Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk ehk 90° = π/2 rad.

Täisnurkne kolmnurk. Küljed a ja b on kaatetid ning c on hüpotenuus

Täisnurga lähiskülgesid nimetatakse kaatetiteks ja selle vastaskülge hüpotenuusiks. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi tähistatakse enamasti tähega c ning kaateteid tähtedega a ja b.

Hüpotenuus on alati pikem kummastki kaatetist. Hüpotenuusi lähisnurgad on väiksemad täisnurgast ja nende summa võrdub täisnurgaga.

Täisnurkne kolmnurk võib olla erikülgne või võrdhaarne, kuid mitte võrdkülgne.

Täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa võrdub täisnurgaga. Sest kõikide kolmnurkade sisenurkade summa on 180 kraadi ja kuna täisnurga puhul on üks nurkadest täisnurk, siis peavad teised kaks teravnurka kokku moodustama samuti 90-kraadise nurga. Sest 180 – 90 = 90.

Pythagorase teoreemi järgi võrdub kaatetite ruutude summa hüpotenuusi ruuduga:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,$

Eukleidese teoreemi järgi võrdub täisnurkse kolmnurga kaateti ruut selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega.

Täisnurkse kolmnurga siseringjoone raadius võrdub poolega kaatetite summast, millest on lahutatud hüpotenuus: r = (a + b – c) / 2.

Täisnurkse kolmnurga ümberringjoone diameeter võrdub hüpotenuusiga ja raadius võrdub poolega hüpotenuusist. Vastavalt Thalese teoreemile on hüpotenuusi keskpunkt ühtlasi täisnurkse kolmnurga ümberringjoone keskpunkt.

Thalese teoreemi kinnitab, et kõik kolmnurgad, mille üks külg on ühtlasi ringjoone diameeter ja selle külje vastasnurk on üks sellesama ringjoone punkt on täisnurksed kolmnurgad. Teisiti öeldes on täisnurkne iga kolmnurk, mille ümberringjoone keskpunkt asub ühel kolmnurga küljel, selle külje keskel. Võrdluseks, mittetäisnurksete kolmnurkade ümberringjoone kese asub olenevalt kolmnurga nurkadest kas kolmnurga sees või sellest väljaspool.

Võib öelda, et Thalese teoreem on ringjoone ja täisnurga ühenduslüliks, näidates et igasuguse proportsiooniga täisnurkne kolmnurk on leitav igalt ringjoonelt.

Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub poolega kaatetite korrutisest.

Kongruentsus

Kaks täisnurkset kolmnurka on kongruentsed, kui on täidetud ükskõik milline järgmisest neljast tingimusest:

• Ühe kolmnurga kaatetid on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kaatetitega.
• Ühe kolmnurga kaatet ja selle juures olev teravnurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kaateti ja selle juures oleva teravnurgaga.
• Ühe kolmnurga hüpotenuus ja kaatet on vastavalt võrdsed teise kolmnurga hüpotenuusi ja kaatetiga.
• Ühe kolmnurga hüpotenuus ja teravnurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga hüpotenuusi ja teravnurgaga.

Konstrueerimine

Täisnurkset kolmnurka saab konstrueerida siis, kui on antud ükskõik milline järgmisest neljast nõudest:

• kaks kaatetit
• kaatet ja selle juures olev teravnurk
• hüpotenuus ja kaatet
• hüpotenuus ja teravnurk.

Trigonomeetrilised funktsioonid

Täisnurkse kolmnurga kaudu saab defineerida trigonomeetrilised funktsioonid:

• Teravnurga siinus on selle nurga vastaskaateti suhe hüpotenuusi.
• Teravnurga koosinus on selle nurga lähiskaateti suhe hüpotenuusi.
• Teravnurga tangens on selle nurga vastaskaateti suhe lähiskaatetisse.
• Teravnurga kootangens on selle nurga lähiskaateti suhe vastaskaatetisse.
• Teravnurga seekans on hüpotenuusi suhe selle nurga lähiskaatetisse.
• Teravnurga koosekans on hüpotenuusi suhe selle nurga vastaskaatetisse.