Aro-teorio

Venn-a diagramo, kiu montras la komunaĵon de du aroj.

Aro-teorio aŭ aroteorio (aŭ arteorio) estas branĉo de matematiko kaj komputiko kreita ĉefe de la germana matematikisto Georg Cantor fine de la 19-a jarcento. Ĝi komence estis disputata, sed baldaŭ iĝis grava en la fundamenta teorio por difini bazajn matematikajn konceptojn kiel nombro, funkcio k.a.

Komence oni evoluigis la t.n. naivan aroteorion, kiun oni povas difini jene:

La bazaj konceptoj de aroteorio estas aroj kaj membreco. Aro estas kolekto de objektoj nomataj membroj (aŭ elementoj) de la aro. La membroj povas esti ekzemple nombroj, funkcioj aŭ aroj mem. Oni difinas arojn per la ondkrampoj { kaj }. Tiel, {1,2} estas aro, kaj ankaŭ {1,2,3,4,...} (la nefinia aro de la naturaj nombroj kutime nomata N) kaj eĉ {2,3,N}, do la membroj ne devas esti de la sama klaso. Ankaŭ la malplena aro {} estas konsiderata valida aro.

Al tiaj aroj oni povas apliki diversajn operaciojn, kiel la kunaĵon kaj la komunaĵon.

Tamen montriĝis ke, se oni aplikas ĉiujn operaciojn senlime, aperas paradoksoj kiel la Rusela paradokso. Por solvi tiujn problemojn, oni rekonstruis la arteorion uzante aksioman metodon.

Historio

Georg Cantor.

La matematikaj aferoj plej ofte aperas kaj evoluas tra la interagado inter multaj esploristoj. La arteorio, male, estis fondita per unusola artikolo en 1874 fare de Georg Cantor: nome Pri propreco de la kolekto de ĉiuj reelaj algebraj nombroj.

Ekde la 5-a jarcento a.K., dekomence el la greka matematikisto Zenono de Elajo en Okcidento kaj la unuaj hindiaj matematikistoj en Oriento, la matematikistoj estis baraktintaj kontraŭ la koncepto de infinito. Speciale elstara estas la laboro de Bernard Bolzano en la unua duono de la 19-a jarcento.​ La moderna kompreno de la infinito ekis en 1870-1874, kaj ĝi estis motivita de la verko de Cantor pri reela analizo.​ Kunsido en 1872 inter Cantor kaj Richard Dedekind influis sur la pensaro de Cantor, kio rezultis en la artikolo de Cantor de 1874.

La verko de Cantor polusigis dekomence la matematikistojn siaepokajn. Dum Karl Weierstrass kaj Dedekind apogis Cantor, Leopold Kronecker, konsiderata nuntempe kiel la fondinto de la matematika konstruismo, ne faris tion. La cantor-a arteorio finfine ĝeneraliĝis, pro la utileco de la cantor-aj konceptoj, kiel la korespondo unu al unu inter aroj, lia pruvaro ke estas pl da reelaj nombroj ol entjeraj nombroj, kaj la "senfineco de senfinecoj" (la paradizo de Cantor) rezultanta de la operacio aro de potencoj. Tiu utileco de la arteorio kondukis al la artikolo "Mengenlehre", havigita en 1898 de Arthur Schoenflies al la enciklopedio de Klein.

Russell en Trinity College en 1893.

La venonta tajdo de entuziasmo en la arteorio okazis ĉirkaŭ 1900, kiam oni malkovris, ke kelkaj interpretoj de la arteorio cantor-a rezultas en kelkaj kontraŭdiroj, nome "antinomioj" aŭ paradoksoj. Bertrand Russell kaj Ernst Zermelo trovis sendepende la paradokson la plej facilan kaj plej konatan, nuntempe nomata Paradokso de Russell: oni konsideru "la aron de ĉiuj aroj kiuj ne estas membroj de si mem", kio kondukas al kontraŭdiro ĉar tiu devas esti samtempe membro de si mem kaj nemembro de si mem. En 1899, la propra Cantor estis stariginta la demandon "Kiu estas la kardinala nombro de la aro de ĉiuj aroj?", kaj li atingi rilatan paradokson. Russell uzis sian paradokson kiel temo en sia revizio de la kontinenta matematiko de 1903 en sia verko "La principoj de la matematikoj".

En 1906, la britaj legantoj povis alveni al la libro "Theory of Sets of Points" fare de la geedzoj William Henry Young kaj Grace Chisholm Young, publikigita de Cambridge University Press.

La elano de la arteorio estis tia ke la debato pri la paradoksoj ne kondukis al ĝia forlaso. La verkoj de Zermelo en 1908 kaj tiuj de Abraham Fraenkel kaj Thoralf Skolem en 1922 rezultis en la aro de aksiomoj ZFC, kiu iĝis la aro de aksiomoj plej uzata por la arteorio. La laboro de analizistoj, kiel tiu de Henri Lebesgue, pruvis la grandan matematikan utilecon de la arteorio, kiu ekde tiam iĝis fako de la moderna matematiko. La arteorio estas uzata ofte kiel fonda sistemo, kvankam en kelkaj areoj - kiel la algebraj geometrio kaj topologio - oni konsideras, ke la teorio de kategorioj estas preferebla fundamento.

Aksioma arteorio

Bildo pri la Aksiomo de elekto, kun indeksitaj familioj kiel kruĉoj kaj membroj kiel koloraj buletoj.

La aksiomoj por la arteorio nuntempe plej ofte uzataj estas nomataj la Zermelo-Fraenkel-aksiomoj. Verdire, la aksiomoj estas ĉenoj de logikaj simboloj. Ĉi sube aperas iliaj "tradukoj" al natura lingvo:

1. Aksiomo de etendo: Du aroj estas samaj se kaj nur se ili havas la samajn membrojn.
2. Aksiomo de malplena aro: Ekzistas aro sen iuj ajn membroj. Oni skribas ĝin kiel {}.
3. Aksiomo de parigo: Se x kaj y estas aroj, tiam {x,y} estas aro, aro kiu havas nur x kaj y kiel siajn membrojn.
4. Aksiomo de kunigo: Por ĉiu aro x ekzistas aro y tiel ke la membroj de y estas precize la membroj de la membroj de x.
5. Aksiomo de senfineco: Ekzistas aro x tiel ke {} estas membro de x, kaj se y estas membro de x, tiam ankaŭ la kunaĵo y U {y} estas membro de x.
6. Aksiomo de apartigo: Se x estas aro kaj P(y) estas predikato, tiam ekzistas subaro de x kies membroj estas precize tiuj, por kiuj P(y) estas vera.
7. Aksiomo de anstataŭigo: Se x estas aro, kaj P(y,z) difinas bildigon (do P(y,z) kaj P(y,w) entenas z=w) tiam ekzistas aro enhavanta precize la bildojn de la membroj de x.
8. Aksiomo de potenca aro: Ĉiu aro havas potencan aron. Do, por ĉiu aro x ekzistas aro y tiel ke la membroj de y estas ĉiuj subaroj de x.
9. Aksiomo de reguleco: Ĉiu ne-malplena aro x havas membron y tiel ke x kaj y estas disaj aroj.
10. Aksiomo de elekto: Se x estas aro de reciproke disaj ne-malplenaj aroj, ekzistas aro y kiu enhavas precize unu membron de ĉiu membro de x.

La aksiomoj de reguleco kaj de elekto restas disputataj de malmultaj matematikistoj.

Operacioj per aroj

Kunaĵo de du aroj

Kunaĵo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Kunaĵo.

La kunaĵo de du aroj A kaj B konsistas el ĉiuj elementoj, kiuj estas en A, en B aŭ en ambaŭ. La operacio nature ĝeneraliĝas al pli ol du aroj; ĝi estas ĝeneraligebla ankaŭ al nefinie da aroj. Ĝi estas komuta kaj asocia. Oni notas ĝin per la kunigo-signo (∪), kiu similas al pelveto aŭ al litero "U".

Komunaĵo de du aroj

Komunaĵo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Komunaĵo.

La komunaĵo de du aroj A kaj B konsistas el ĉiuj elementoj, kiuj estas kaj en A kaj en B. La operacio nature ĝeneraliĝas al pli ol du aroj; ĝi estas ĝeneraligebla ankaŭ al nefinie da aroj. Ĝi estas komuta kaj asocia. Oni notas ĝin per la komunaĵiga signo (∩), kiu similas al inversigita pelveto.

La kunigo kaj la komunaĵigo estas reciproke distribuecaj. La aroj do kun tiuj du operacioj formas latison.

Bildaro

• 
  $A\subseteq B$
• 
  Komenca segmento de la hierarkio de von Neumann

Literaturo

• Devlin, Keith (1993), The Joy of Sets (2a eldono), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4.
• Ferreirós, Jose (2007), Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics, Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.
• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, Konsultita la 18an de Junio 2021.
• Jech, Thomas. «Set Theory». Arkivigite je 2021-06-19 per la retarkivo Wayback Machine Stanford Encyclopedia of Philosophy (Aŭtuno 2011) (en angla). Konsultita la 18an de Junio 2021.
• Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6, (requiere registro).
• Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland, ISBN 0-444-85401-0.
• Monk, J. Donald (1969), Introduction to Set Theory, McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0898740066.
• Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction, Oxford University Press.
• Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010), Set Theory And The Continuum Problem, Dover Publications, ISBN 978-0-486-47484-7.
• Tiles, Mary (2004), The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43520-6.

Vidu ankaŭ

• Matematika logiko

Eksteraj ligiloj

• Daniel Cunningham, Set Theory artikolo en la Internet Encyclopedia of Philosophy.
• Jose Ferreiros, The Early Development of Set Theory artikolo en la [Stanford Encyclopedia of Philosophy].
• Foreman, Matthew, Akihiro Kanamori, eld. Handbook of Set Theory. 3 vol., 2010. Ĉiu ĉapitro studas kelkan aspekton de nuntempa esplorado pri arteorio. Pri elementa arteorio, vidu Devlin (1993).
• Aro-teorio en Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, red. Michiel Hazewinkel, ISBN 978-1556080104.
• Aro-teorio en Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, red. Michiel Hazewinkel, ISBN 978-1556080104.
• Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre en Enciklopedio de Klein.
• . Set Theory: An Offspring of Analysis. Marden Lecture in Mathematics (6a de Aprilo, 1990).

• Aroteorio
• Artikolo en Matematika Atlaso Arkivigite je 2007-01-18 per la retarkivo Wayback Machine
• Artikolo en PlanetMath Arkivigite je 2006-06-24 per la retarkivo Wayback Machine
• Matematiko rete
• Aroteorio