Inteligencia matemática

Empezamos.

PRIMERA PARTE

Inteligencia matemática

1.

Las matemáticas son de listos

Las matemáticas son de listos, eso lo sabe todo el mundo. Es más, cuando se piensa en un test de inteligencia, de esos para medir el coeficiente intelectual de las personas, lo que se mide principalmente es la capacidad de razonamiento lógico-matemático: series de números o series de figuras en las que hay que decir cuál es el siguiente elemento, problemitas de lógica, incluso cálculo mental. Eso ha sido así «de toda la vida». Cuando a una madre le dicen: «Señora, su hija tiene una capacidad de razonamiento lógico-matemático sobresaliente», la madre de la criatura se alegra en lo más hondo de su corazón, lo cuenta en el vecindario y se congratula con la familia. Normal, ¿se le dan bien las matemáticas? Eso significa que es lista. ¿Se le dan mal? Es tontita, pobre, pero seguro que encuentra algo que se le dé bien. La inteligencia se identifica con la inteligencia de las matemáticas o sus derivados: las ciencias y las ingenierías. ¿Cuántas veces hemos oído eso de que «el que vale vale y el que no a letras»? Si es que es así, el razonamiento lógico-matemático es lo que determina la inteligencia, el coeficiente intelectual. O determinaba. Porque resulta que vino el aguafiestas de Howard Gardner a finales de los años 80 con la teoría esa de las inteligencias múltiples y se acabó la hegemonía del razonamiento lógico-matemático. Fatal.

Bueno, ya en serio, no: no está fatal. Hace mucho tiempo que está claro que la capacidad para el razonamiento lógico-matemático no es la única forma de inteligencia. La verdad es que no hacía falta esperar a la teoría de las inteligencias múltiples para descubrir que la única forma de inteligencia no es la inteligencia matemática. No sé muy bien cómo definir la inteligencia en general, o la inteligencia humana en particular. Me quedo tranquilo porque no soy el único que tiene dificultades para eso. Párate a pensar, ¿qué dirías que es inteligencia? Quizá lo más honesto es decir que con la palabra inteligencia nos referimos a varias habilidades diferentes, o que ciertas habilidades son muestra de inteligencia. La capacidad de aprender, la resolución de problemas, la comprensión, la creatividad, la empatía… todo eso forma parte de la inteligencia, y según sea lo que estamos aprendiendo, los problemas a los que nos enfrentamos o el tipo de conceptos que comprendemos y creamos, hablamos de tipos de inteligencia. O de distintas expresiones de algo abstracto y general que llamamos inteligencia. Quien es capaz de comunicarse bien con otros demuestra inteligencia, quien es capaz de comprender a los demás demuestra inteligencia, quien puede entender conceptos complejos demuestra inteligencia. Ya sea para jugar un gran partido de fútbol, componer una canción emotiva, consolar a un amigo, formar un buen equipo de trabajo, analizar un problema de física de partículas o formular una buena teoría matemática… se necesita «eso». Eso que es una mezcla de habilidades de muy distinto tipo y que llamamos inteligencia.

La ventaja de situar la inteligencia matemática en el contexto de los otros tipos de inteligencia, ya sea dentro de la teoría de las inteligencias múltiples de Gardner y sus seguidores o de los estudiosos que desde la Antigüedad han pensado sobre la inteligencia humana, es que ayuda a definir en qué consiste la inteligencia matemática. Delimitar los mecanismos, las habilidades y capacidades que conforman este tipo de inteligencia nos ayuda a entenderla mejor, a potenciarla y a utilizarla de forma más adecuada. La inteligencia matemática, si la queremos definir por los problemas a los que se enfrenta, sería la que nos hace capaces de seguir líneas de razonamiento lógico, la que nos hace establecer y comprender las relaciones entre conceptos abstractos como, por ejemplo, los números. Y también nos ayuda a buscar un lenguaje que nos permita comprendernos a nosotros mismos y al mundo que nos rodea.

No te asustes, que no voy a meterme en temas tan profundos. Hay tres o cuatro conceptos que sí van a aparecer a lo largo del libro y que, si existiera una «definición de la inteligencia matemática», formarían con toda seguridad parte de ella: abstracción, generalización, lógica, identificación de patrones. No tengo la pretensión de hacer un tratado psicológico, filosófico o fenomenológico sobre la inteligencia matemática, el razonamiento lógico y todo eso. No me siento capaz, seguramente escribiría un rollazo impresionante y no creo que aportara gran cosa. En su lugar, juntos vamos a tratar de ver la inteligencia matemática en acción, experimentándola en carne propia, poniéndola en práctica. La idea es no sólo aproximarnos a cómo la mente de los matemáticos actúa frente a los problemas de la lógica, el álgebra o la geometría, sino también, y de alguna manera a la vez, echar un vistazo al fruto de la inteligencia matemática, es decir, al acercamiento matemático a la realidad cotidiana. A lo largo del camino, iré proponiendo diversos problemas, retos y juegos que permitirán practicar en primera persona los mecanismos de la inteligencia matemática. Algunos de ellos los explicaré paso a paso, tratando de diseccionar los razonamientos que participan en la resolución de un problema o en su mismo planteamiento. En otros casos te propondré que los hagas tú, intercalados en el texto o en los ejercicios al final de cada capítulo. Aprovecharás más el libro si los afrontas, los resuelvas correctamente o no.

A veces la inteligencia matemática se identifica con la inteligencia que suponemos a un robot o a un ordenador: la capacidad de cálculo y de procesamiento de datos, sin lugar para emociones o empatía. Estoy seguro de que ya sabes que no es así pero, por si acaso, dejémoslo claro. No identifiques la inteligencia matemática con saber multiplicar de memoria números de ocho cifras. Eso es habilidad de cálculo, y nada más. Es cierto que gran parte de las matemáticas tienen que ver con números y que los cálculos son frecuentes. Pero no pienses que estoy de broma cuando digo que hay matemáticos a los que se les dan fatal los números y las cuentas. Ser buen matemático y tener gran capacidad de cálculo son dos cosas diferentes. Te pongo dos ejemplos de matemáticos extremadamente inteligentes, dos genios de naturaleza muy diferente.

Alexander Grothendieck fue uno de los matemáticos más creativos del siglo XX. Realmente revolucionó las matemáticas, en concreto las relaciones entre el álgebra y la geometría. Pensó más allá de lo que se había pensado hasta entonces. Después de él, una parte amplia de las matemáticas nunca se volvió a hacer de la misma manera. Hoy en día seguimos explorando las matemáticas que Grothendieck inventó. Era un genio en el sentido más intenso y clásico de la palabra, alguien que supo ver más lejos de lo que los demás ni imaginaban. Y sin embargo, se dice que era muy malo con los números, que no sabía pensar «en concreto». Cuentan que un día, durante una conversación matemática, alguien le pidió a Grothendieck que dijera un número primo cualquiera. Él se sorprendió un poco: «¿Un número primo en concreto?, ¿de verdad?», y tras un segundo de pensamiento dijo: «El 57». Pero resulta que, como seguramente has notado, el 57 no es primo (es 19 por 3). Desde entonces, y medio en broma, al 57 se le conoce como el «primo de Grothendieck».

En el otro extremo de su relación con los números, con los números concretos, un verdadero amigo de las cifras fue Srinivasa Ramanujan. Ramanujan era un muchacho indio sin prácticamente formación matemática que de forma autodidacta y espontánea llegó a comprender muchos secretos de los números. De alguna forma, sus trabajos llegaron a dos de los mayores matemáticos de su época, los ingleses Godfrey Hardy y John Littlewood, que le acogieron en Cambridge. Ramanujan pasó varios años en Cambridge logrando resultados maravillosos. Enfermó de tuberculosis y murió demasiado joven. Una anécdota que cuenta Hardy de Ramanujan dice que cuando fue a visitarle en Putney, por estar enfermo, Hardy había viajado en un taxi con el número 1729 y le dijo a Ramanujan que le parecía un número intrascendente, sin gracia. «No», respondió Ramanujan, «es un número muy interesante, es el menor número que puede expresarse como suma de dos cubos de dos maneras diferentes». Efectivamente, 1729 es 1³+12³ y también 9³+10³. Hasta ese punto llegaba la intimidad de Ramanujan con los números. Hoy en día, a los números que pueden expresarse de dos formas diferentes como suma de dos cubos se les llama «números de Hardy-Ramanujan».

Vamos a ir calentando la cabecita. Al final de cada capítulo habrá uno o más ejercicios que pueden darte un poco de entretenimiento pero que sobre todo sirven para que despiertes un poco al matemático que llevas dentro y que empieces a comprender cómo piensa. Cuidado, son muy importantes, forman parte del libro, una parte sustancial. Te van a ayudar a sacar provecho de este libro, si es que tiene alguno. Contribuirán a aclarar lo que te cuento en la obra y, lo que es más importante, a conocer y entrenar a tu matemático interior.

Esta vez tienes un solo ejercicio, no es gran cosa, simplemente para jugar un poco con los números.

Ejercicio 1: Encuentra algún número que pueda ponerse como suma de dos cuadrados de dos formas diferentes.

2.

Somos matemáticos

Dicen que la matemática es el lenguaje en el que está escrita la naturaleza. ¡Jo!, pues ya podría haber escogido otro más fácil, ¿no? Bueno, seguramente es el mejor lenguaje que podría elegir. Aunque yo no estoy tan seguro, cien por cien seguro del todo, ya sabes, de que la naturaleza esté escrita en lenguaje matemático. Yo creo que, en gran parte, las matemáticas las ponemos nosotros, son nuestra manera de ver las cosas, forman parte de nuestra condición humana, más que de las cosas en sí. Bueno, pues eso, que para mí gran parte de lo que consideramos la «naturaleza matemática de la realidad» al final la estamos poniendo nosotros. Es algo así como «la forma humana de ver la naturaleza». Nosotros vemos la realidad con tiempo, con espacio y con matemáticas, al menos. ¿Están el tiempo, el espacio y la matemática realmente en la naturaleza? No me siento capacitado para responder a eso. No digo yo que todo sea así, eh, que siempre sea evidente que las mates son algo que ponemos nosotros. Y es que a veces uno alucina con fenómenos de la naturaleza y piensa: «Venga ya, esto no puede ser casual, esto es matemática pura en estado natural». Muchas veces vemos propiedades matemáticas que parecen pertenecer a «las cosas en sí» sin duda, independientemente de que quien las mire sea un humano. Por ejemplo, las abejas y sus mallas hexagonales. El hexágono es la forma óptima de cubrir el plano gastando la menor cantidad de material, así que las abejas están resolviendo, de forma instintiva, un problema de optimización muy importante. Lo de que el hexágono es la forma óptima no lo digo por decir o por exagerar. Está demostrado matemáticamente. Ya hablaremos de eso más tarde, con más calma. Otro ejemplo chulísimo de matemática presente en la naturaleza son esas cigarras que aparecen en periodos primos. Es alucinante, te cuento: resulta que existen unas especies de cigarras en Estados Unidos que viven bajo el suelo, cogiendo nutrientes y tal, y que cada cierto tiempo salen a montar una escandalera tremenda y aparearse. Pero ese «cada cierto tiempo» no es cualquier cosa. Es… ¡un número primo de años! Hay una especie que sale cada 17 años, otra que sale cada 13 y otra que sale cada 7. No tengo ni idea de cómo hacen para saber que han pasado 17 años, pero ¿por qué lo hacen? Tampoco está muy claro, pero la explicación más plausible es que si en el mismo lugar aparece un depredador también de modo periódico, la mejor forma de coincidir con él lo menos posible en el exterior es salir en un periodo que sea un número primo de años. Pongamos por caso que el depredador sale cada 4 años. Si tú sales cada 6 años, te lo vas a encontrar cada 12. Si sales cada 8 años, te lo encuentras cada vez que sales, pero si sales cada 7 años, te lo vas a encontrar cada 28 años. Como especie, merece la pena, la verdad. Parece difícil, a la vista de ejemplos como éste, resistirse a pensar que los números primos (y otros conceptos matemáticos) están en la naturaleza de forma implícita.

Una cosa que tengo más clara que esto de si las matemáticas están implícitas en la naturaleza o son cosa nuestra es que los seres humanos somos matemáticos, esencialmente matemáticos. Para empezar, hay una serie de cuestiones obvias y que compartimos con gran cantidad de otros seres de los que pueblan este planeta: la capacidad para contar, medir, hacer sencillos cálculos… Todo esto viene de muy antiguo, por mecanismos evolutivos que se pierden en la oscuridad de los tiempos. Se ha comprobado que los leones, los lobos y, sobre todo, las hienas son capaces de contar rudimentariamente, o al menos tener en cuenta la cardinalidad (el número de elementos) de distintos conjuntos de objetos, plantas o animales. Se sabe que algunos de los simios superiores también pueden contar y hacer ciertos cálculos. Es bastante curiosa la investigación de la neurobióloga Margaret Livingstone, de la Medical School de Harvard. Esta científica quería comprobar si los macacos Rhesus (que viven por la India y China) podían adquirir habilidades aritméticas, o sea, asociar símbolos a cantidades (nuestros números, por ejemplo). Probó con cantidades desde 0 a 25. Para simbolizar las primeras usó los números que utilizamos nosotros, del 0 al 9, y a partir del 10 usó letras. A continuación les daba a elegir símbolos de éstos, y los macacos elegían el símbolo que correspondía a una cantidad mayor de gotas de agua o de zumo. La cosa fue a más porque les hacía elegir entre una suma o un solo símbolo. Por ejemplo, a un lado ponía 5+7 y al otro 9. En unos cuatro meses los macacos aprendieron a sumar dos números y comparar el resultado con un tercer número. O sea, que llegaban a saber que 5+7 significa algo mayor que 9. Al parecer, el concepto de número está inscrito de forma muy profunda en nuestro ser. A lo largo de la historia este concepto ha evolucionado hasta tener varios significados diferentes. Cuando decimos «número» nos podemos estar refiriendo a cosas muy diferentes. ¿Te has preguntado alguna vez qué es un número? No te preocupes, más adelante en este libro voy a dar una respuesta a esa pregunta, que me parece fabulosa, pero aún no es el momento. Vale, de momento tenemos claro que tanto los animales como los estadios más primitivos de nuestro cerebro son capaces de asimilar conceptos numéricos y hacer algunos cálculos básicos. Son habilidades que podríamos calificar plenamente como matemáticas, y que están en nuestro camino evolutivo.

Pero quiero ir más allá. Sin entrar en grandes profundidades antropológicas, metafísicas, psicológicas o filosóficas. Déjame hablar para el «humano medio» de nuestros días, que ve la tele, ha ido al colegio, sale con los amigos o le gusta ir al monte. Ese ser humano que alguna vez piensa eso de que «a mí no se me dan bien las mates» o lo ha oído decir. Que tiene a su matemático interior abandonado del todo, pero lo tiene, aunque no sea consciente de ello. ¿Y qué sabe hacer ese matemático que todos tenemos dentro? Todo el mundo, salvo algunas excepciones, posee una capacidad hermosa de razonamiento lógico del mismo modo que todo el mundo, salvo excepciones, puede correr. Y las excepciones no son tantas, porque, al igual que existen ayudas