Ramanujan-Vermutung

Im mathematischen Gebiet der Modulformen ist die Ramanujan-Vermutung eine von Ramanujan vermutete und von Deligne bewiesene Abschätzung für die Fourier-Koeffizienten der modularen Diskriminante, mit Anwendungen in Graphentheorie, Zahlentheorie, Darstellungstheorie und zahlreichen anderen Gebieten der Mathematik und Theoretischen Informatik. Es gibt auch Versionen für andere Modulformen (Ramanujan-Petersson-Vermutung).

Ramanujansche tau-Funktion

Die Dedekindsche η-Funktion wird für $z\in {\mathbb {H} }=\left\{z\in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} \,z>0\right\}$ als unendliches Produkt definiert:

$\eta (z):=e^{\pi iz/12}\prod _{n=1}^{\infty }(1-e^{2\pi inz})$.

Ihre 24-te Potenz ist die Diskriminante

$\Delta (z)=\eta (z)^{24}$.

Mit $q=\exp(2\pi iz)$ erhält man

$\Delta (z)=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}$,

was man in eine Potenzreihe in $q$

$q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}=\sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}$

entwickeln kann, deren Koeffizienten (die Fourierkoeffizienten in der q-Entwicklung) die Ramanujansche tau-Funktion

$\tau :\mathbb {N} \to \mathbb {Z}$

(Folge A000594 in OEIS) definieren.

Die ersten Werte sind:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$\tau (n)$	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

Ramanujan entdeckte viele arithmetische Eigenschaften der Tau-Funktion (wie Kongruenzen), die danach eine bedeutende Rolle in der Entwicklung der Theorie der Modulformen spielte (zum Beispiel in der Theorie der Hecke-Operatoren, wo die Werte der Tau-Funktion Eigenwerte der Hecke-Operatoren für die Diskriminante sind).

Ramanujan stellte 1916 mehrere Vermutungen über die Tau-Funktion auf, neben der unten erwähnten Ramanujan-Vermutung:

• $\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)$ für $\gcd(m,n)=1$ (das heißt die Tau-Funktion ist eine multiplikative Funktion)
• $\tau (p^{r+1})=\tau (p)\tau (p^{r})-p^{11}\tau (p^{r-1})$ für eine Primzahl p und $r>0$

Diese wurden 1917 von Louis Mordell bewiesen (mit Methoden der Theorie der Modulfunktionen, die Ramanujan nicht zur Verfügung standen).

Für die Tau-Funktionswerte gibt es auch sehr elegante symmetrische Formen, die in Zusammenhang mit bestimmten Potenzen der Dedekindschen Eta-Funktion stehen, wie Freeman Dyson in den 1970er Jahren fand, wobei die Potenzen, wie Ian G. Macdonald unabhängig um dieselbe Zeit fand, den Dimensionen endlich-dimensionaler einfacher Liealgebren entsprachen. Macdonald stellte Beziehungen zu affinen Wurzelsystemen von Liealgebren und klassischen Formeln von Hermann Weyl über Wurzelsysteme und Carl Gustav Jacobi (Jacobi-Tripelprodukt) her.

Eine der Formeln von Dyson lautet:

$\tau (n)={\frac {1}{1!\,2!\,3!\,4!}}\sum \prod _{i<j}(u_{i}-u_{j})$

wobei die Summe über alle ganzen Zahlen $u_{i}$ ($i=1,...,5$) ist mit $u_{i}=i\,mod\,5$, $\sum _{i=1}^{5}u_{i}=0$, $\sum _{i=1}^{5}u_{i}^{2}=10\,n$.

Ramanujan-Vermutung

Die Ramanujan-Vermutung besagt, dass für alle Primzahlen $p$ die Ungleichung

$|\tau (p)|\leq 2p^{11/2}$

und allgemeiner für alle natürlichen Zahlen $n$ die Ungleichung

$|\tau (n)|\leq d(n)n^{\frac {11}{2}}$

gilt, wobei $d(n)$ die Anzahl der Teiler von $n$ bezeichnet. Sie wurde 1974 von Pierre Deligne als Konsequenz der von ihm bewiesenen Weil-Vermutungen bewiesen.

Eine analoge Vermutung für Spitzenformen (Gewicht k) zu Kongruenzuntergruppen der Modulgruppe stammt von Hans Petersson (1938) (Ramanujan-Petersson-Vermutung). Wie bei der Diskriminante (Gewicht k=12) ist der Exponent ${\frac {k-1}{2}}$, nur für allgemeine k:

$|\tau (p)|\leq 2p^{\frac {k-1}{2}}$

Sie wurde ebenfalls von Deligne über die Weil-Vermutungen bewiesen. Es gibt auch Versionen für automorphe Formen im Langlands-Programm (Ilja Pjatetskij-Shapiro u. a.) und für Maass-Formen (unbewiesen).

Anwendungen

• Konstruktion von Ramanujan-Graphen: Lubotzky-Philips-Sarnak benutzten die Ramanujan-Vermutung um zu beweisen, dass gewisse Quotienten des p-adischen symmetrischen Raums $PGL(2,\mathbb {Q} _{p})/PGL(2,\mathbb {Z} _{p})$ Ramanujan-Graphen sind, also sehr gute Expander-Eigenschaften haben.
• Die Ramanujan-Vermutung kann umformuliert werden in eine Abschätzung der Eigenwerte von Hecke-Operatoren.
• Die Ramanujan-Vermutung kann umformuliert werden in eine Aussage über die zu $\Delta$ assoziierte automorphe Darstellung.

Trivia

Die Ramanujan-Vermutung war Teil des Logos des Internationalen Mathematikerkongresses 2010 in Hyderabad.

Literatur

• Alexander Lubotzky: Discrete groups, expanding graphs and invariant measures. With an appendix by Jonathan D. Rogawski. Progress in Mathematics, 125. Birkhäuser Verlag, Basel, 1994. ISBN 3-7643-5075-X
• Valentin Blomer, Farrell Brumley: The role of the Ramanujan conjecture in analytic number theory. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 50 (2013), no. 2, 267–320. online (pdf)
• Robert Alexander Rankin: Ramanujan's tau-function and its generalizations, in George E. Andrews (Hrsg.), Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Academic Press 1988, S. 245–268

Weblinks

• Brian Conrad: Modular forms, cohomology and the Ramanujan conjecture
• Tau-function, Mathworld