Rudimenta operacio kun matrico

En lineara algebro, rudimenta matrico estas kvadrata matrico de unu el certaj specoj, kiu malmulte malsamas de la identa matrico. La rudimentaj matricoj generas la ĝenerala lineara grupo de inversigeblaj matricoj. Maldekstra (respektive, dekstra) multipliko per rudimenta matrico estas rudimenta linia operacio (respektive, rudimenta kolumna operacio).

Rudimentaj liniaj operacioj ne ŝanĝas la aron de solvaĵoj de la sistemo de linearaj ekvacioj prezentita en matrica formo, se ili estas aplikataj samtempe al la matrico de la maldekstra flanko kaj al la dekstra flanko. Ili estas uzataj en gaŭsa eliminado.

Rudimentaj liniaj operacioj ne ŝanĝas la kernon de matrico, sed ili ŝanĝas la bildon. Duale, rudimentaj kolumnaj operacioj ne ŝanĝas la bildon, sed ili ŝanĝas la kernon.

Estas tri specoj de rudimentaj matricoj, kiu respektivas al tri specoj de liniaj operacioj (respektive, kolumnaj operacioj):

• Interŝanĝo de linioj:

$R_{i}\leftrightarrow R_{j}$

• Multipliko de linio je nombro: ĉiu ero en la linio estas multiplikata per ne-nula konstanto:

$mR_{i}\rightarrow R_{i}$, kie m≠0

• Linia adicio: linio estas anstataŭata per sumo de la linio kaj la alia linio multiplikata per ne-nula konstanto:

$R_{i}+mR_{j}\rightarrow R_{i}$

En algebra K-teorio, rudimentaj matricoj estas nur la linio-adiciaj matricoj.

La rudimenta matrico por ĉiu linia operacio estas ricevata per plenumo de la operacio sur la identa matrico.

Por rudimentaj liniaj operacioj kum m×n matricoj, la rudimentaj matricoj estas kvadrataj m×m matricoj por ajna n.

Por rudimentaj kolumnaj operacioj kum m×n matricoj, la rudimentaj matricoj estas kvadrataj n×n matricoj por ajna m.

Interŝanĝo de linioj

Matrico T_{i, j}, kun i≠j, maldekstra multipliko per kiu interŝanĝas liniojn i kaj j estas

$T_{i,j}={\begin{bmatrix}\ddots &&&&&&&&\\&1&&&&&&&\\&&0&&&&1&&\\&&&1&&&&&\\&&&&\ddots &&&&\\&&&&&1&&&\\&&1&&&&0&&\\&&&&&&&1&\\&&&&&&&&\ddots \end{bmatrix}}$

Tio estas, T_{i, j} estas la matrico farita per interŝanĝanta de linioj i kaj j de la identa matrico.

Propraĵoj:

• Inverso de ĉi tiu matrico estas ĝi mem:

T_{i, j}⁻¹=T_{i, j}

• Pro tio ke determinanto de la identa matrico egalas al 1,

det(T_{i, j}) = -1

Tiel por ĉiu kvadrata matrico A de taŭga amplekso

det[T_{i, j}A] = -det(A)

Multipliko de linio je nombro

Matrico T_i(m), maldekstra multipliko per kiu multiplikas linion i je valoro m estas

$T_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}$

Tio estas, T_i(m) estas la matrico farita el la identa matrico per meto de valoro m en loko i, i anstataŭ valoro 1.

Propraĵoj:

• La inverso de ĉi tiu matrico estas

T_i(m)⁻¹ = T_i(1/m)

• La matrico kaj ĝia inverso estas diagonalaj matricoj.

• Ĝia determinanto estas

det(T_i(m)) = m

Tiel por ĉiu kvadrata matrico A de taŭga amplekso

det[T_i(m)A] = mdet(A)

Linia adicio

Matrico T_{i, j}(m), kun i≠j, maldekstra multipliko per kiu adicias linion j, multiplikitan je valoro m, al linio i estas por i<j de formo

$T_{i,j}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&m&&\\&&&\ddots &&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}$

kaj por i>j de formo

$T_{i,j}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}$

Tio estas, T_{i, j}(m) estas la matrico farita el la identa matrico per meto de valoro m en loko i, j anstataŭ valoro 0.

Propraĵoj:

• Ĝia inversa matrico

T_{i, j}(m)⁻¹ = T_{i, j}(-m)

• La matrico kaj ĝia inverso estas triangulaj matricoj.

• Ĝia determinanto estas

det(T_{i, j}(m)) = 1

Tiel por ĉiu kvadrata matrico A de taŭga amplekso

det[T_{i, j}(m)A] = det(A)

Ekzemploj

Kelkaj ekzemplaj matricoj, prezentantaj rudimentajn liniajn operaciojn kun 4×n matricoj por ajna n:

Interŝanĝo de la supraj du linioj:

$T_{1,2}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Multipliko de la tria linio je 14:

$T_{3}(14)={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&14&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Adicio de la tria linio, multiplikita je -8, al la unua linio:

$T_{1,3}(-8)={\begin{bmatrix}1&0&-8&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

Vidu ankaŭ

• Gaŭsa eliminado
• Sistemo de linearaj ekvacioj

Eksteraj ligiloj

• Meyer, Carl D. (15-a de februaro, 2001). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra - Matrico Analizo kaj Aplikita Lineara Algebro. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) - Socio por Industria kaj Aplikita Matematiko (SIAM). ISBN 978-0898714548.