$\tan {\frac {\nu }{2}}={\sqrt {\frac {1+\epsilon }{1-\epsilon }}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}$

4. Lasketaan etäisyys auringosta eli heliosentrinen etäisyys $r$ :

$r={\frac {p}{1+\epsilon \cdot \cos \nu }}$

Ja myös

$r={\frac {k^{2}/(G(m_{1}+m_{2}))}{1+e\cos(\theta -\omega )}},$

missä $k$ on vakio. Vakio saadaan kaavasta

$k={\sqrt {aG(m_{1}+m_{2})|1-e^{2}|}}$,

missä $m_{1}$ ja $m_{2}$ ovat kappaleiden massat.

Planeetan paikkavektori ${\bar {r}}$ lasketaan kaavasta

${\bar {r}}=a(\cos(E)-e){\bar {i}}+a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin(E){\bar {j}}$

eli

$r_{i}=a(\cos(E)-e)$

ja

$r_{j}=a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin(E)$

ja paikkavektorin pituus eli etäisyys Auringosta on

$\vert {\bar {r}}\vert =a(1-e\cos(E))$

Planeetan todellinen eli luonnollinen anomalia $\nu$ lasketaan jakamalla paikkavektorin komponentit $r_{j}$ ja $r_{i}$ keskenään ja ottamalla tästä osamäärästä käänteinen tangentti.

$\nu =\arctan \left({\frac {r_{j}}{r_{i}}}\right)$

eli silloin

$\nu =\arctan \left({\frac {\cos(E)-e}{\sin(E){\sqrt {1-e^{2}}}}}\right)$

jossa

• $\nu$ = todellinen anomalia
• $a$ = radan isoakselin puolikas
• $E$ = eksentrinen anomalia
• $e$ = radan eksentrisyys
• $i$,$j$ = paikkavektorin komponentit, $j$ isoakselin suuntainen

Toinen tapa lausua planeetan paikkavektori on käyttää ellipsin isoakselia ${\bar {a}}$ ja pikkuakselia ${\bar {b}}$

${\bar {r}}=(\cos(E)-e){\bar {a}}+\sin(E){\bar {b}}$

Ellipsiradan kaltevuus eli inklinaatio

Ellipsiradalla on kaltevuus eli inklinaatio $i$, joka tavallisesti ilmoitetaan asteina. Esim kaksoistähden inklinaatio ilmoitetaan taivaanpallon pintaa vastaan.

Ellipsiradan energia

Kun kappale kiertää ellipsiradalla toista kappaletta, sen energiatasapaino vaihtelee potentiaalienergian ja liike-energian välillä. Vuoroin jompikumpi on suurempi, mutta ellipsiradan ominaisrataenergia on vakio. Jos kappale on lähellä keskuskappalettaan, sen potentiaalienergia on pieni mutta liike-energia suuri, kauempana päinvastoin. Ympyrämäisellä radalla potentiaalienergia ja liike-energia ovat tasapainossa.

${v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0$

• $v\,$ kiertävän kappaleen ratanopeus
• $r\,$ kiertävän kappaleen etäisyys keskuskappaleesta.
• $a\,$ on radan isoakselin puolikas,
• $\mu \,$ on vakiogravitaatioparametri, μ = G*M
• $G$ = gravitaatiovakio
• $M$ = massa

Katso myös

• Keplerin lait
• Eksentrinen anomalia
• Paraabelirata
• Hyperbelirata