Elektra impedanco

Elektra impedanco aŭ pli simple impedanco estas mezuro de la kontraŭo al sinusoida elektra kurento. La koncepto de elektra impedanco ĝeneraligas la leĝon de Omo en AK-cirkvita analizo. Malsame al elektra rezistanco, la impedanco de elektra cirkvito povas esti kompleksa nombro. Oliver Heaviside kreis la terminon impedanco en Julio 1886.

AK Stabila Stato

Ĝenerale, la solvoj por la tensioj kaj la kurentoj en cirkvito entenante rezistilojn, kondensilojn, kaj induktilojn (mallonge, ĉiuj linearaj konduktantaj komponantoj) estas solvoj al lineara ordinara diferenciala ekvacio. Povas montriĝi ke, se la tensio kaj/aŭ kurenta fonto en la cirkvito estas sinusoida kaj frekvence konstanta, la solvoj emas al formo nomata AK stabila stato. Tial ĉiuj tensioj kaj kurentoj en la cirkvito estas sinusoidaj kaj havas konstantajn pintajn amplitudojn, frekvencojn, kaj fazojn.

Lasu v(t) esti sinusoida funkcio de tempo kun konstanta pinta amplitudo $V_{\mathrm {p} }$, konstanta frekvenco f, kaj konstanta fazo, $\phi$.

Por simpligi notacion, kutime oni kalkulas kun angula rapideco (en radianoj per sekundo) anstataŭ frekvenco:

$\omega =2\pi f$

La funkcio v(t) povas skribiĝi kiel

$v(t)=V_{\mathrm {p} }cos\left(\omega t+\phi \right)=\Re \left(V_{\mathrm {p} }e^{j\omega t}e^{j\phi }\right)$

kie $j$ reprezentas la imaginaran unuon (${\sqrt {-1}}$) kaj $\Re (Z)$ signifas la reela parto de la kompleksa nombro z.

Nun, lasu la kompleksan nombron V esti donita de:

$V=V_{\mathrm {p} }e^{j\phi }\,$

V nomiĝas la vektora reprezentado de v(t). V estas konstanta kompleksa nombro. Por cirkvito en AK stabila stato, ĉiuj tensioj kaj kurentoj en la cirkvito havas vektoran reprezentaĵon kondiĉe, ke ĉiuj fontoj havas la saman frekvencon. Tio estas, ĉiuj tensioj kaj kurentoj povas esti reprezentataj de la konstanta kompleksa nombro.

Por RK-cirkvita analizo, ĉiu tensio kaj kurento estas reprezentata de konstanta reela nombro. Tiel, estas bonsence supozi, ke la reguloj disvolvitaj por RK-cirkvita analizo povas esti uzataj por AK-cirkvita analizo per uzado de kompleksaj nombroj anstataŭ reelaj nombroj.

Difino de impedanco

La impedanco de cirkvita elemento difiniĝas kiel la kvociento de la vektora tensio trans la elemento per la vektora kurento tra la elemento:

$Z_{R}={\frac {V_{r}}{I_{r}}}$

Estas notinde ke kvankam Z estas kvociento de du vektoroj, Z mem ne estas vektoro. Tio signifas ke Z ne asociiĝas kun iu sinusoida funkcio de tempo.

Por RK-cirkvitoj, la rezistanco difiniĝas per la leĝo de Ohm kiel la kvociento de la RK-a tensio trans la rezistilo per la RK-a kurento tra la rezistilo:

$R={\frac {V_{R}}{I_{R}}}$

kie $V_{R}$ kaj $I_{R}$ supre estas RK-aj (konstantaj reelaj) kvantoj.

Ĝuste kiel la leĝo de Ohm ĝeneraliĝas al AK-aj cirkvitoj per la uzo de vektoroj, aliaj rezultoj de RK-cirkvita analizo, kiaj tensia dividado, kurenta dividado, teoremo de Thevenin, kaj teoremo de Norton ĝeneraliĝas al AK-aj cirkvitoj.

Impedanco de rezistilo

Por rezistilo, oni havas la rilaton:

${\frac {v_{R}\left(t\right)}{i_{R}\left(t\right)}}=R$

Tio estas, la kvociento de la tuja tensio per kurento asociata kun rezistilo estas la kvanto de RK-a rezistanco notita per R. Ĉar R estas konstanta kaj reela, sekvas ke se v(t) estas sinusoida, i(t) estas ankaŭ sinusoida kun la sama frekvenco kaj fazo. Tiel, ni havas, ke la impedanco de rezistilo egalas al R:

$Z_{\mathrm {rezistilo} }={\frac {V_{r}}{I_{r}}}$ $=R\,$

Impedanco de kondensilo

Por kondensilo (kondensatoro), oni havas la rilaton:

$i_{C}(t)=C{\frac {dv_{C}(t)}{dt}}$

Nun, lasu ke

$v_{C}(t)=V_{p}sin\left(\omega t\right)$

Sekvas ke,

${\frac {dv_{C}(t)}{dt}}=\omega V_{p}cos\left(\omega t\right)$

Uzante vektoran notadon kaj la supran rezulton, oni skribas la unuan ekvacion kiel:

$I_{c}=j\omega CV_{c}\,$

Sekve la impedanco de kondensilo estas:

$Z_{\mathrm {kondensilo} }={\frac {V_{c}}{I_{c}}}={\frac {1}{j\omega C}}$

Impedanco de induktilo

Por induktilo, oni havas la rilaton:

$v_{L}(t)=L{\frac {di_{L}(t)}{dt}}$

Nun, lasu ke

$i_{L}(t)=I_{p}sin\left(\omega t\right)$

Sekvas ke,

${\frac {di_{L}(t)}{dt}}=\omega I_{p}cos\left(\omega t\right)$

Uzante vektoran notadon kaj la supran rezulton, oni skribas la unuan ekvacion kiel:

${\frac {V_{l}}{L}}=j\omega I_{l}\,$

Sekve la impedanco de kondensilo estas:

$Z_{\mathrm {induktilo} }={\frac {V_{l}}{I_{l}}}=j\omega L\,.$

Reaktanco

Estas grave noti, ke la impedanco de kondensilo aŭ induktilo estas funkcio de la frekvenco f  kaj estas imaginara kvanto; tamen ĝi estas certe reala fizika fenomeno rilatanta la ŝanĝon de fazo inter tensia kaj kurenta vektoroj pro la ekzisto de kondensilo aŭ induktilo. Pli frue estis montrite, ke la impedanco de rezistilo estas konstanta kaj reela, alivorte rezistilo ne kaŭzas fazan ŝanĝon inter tensio kaj kurento kiel faras kondensilo kaj induktilo. Kiam rezistiloj, kondensiloj, kaj induktiloj kombiniĝas en AK-a cirkvito, la impedanco de la individuaj komponantoj povas kombiniĝi en la sama maniero kiel la rezistancoj kombiniĝas en RK-a cirkvito. La rezulta ekvivalenta impedanco estas ĝenerale kompleksa kvanto. Tio estas, la ekvivalenta impedanco havas reelan parton kaj imaginaran parton. La reela parto notiĝas kiel R kaj la imaginara parto notiĝas kiel X. Tiel:

$Z_{\mathrm {eq} }=R_{\mathrm {eq} }+jX_{\mathrm {eq} }\,$

$R_{\mathrm {eq} }$ nomiĝas la rezistanca parto (mezurunuo omo, Ω) de impedanco dum $X_{\mathrm {eq} }$ nomiĝas la reaktanca parto (mezurunuo ankaŭ omo, Ω) de impedanco. Estas kutime nomi kondensilon aŭ induktilon reaktanco aŭ reaktancan komponanton (cirkvita elemento). Aldone, la impedanco de kondensilo estas negative imaginara, dum la impedanco de induktilo estas pozitive imaginara. Tiel kapacita reaktanco signifas negativan reaktancon, dum indukta reaktanco signifas pozitivan reaktancon.

Reakcia (aŭ reaktanca) komponanto distingiĝas de la fakto, ke la sinusoida tensio trans la komponanto estas en kvadraturo kun la sinusoida kurento tra la komponanto. Tio implicas, ke la komponanto alterne ensorbas energion de la cirkvito kaj poste desorbas, aŭ redonas, energion al la cirkvito. Tio signifas, malsame al rezistanco, ke reaktanco ne disipas povumon.

Estas instrue determini la valoron de kapacita reaktanco ĉe frekvencaj ekstremoj. Dum la frekvenco alproksimiĝas al nulo, la kapacita reaktanco kreskiĝas sen limo tiel ke kondensilo alproksimiĝas al malferma cirkvito por tre malaltferkvencaj sinusoidaj fontoj. Dum la frekvenco pliiĝas, la kapacita reaktanco alproksimiĝas al nulo tiel, ke kapacitilo alproksimiĝas al kurta cirkvito por tre altfrekvenca sinusoida fonto.

Konverse, la indukta reaktanco alproksimiĝas al nulo dum la frekvenco alproksimiĝas al nulo, tiel ke la induktilo alproksimiĝas al kurta cirkvito por tre malaltfrekvenca sinusoida fonto. Dum la frekvenco pliiĝas, la indukta reaktanco pliiĝas, tiel ke induktilo alproksimiĝas al malferma cirkvito por tre altfrekvenca sinusoida fonto.

Amplitudo kaj fazo de impedanco

Grafika reprezentado de la kompleksa impedanco

En kartezia formo, impedanco difiniĝas kiel

$Z=R+jX$

kie la reela parto de la impedanco estas la rezistanco $R$ kaj la imaginara parto estas la reaktanco $X$.

Kie necesas aldoni aŭ resti impedancon, la kartezia formo pli taŭgas; sed kiam kvantoj multiĝas aŭ dividiĝas, la kalkulo fariĝas pli simpla se oni uzas la polusan formon. Cirkvitkalkulo, kiel ekzemple trovado de la tuta impedanco de du impedancoj paralele, povas postuli konvertiĝon inter formoj plurajn fojojn dum la kalkulo. La diversaj skribnormoj sekvas la normalaj reguloj de kompleksaj nombroj.

La impedanco de du-polusa cirkvit-elemento estas reprezentita kiel kompleksa kvanto $Z$. La polusa formo oportune elmetas grandajn kaj fazajn trajtojn tiel:

$\ \ Z=\ |Z|\cdot e^{j\arg(Z)}$

$|Z|=\ {\sqrt {R^{2}+X^{2}}}\ \ \ ,\ \ \ \arg(Z)=\ \arctan({\frac {X}{R}})$

kie la modulo (amplitudo) $|Z|$ esprimas la rilatumon inter la amplekso de tensia diferenco kaj la kurenta amplekso, dum la argumento , per la arctan(X/R) (kutime la fazo estas donita per la simbolo $\varphi$), donas la fazan diferencon inter la tensio kaj la kurento.

$j$ estas la imaginara unuo, kaj uziĝas anstataŭ $i$ en ĉi tiu kunteksto por eviti konfuzon kun la simbolo pri elektra kurento.

Inversaj kvantoj

La admitanco estas la inverso de la impedanco:

$Y_{\mathrm {eq} }={\frac {1}{Z_{\mathrm {eq} }}}\,$

Se oni skribas:

$Y_{\mathrm {eq} }=G_{\mathrm {eq} }+jB_{\mathrm {eq} }\,\ ,$

kie $G_{\mathrm {eq} }$ estas la konduktanco kaj $B_{\mathrm {eq} }$ estas la susceptanco,

eblas kalkuli iliajn valorojn ekde la valoroj de la komponantoj de la impedanco $Z_{\mathrm {eq} }$ kun ĝia rezistanco kaj ĝia reaktanco .

$Y_{\mathrm {eq} }={\frac {1}{R_{\mathrm {eq} }+jX_{\mathrm {eq} }}}\,\ ,$

$Y_{\mathrm {eq} }={\frac {R_{\mathrm {eq} }-jX_{\mathrm {eq} }}{{R_{\mathrm {eq} }}^{2}+{X_{\mathrm {eq} }}^{2}}}\,\ ,$

sekvas ke:

$G_{\mathrm {eq} }={\frac {R_{\mathrm {eq} }}{{R_{\mathrm {eq} }}^{2}+{X_{\mathrm {eq} }}^{2}}}\,\ \ \ \mathrm {kaj} \ \ \ B_{\mathrm {eq} }={\frac {-X_{\mathrm {eq} }}{{R_{\mathrm {eq} }}^{2}+{X_{\mathrm {eq} }}^{2}}}\,\ .$

Vidu ankaŭ

• Elektra impedanco de Planck
• Impedanco de libera spaco
• Akustika impedanco
• Mekanika impedanco