Algoritmo de Borwein

El algoritmo de Borwein es un algoritmo desarrollado por Jonathan y Peter Borwein que permite el cálculo de 1/π.

Algoritmo

Se procede de la siguiente forma:

• Se comienza con los valores

  $a_{0}=6-4{\sqrt {2}}$

  $y_{0}={\sqrt {2}}-1$

• Después se itera con las siguientes fórmulas

  $y_{k+1}={\frac {1-(1-y_{k}^{4})^{1/4}}{1+(1-y_{k}^{4})^{1/4}}}$

  $a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})$

Se tiene que a_k posee una convergencia cuártica 1/π; es decir, en cada iteración se multiplica por cuatro, aproximadamente, el número de dígitos correcto.

El grado de convergencia se obtiene de la siguiente desigualdad:

$\left|{\frac {1}{\pi }}-a_{n}\right|<=16\;(4^{n})(e^{-2\pi 4^{n}})$

Véase también

• Algoritmo de Gauss-Legendre
• Fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Pi Formulas». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q3751018