Hausdorffin dimensio

Hausdorffin dimensio eli fraktaalidimensio on tavallisen ulottuvuuden käsitteen yleistys. Kaikissa "normaaleissa" tilanteissa (yksi-, kaksi- ja kolmiulotteiset objektit) se vastaa intuitiivisesti ymmärrettävää ulottuvuuden käsitettä. Eräissä tapauksissa Hausdorffin dimensio voi kuitenkin saada myös ei-kokonaislukuarvon.

Taustaa

Georg Cantor kehitti aikoinaan kätevän menetelmän erilaisten käyrien pituuden arvioimiseksi. Esimerkiksi mitattaessa rantaviivaa sitä pitkin piirretään $n$-säteisiä ympyröitä pitkin rannikkoa, jolloin muodostuu alue, jolla on jokin pinta-ala. Kun tämä ala jaetaan $2n$:llä, saadaan arvio rannikon pituudelle. Kun nyt $n$:ää pienennetään, saadaan rajatta tarkentuva arvio rannikon pituudelle.

Lewis Fry Richardson tutki 1960-luvulla empiirisesti rannikoiden pituuksia päätyen lopputulokseen, jonka mukaan rantaviivaa approksimoivalla monikulmiolla, jonka sivujen pituus on $n$, on aina $\lambda n^{-D}\,$ kappaletta sivuja. Richardsonille tässä esiintyvä $D$ oli vain eksponentti vailla sen kummempaa merkitystä, mutta arvioitaessa rannan pituutta osoittautuu, että $D$ on riippumaton tavasta, jolla pituus mitataan. Tämän perusteella $D$ on siis jollakin tavalla pelkkää sovitusparametria tärkeämpi muuttuja.

Sierpinskin kolmion Hausdorffin dimensio on ln 3 / ln 2, mikä on suunnilleen 1,58.

Määritelmä

Näin löydetty suure $D$ eli Hausdorffin dimensio, ei nimestään huolimatta ole geometrinen ulottuvuus samassa mielessä kuin meidän käsittämämme Euklidiset ulottuvuudet. Hausdorffin dimensio kuvaa tutkittavan kuvion itsesimilaarisuusastetta, eli sitä, kuinka ”itseääntoistava” tutkittava kuvio on. Oletetaan, että kuvio F jakautuu itse kuvion kanssa samanlaisiin pienempiin osiin, joita on $n$ kappaletta ja joiden koko on $1/\gamma$ koko kuvion koosta. Tällöin

$n={\frac {1}{\gamma ^{D}}}$ eli

$D={\frac {-\log n}{\log {\frac {1}{\gamma }}}}={\frac {\log n}{\log \gamma }}$.

Jos kuvio F on jana, sen pienennöksiä mahtuu suoralle $1/\gamma$ kappaletta. Jana voidaan siis jakaa vaikkapa neljään osaan, jolloin $n=4$ ja $\gamma =1/4$, jolloin fraktaalidimensioksi $D$ saadaan yksi, kuten tietysti pitääkin. Neliön taas voi jakaa vaikkapa yhdeksään pienempään neliöön mittakaavassa $1/3$, jolloin vastaavasti $D=2$. (Tällainen itsesimilaarinen jako ei päde esimerkiksi ympyrälle, sillä silmukatonta sulkeutuvaa käyrää ei voi jakaa samankaltaisiin pienempiin osiin.)