Polku (topologia)
Polku on topologian käsite, joka kuvaa yhteyttä kahden pisteen välillä jossakin topologisessa avaruudessa. Täsmällisemmin määriteltynä polku pisteestä pisteeseen avaruudessa on sellainen jatkuva kuvaus
että ja .[1] Tällöin on polun alkupiste, on sen loppupiste, ja polku yhdistää pisteet ja .[2][3]
Intuitiivisesti voi ajatella, että polkufunktion argumentti on aikakoordinaatti , ja funktio kuvaa pisteen liikkumista käyrää pitkin ajan kuluessa. Alkuhetkellä piste on polun alkupisteessä , ja liikkuu sitten jotakin käyrää (polkufunktion kuvajoukkoa) pitkin jatkuvasti, ilman hyppäyksiä, kunnes loppuhetkellä se on polun loppupisteessä .[4]
Koska reaalilukuväli on yhtenäinen, niin jatkuva kuvaus kuvaa sen yhtenäiseksi joukoksi maaliavaruudessa .[3] Niinpä polun yhdistämät pisteet kuuluvat samaan yhtenäiseen komponenttiin (intuitiivisesti: yhtenäinen aliavaruus ei voi ulottua epäyhtenäisessä avaruudessa olevan ”aukon” yli[2]). Topologinen avaruus on polkuyhtenäinen, jos sen minkä tahansa kahden pisteen välillä on olemassa polku. Topologian perustuloksiin kuuluu, että jos avaruus on polkuyhtenäinen, niin se on myös yhtenäinen. Käänteinen ei päde: on olemassa yhtenäisiä avaruuksia, jotka eivät kuitenkaan ole polkuyhtenäisiä. Klassinen esimerkki on topologin sinikäyrä.[2][5]
Lähteet
muokkaa- ↑ Path Encyclopedia of Mathematics. Springer & European Mathematical Society. Viitattu 29.9.2020. (englanniksi)
- ↑ a b c Ojanperä, Arttu (Eero Hyryn luentojen mukaan): Topologia (Luentomateriaali. Sivut 60–63) 2013. Tampereen yliopisto, Informaatiotieteiden yksikkö. Arkistoitu 5.1.2023. Viitattu 1.10.2020.
- ↑ a b Parkkonen, Jouni: Metriset avaruudet ja Topologia (Luentomateriaali. Sivut 64–65) 2018. Jyväskylän yliopisto. Arkistoitu 5.1.2023. Viitattu 1.10.2020.
- ↑ Freiwald, Ronald C.: An Introduction to Set Theory and Topology, s. 221–225. Saint Louis, Missouri: Washington University in St. Louis, 2014. ISBN 978-1-941823-10-1 Teoksen verkkoversio (viitattu 1.10.2020). (englanniksi)
- ↑ Barile, Margherita: Topologist's Sine Curve MathWorld. Wolfram Research. Viitattu 1.10.2020. (englanniksi)