Límite (teoría de categorías)
En teoría de categorías, una rama de la matemática, la noción abstracta de límite captura las propiedades esenciales de las construcciones universales tales como productos y límites inversos. La noción dual de colímite generaliza construcciones tales como uniones disjuntas, sumas directas, coproductos, pushouts y límites directos.
Los límites y colímites, como las nociones fuertemente relacionadas con propiedades universales y funtores adjuntos, requieren un gran nivel de abstracción. De manera que, para entenderlos, es útil estudiar primero los ejemplos específicos de esos conceptos que serán luego objeto de generalización.
Definición
[editar]Empezamos definiendo el cono de un funtor covariante , en el sentido teoría de categorías, ayudándonos del siguiente diagrama, que constará de:
- dos objetos de la categoría : e ,
- un morfismo , de dicha categoría, Y,
- las imágenes por de los dos objetos e ,
- la "-imagen" del morfismo (imagen de por : ),
- un objeto L de la categoría C, "vértice" del "cono", y
- los conjuntos de morfismos X e Y (los llamamos igual que los objetos X e Y), que constan de todos los morfismos desde L a F(X), y desde L hacia F(Y).
Si el objeto en J es X, en la definición de cono que damos decimos "X" también al conjunto de flechas que van del objeto L sobre el que hacemos el cono hacia dicho X. Además, el cono sobre L lo denotaremos así: (L, X), queriendo decir que hacemos la colección de todas las familias de flechas que apuntan desde L, esto es, esos conjuntos de flechas "X" en la categoría codominio del funtor F y que hemos denominado "varias" para sugerir que pueden ser varias.
Un límite del funtor F es entonces un "cono universal". Esto es, decimos que el cono (L, X) es un límite para el funtor F si y sólo si para todo otro cono (N, X) de F, existe un único morfismo u: N L tal que X · u = X. Esto es, podemos decir que los morfismos X factorizan a través de L con la factorización única u.
Las definiciones de colímite y de cocono se obtienen considerando la definición dual a las de límite y cono.
Véase también
[editar]Referencias
[editar]- Categories for the Working Mathematician 5 (2nd edición). New York, NY: Springer-Verlag. 1998. ISBN 0-387-98403-8.
Enlaces externos
[editar]- Limits in Category Theory — Scott Messick (en inglés)