El Vikipedio, la libera enciklopedio
En matematiko , la dua parta derivaĵa provo estas maniero en multvariebla kalkulo por kontroli ĉu krita punkto (x, y) estas loka minimumo , loka maksimumo aŭ sela punkto .
Estu f(x ,y) reela funkcio de du reelaj argumentoj. Estu (a, b) sojla punkto de la funkcio, do punkto kie la unuaj partaj derivaĵoj estas nulaj:
∂
f
(
x
,
y
)
∂
x
|
x
=
a
,
y
=
b
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}|_{x=a,y=b}=0}
∂
f
(
x
,
y
)
∂
y
|
x
=
a
,
y
=
b
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}|_{x=a,y=b}=0}
Tiam la matrico de Hessian estas de amplekso 2×2 kaj ĝia determinanto en la punkto estas
M
=
(
∂
2
f
(
x
,
y
)
∂
x
2
∂
2
f
(
x
,
y
)
∂
y
2
−
(
∂
2
f
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
)
2
)
|
x
=
a
,
y
=
b
=
0
{\displaystyle M=({\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}}-({\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}})^{2})|_{x=a,y=b}=0}
Tiam:
Se M>0 kaj
∂
2
f
(
x
,
y
)
∂
x
2
|
x
=
a
,
y
=
b
>
0
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}|_{x=a,y=b}>0}
(a, b) estas loka minimumo. Se M>0 kaj
∂
2
f
(
x
,
y
)
∂
x
2
|
x
=
a
,
y
=
b
<
0
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}|_{x=a,y=b}<0}
(a, b) estas loka maksimumo. Se M<0 tiam (a, b) estas sela punkto. Se M=0 tiam la dua derivaĵa provo ne donas la respondon. La variabloj x kaj y estas egalrajtaj, tiel la kondiĉoj de loka minimumo kaj loka maksimumo povas esti ekvivalente reskribitaj kun uzo de la dua derivaĵo je variablo y sed ne je x :
Se M>0 kaj
∂
2
f
(
x
,
y
)
∂
y
2
|
x
=
a
,
y
=
b
>
0
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}}|_{x=a,y=b}>0}
(a, b) estas loka minimumo. Se M>0 kaj
∂
2
f
(
x
,
y
)
∂
y
2
|
x
=
a
,
y
=
b
<
0
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}}|_{x=a,y=b}<0}
(a, b) estas loka maksimumo. 
