Ellipse

Ellipse mit Mittelpunkt $M$, Brennpunkten $F_{1}$ und $F_{2}$, Scheitelpunkten $S_{1},\dotsc ,S_{4}$, Hauptachse (rot) und Nebenachse (grün)

Eine Ellipse (rot) als Schnitt einer geneigten Ebene mit einem Kegel

Ellipse als Kegelschnitt.
Die Mittelachse des Kegels ist soweit geneigt, dass die Schnittebene einer vertikalen Linie entspricht; damit zeigt sich in der Seitenansicht von rechts die Ellipse in wahrer Größe.

Die Saturnringe erscheinen elliptisch.

Ellipsen sind in der Geometrie spezielle geschlossene ovale Kurven. Sie zählen neben den Parabeln und den Hyperbeln zu den Kegelschnitten. Eine anschauliche Definition ist die Definition der Ellipse als Punktmenge.

In der Natur treten Ellipsen in Form von ungestörten keplerschen Planetenbahnen um die Sonne auf. Auch beim Zeichnen von Schrägbildern werden häufig Ellipsen benötigt, da ein Kreis durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen auf eine Ellipse abgebildet wird (s. Ellipse (Darstellende Geometrie)).

Die Ellipse (von ‚Mangel‘) wurde von Apollonios von Perge (etwa 262–190 v. Chr.) eingeführt und benannt, die Bezeichnung bezieht sich auf die Exzentrizität $\varepsilon <1$.

Definition einer Ellipse als geometrischer Ort

Diese Grafik zeigt die im nachfolgenden Text verwendeten Bezeichnungen auf.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Ellipsen zu definieren. Neben der üblichen Definition über gewisse Abstände von Punkten ist es auch möglich, eine Ellipse als Schnittkurve zwischen einer entsprechend geneigten Ebene und einem Kegel zu bezeichnen (s. 1. Bild) oder als affines Bild des Einheitskreises.

Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte $P$ der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten $F_{1}$ und $F_{2}$ gleich einer gegebenen Konstante ist. Diese Konstante wird üblicherweise mit $2a$ bezeichnet. Die Punkte $F_{1}$ und $F_{2}$ heißen Brennpunkte:

$E=\{P\mid |PF_{2}|+|PF_{1}|=2a\}$

Um eine Strecke auszuschließen, setzt man voraus, dass $2a$ größer als der Abstand $|F_{1}F_{2}|$ der Brennpunkte ist. Falls die beiden Brennpunkte zusammenfallen, ist $E$ ein Kreis mit Radius $a$. Dieser einfache Fall wird in den folgenden Überlegungen oft stillschweigend ausgeschlossen, da die meisten Aussagen über Ellipsen im Kreisfall trivial werden.
Der Mittelpunkt $M$ der Strecke ${\overline {F_{1}F_{2}}}$ heißt Mittelpunkt der Ellipse. Die Gerade durch die Brennpunkte ist die Hauptachse und die dazu orthogonale Gerade durch $M$ die Nebenachse. Die beiden Ellipsenpunkte $S_{1},\;S_{2}$ auf der Hauptachse sind die Hauptscheitel. Der Abstand der Hauptscheitel zum Mittelpunkt ist $a$ und heißt die große Halbachse. Die beiden Ellipsenpunkte $S_{3},\;S_{4}$ auf der Nebenachse sind die Nebenscheitel und ihr Abstand zum Mittelpunkt die kleine Halbachse. Den Abstand $e$ der Brennpunkte zum Mittelpunkt nennt man die lineare Exzentrizität und $\varepsilon =e/a$ die numerische Exzentrizität. Anhand des Bildes erkennt man, dass $a^{2}=e^{2}+b^{2}$ gilt.

Ellipse: Definition mit Leitkreis

Die Gleichung $|PF_{2}|+|PF_{1}|=2a$ kann man auch so interpretieren: Wenn $c_{2}$ der Kreis um $F_{2}$ mit Radius $2a$ ist, dann ist der Abstand des Punktes $P$ zum Kreis $c_{2}$ gleich dem Abstand des Punktes zum Brennpunkt $F_{1}$:

$|PF_{1}|=|Pc_{2}|$

$c_{2}$ heißt Leitkreis der Ellipse bzgl. des Brennpunktes $F_{2}$. Diese Eigenschaft sollte man nicht verwechseln mit der Leitlinieneigenschaft einer Ellipse (s. unten).

Mit Hilfe Dandelinscher Kugeln beweist man, dass gilt:

• Jeder Schnitt eines Kegels mit einer Ebene, die nicht die Kegelspitze enthält und deren Neigung kleiner als die der Mantellinien des Kegels ist, ist eine Ellipse.

Ellipse in kartesischen Koordinaten

Gleichung

Führt man kartesische Koordinaten so ein, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt, die x-Achse die Hauptachse ist und

die Brennpunkte die Punkte $F_{1}=(e,0),\ F_{2}=(-e,0)$,

die Hauptscheitel $S_{1}=(a,0),\ S_{2}=(-a,0)$ sind,

so ergibt sich für einen beliebigen Punkt $(x,y)$ der Abstand zum Brennpunkt $(e,0)$ als ${\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}$ und zum zweiten Brennpunkt ${\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}$. Also liegt der Punkt $(x,y)$ genau dann auf der Ellipse, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:

${\sqrt {(x-e)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+e)^{2}+y^{2}}}=2a$

Nach Beseitigung der Wurzeln durch geeignetes Quadrieren und Verwenden der Beziehung $b^{2}=a^{2}-e^{2}$ (s. o.) erhält man die Gleichung

• ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ oder nach y aufgelöst

$y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}.$

$S_{3}=(0,b),\;S_{4}=(0,-b)$ sind die Nebenscheitel. Aus der Beziehung $b^{2}=a^{2}-e^{2}$ erhält man die Gleichungen

• $e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ und $\varepsilon ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\ .$

Daraus ergeben sich noch die Beziehungen

$b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}$

$p=a\cdot (1-\varepsilon ^{2})$

Ist $a=b$, so ist $\varepsilon =0$ und die Ellipse ein Kreis.
Ist $b=e$, so ist $\varepsilon ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$, und man nennt die Ellipse eine gleichseitige Ellipse oder Ellipse schönster Form.

Eine Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung und den Brennpunkten auf der x-Achse heißt auch in 1. Hauptlage. Wenn hier die obige Ellipsengleichung erwähnt wird, wird immer angenommen dass $a\geq b$ und damit die Ellipse in 1. Hauptlage ist, was im „realen Leben“ aber nicht sein muss. Da kann durchaus auch $a<b$ vorkommen, was bedeutet, dass die Ellipse sich in 2. Hauptlage befindet (die Brennpunkte liegen auf der y-Achse).

Aufgrund der Definition einer Ellipse gilt:

• Eine Ellipse ist symmetrisch zu ihren Achsen und damit auch zu ihrem Mittelpunkt.

(Die Symmetrieeigenschaft lässt sich auch leicht an der hier abgeleiteten Gleichung einer Ellipse erkennen.)

Halbparameter

Die halbe Länge $p$ einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter, manchmal auch nur Parameter $p$ oder auch semi-latus rectum (die Hälfte des latus rectum = $2\cdot p$) der Ellipse. Mit Hilfe der Gleichung einer Ellipse rechnet man leicht nach, dass

$p={\frac {b^{2}}{a}}$

gilt. Der Halbparameter hat noch die zusätzliche Bedeutung (s. unten): Der Krümmungsradius in den Hauptscheiteln ist $p$.

Tangente

Die einfachste Weise, die Gleichung der Tangente in einem Ellipsenpunkt $(x_{0},y_{0})$ zu bestimmen, ist, die Gleichung ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ der Ellipse implizit zu differenzieren. Hiermit ergibt sich

${\frac {2x}{a^{2}}}+{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0\ \rightarrow \ y'=-{\frac {x}{y}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\ \rightarrow \ y=-{\frac {x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x-x_{0})+y_{0}.$

Berücksichtigt man ${\tfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1$, erhält man die Gleichung der Tangente im Punkt $(x_{0},y_{0})$:

• ${\frac {x_{0}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{0}}{b^{2}}}y=1$

Oder in Vektorform:

• ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}}+s\;{\begin{pmatrix}-ay_{0}/b\\bx_{0}/a\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad s\in \mathbb {R}$

Gleichung einer verschobenen Ellipse

Verschiebt man die obige Ellipse so, dass der Mittelpunkt der Punkt $(m_{1},m_{2})$ ist ergibt sich die Mittelpunktsform einer Ellipse, deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsen sind:

• ${\frac {(x-m_{1})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-m_{2})^{2}}{b^{2}}}=1$

Parameterdarstellungen

Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die Sinus- und Kosinus-Funktion. Wegen $\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1$ beschreibt

• $(a\cos t,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi$

die Ellipse ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .$

Verschiedene Möglichkeiten, den Parameter $t$ geometrisch zu interpretieren, werden im Abschnitt Ellipsen zeichnen angegeben.

Mit der Substitution $u=\tan(t/2)$ und trigonometrischen Formeln erhält man

$\cos t=(1-u^{2})/(u^{2}+1)\ ,\quad \sin t=2u/(u^{2}+1)$

und damit die rationale Parameterdarstellung einer Ellipse:

• ${\begin{array}{lcl}x(u)&=&a(1-u^{2})/(u^{2}+1)\\y(u)&=&2bu/(u^{2}+1)\end{array}}$

Eine verschobene Ellipse mit Mittelpunkt $(m_{1},m_{2})$ wird durch

• $(m_{1}+a\cos t\;,\;m_{2}+b\sin t),\ 0\leq t<2\pi$

beschrieben.

Eine Parameterdarstellung einer beliebigen Ellipse ist in dem Abschnitt Ellipse als affines Bild des Einheitskreises enthalten.

Eigenschaften

Brennpunkteigenschaft

→ Hauptartikel: Brennpunkt (Geometrie)

Brennpunktseigenschaft

Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie, Leitstrahl oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der Eigenschaft, dass

• der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse durch die Normale in diesem Punkt halbiert wird. Damit ist der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet, gleich dem Ausfallswinkel, den die Tangente mit dem anderen Brennstrahl bildet.

Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, wird demnach an der Ellipsentangente so reflektiert, dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt.

Da der Weg von einem zum anderen Brennpunkt (entlang zweier zusammengehöriger Brennstrahlen) immer gleich lang ist, wird z. B. Schall nicht nur „verstärkt“ (siehe unten) von einem zum anderen Brennpunkt übertragen, sondern kommt sogar zeit- und phasengleich (also verständlich und nicht interferierend) dort an.

Zwei Ellipsen mit denselben Brennpunkten $F_{1},\;F_{2}$ nennt man konfokal. Durch jeden Punkt, der nicht zwischen den Brennpunkten liegt, gibt es genau eine Ellipse mit den Brennpunkten $F_{1},\;F_{2}$. Zwei konfokale Ellipsen haben keinen Schnittpunkt (s. Definition einer Ellipse).

Beweis:

Da die Tangente senkrecht zur Normalen verläuft, ist die obige Behauptung bewiesen, wenn die analoge Aussage für die Tangente gilt:

Die Tangente halbiert den Außenwinkel der Brennstrahlen

• Der Außenwinkel der Brennstrahlen ${\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}$ in einem Ellipsenpunkt $P$ wird von der Tangente in diesem Punkt halbiert (s. Bild).

Es sei $L$ der Punkt auf der Geraden ${\overline {PF_{2}}}$ mit dem Abstand $2a$ zum Brennpunkt $F_{2}$ ($a$ ist die große Halbachse der Ellipse). Die Gerade $w$ sei die Winkelhalbierende der Außenwinkel der Brennstrahlen ${\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}$. Um nachzuweisen, dass $w$ die Tangente ist, zeigt man, dass auf $w$ kein weiterer Ellipsenpunkt liegen kann. Anhand der Zeichnung und der Dreiecksungleichung erkennt man, dass

$|QF_{2}|+|QF_{1}|=|QF_{2}|+|QL|>|LF_{2}|=2a$

gilt. Dies bedeutet, dass $|QF_{2}|+|QF_{1}|>2a$ ist. Wenn $Q$ ein Punkt der Ellipse wäre, müsste die Summe aber gleich $2a$ sein.

Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik:

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich – mit den Ohren – in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Diese Art der Schallübertragung funktioniert in einigen Stationen der Pariser Métro sogar von Bahnsteig zu Bahnsteig. Das gleiche Prinzip der Schallfokussierung wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet. Auch im lampengepumpten Nd:YAG-Laser wird ein Reflektor in Form einer Ellipse verwendet. Die Pumpquelle – entweder eine Blitzlampe oder eine Bogenlampe – wird in dem einen Brennpunkt positioniert, und der dotierte Kristall wird in den anderen Brennpunkt gelegt.

Direktrix

Ellipse mit Leitlinien

Für eine echte Ellipse, d. h. $e>0$, bezeichnet man eine Parallele zur Nebenachse im Abstand $a^{2}/e$ als Direktrix oder Leitlinie. Für einen beliebigen Punkt $P$ der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix $d$ auf der entsprechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrizität:

$|PF_{1}|:|Pd_{1}|=|PF_{2}|:|Pd_{2}|=\varepsilon .$ Es ist $\varepsilon >0.$

Der Beweis für die Ellipse mit der Gleichung ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ und das Paar $F_{1},\;d_{1}$ folgt aus der Tatsache, dass $|PF_{1}|^{2}=(x-e)^{2}+y^{2},\ |Pd_{1}|^{2}=(x-{\tfrac {a^{2}}{e}})^{2}$ und $y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}$ die Gleichung

$|PF_{1}|^{2}-{\frac {e^{2}}{a^{2}}}|Pd_{1}|^{2}=0$

erfüllen. Den 2. Fall beweist man analog.

Die Umkehrung dieser Aussage gilt auch und kann zu einer weiteren Definition einer Ellipse benutzt werden (ähnlich wie bei einer Parabel):

• Für einen Punkt $F$ (Brennpunkt), eine Gerade $d$ (Leitlinie) nicht durch $F$ und eine reelle Zahl $\varepsilon$ mit $0<\varepsilon <1$ ist die Menge der Punkte (geometrischer Ort), für die der Quotient der Abstände zu dem Punkt $F$ und der Geraden $d$ gleich $\varepsilon$ ist, eine Ellipse:

$E=\{P\mid {\frac {|PF|}{|Pd|}}=\varepsilon \}$

Die Wahl $\varepsilon =0$, also die Exzentrizität eines Kreises, ist in diesem Zusammenhang nicht erlaubt. Man kann als Leitlinie eines Kreises die unendlich entfernte Gerade auffassen.

Kegelschnittschar mit einem gemeinsamen Scheitel und einem gemeinsamen Halbparameter

Beweis:

Es sei $F=(f,0),\ \varepsilon >0$ und $(0,0)$ ein Punkt der Kurve. Die Leitlinie $d$ hat die Gleichung $x=-{\tfrac {f}{\varepsilon }}$. Mit $P=(x,y)$ und der Beziehung $|PF|^{2}=\varepsilon ^{2}|Pd|^{2}$ ergibt sich

$(x-f)^{2}+y^{2}=\varepsilon ^{2}(x+{\tfrac {f}{\varepsilon }})^{2}=(\varepsilon x+f)^{2}$ und $x^{2}(\varepsilon ^{2}-1)+2xf(1+\varepsilon )-y^{2}=0.$

Die Substitution $p=f(1+\varepsilon )$ liefert

• $x^{2}(\varepsilon ^{2}-1)+2px-y^{2}=0.$

Dies ist die Gleichung einer Ellipse ($\varepsilon <1$) oder einer Parabel ($\varepsilon =1$) oder einer Hyperbel ($e>1$). All diese nicht-ausgearteten Kegelschnitte haben den Ursprung als Scheitel gemeinsam (s. Bild).

Für $\varepsilon <1$ führt man neue Parameter $a,b$ ein, sodass $1-\varepsilon ^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ und }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}$ ist. Die obige Gleichung wird dann zu

${\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,$

was die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt $(a,0)$, der x-Achse als Hauptachse und den Halbachsen $a,b$ ist.

Allgemeiner Fall:

Für den Brennpunkt $F=(f_{1},f_{2})$ und die Leitlinie $ux+vy+w=0$ erhält man die Gleichung

$\left(x-f_{1}\right)^{2}+\left(y-f_{2}\right)^{2}=\varepsilon ^{2}\cdot {\frac {\left(ux+vy+w\right)^{2}}{u^{2}+v^{2}}}.$

Die rechte Seite der Gleichung benutzt die Hessesche Normalform einer Geraden, um den Abstand eines Punktes von einer Gerade zu berechnen.

Konjugierte Durchmesser

Ellipse mit zwei konjugierten Durchmessern

Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer Ellipsensehne durch den Ellipsenmittelpunkt) ${\overline {PP'}}$ alle parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser ${\overline {QQ'}}$. Man nennt ${\overline {QQ'}}$ den zu ${\overline {PP'}}$ konjugierten Durchmesser. Bildet man zum konjugierten Durchmesser erneut den konjugierten Durchmesser, so erhält man wieder den ursprünglichen Ellipsendurchmesser. In der Zeichnung stimmt also der zu ${\overline {QQ'}}$ konjugierte Durchmesser mit dem ursprünglichen Durchmesser ${\overline {PP'}}$ überein. Der zu einer Achse konjugierte Durchmesser ist die andere Achse. Konjugierte Durchmesser eines Kreises sind orthogonal.

Eine Anwendungsmöglichkeit im Bereich des technischen Zeichnens besteht in der Möglichkeit, den höchsten Punkt einer Ellipse oder eines Ellipsenbogens beliebiger Lage über einer Linie zu finden – nützlich z. B. für korrekte 2D-Darstellungen nicht-orthogonaler Ansichten zylindrischer Körper oder abgerundeter Kanten ohne Verwendung von 3D-Programmen. Wichtig ist dies für den sauberen Anschluss tangential von der Ellipse weg laufender Linien. Hierzu sind in die Ellipse oder den Ellipsenbogen zwei Sehnen parallel zur gewünschten Tangentenrichtung und die durch die Mittelpunkte der beiden Sehnen definierte Linie des zugehörigen konjugierten Durchmessers einzuzeichnen. Der Schnittpunkt dieser Linie mit der Ellipse oder dem Ellipsenbogen definiert den Anschlusspunkt der Tangente (und normaler Weise den Endpunkt des Ellipsenbogens).

Ellipse mit orthoptischer Kurve (lila)

Orthogonale Tangenten

→ Hauptartikel: Orthoptische Kurve

Für die Ellipse ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ liegen die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten auf dem Kreis $x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$.

Diesen Kreis nennt man die orthoptische Kurve der gegebenen Ellipse, es ist der Umkreis des Rechtecks, das die Ellipse umschreibt.

Pol-Polare-Beziehung

Jede Ellipse kann in einem geeigneten Koordinatensystem durch eine Gleichung ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ beschrieben werden. Die Gleichung einer Tangente in einem Punkt $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ an die Ellipse ist ${\tfrac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{0}y}{b^{2}}}=1.$ Lässt man zu, dass $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ ein beliebiger vom Ursprung verschiedener Punkt ist, dann wird

• der Punkt $P_{0}=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)$ auf die Gerade ${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$ abgebildet, die den Mittelpunkt der Ellipse nicht enthält.

Diese Punkt-Gerade-Beziehung ist eine Bijektion.

Ellipse: Pol-Polare-Beziehung

Die inverse Funktion bildet die

• die Gerade $y=mx+d,\ d\neq 0$ auf den Punkt $\left(-{\frac {ma^{2}}{d}},{\frac {b^{2}}{d}}\right)$ ab und

die Gerade $x=c,\ c\neq 0\;,$ auf den Punkt $\left({\frac {a^{2}}{c}},0\right)\ .$

Eine solche Beziehung zwischen Punkten und Geraden, die durch einen Kegelschnitt vermittelt wird, nennt man Pol-Polare-Beziehung oder einfach Polarität. Dabei ist der Punkt der Pol und die Gerade die Polare. Siehe Pol und Polare.

Durch Nachrechnen überzeugt man sich von den folgenden Eigenschaften einer Pol-Polare-Beziehung einer Ellipse:

• Für einen Punkt (Pol) auf der Ellipse ist die Tangente in diesem Punkt die Polare (s. Bild: $P_{1},\ p_{1}$).
• Für einen Pol $P$ außerhalb der Ellipse sind die Schnittpunkte seiner Polaren mit der Ellipse die Berührpunkte der Tangenten durch $P$ an die Ellipse (s. Bild: $P_{2},\ p_{2}$).
• Für einen Punkt innerhalb der Ellipse hat die Polare keinen Punkt mit der Ellipse gemeinsam. (s. Bild: $F_{1},\ l_{1}$).

Bemerkungen:

1. Der Schnittpunkt zweier Polaren ist der Pol der Geraden durch die Pole.
2. Der Brennpunkt $(e,0),$ und die Leitlinie $x={\tfrac {a^{2}}{e}}$ sind ein Pol-Polaren-Paar.

Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für Hyperbeln und Parabeln.

Ellipse als affines Bild des Einheitskreises

Ellipse als affines Bild des Einheitskreises

Eine andere Definition der Ellipse benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist die Ellipse als affines Bild des Einheitskreises definiert. Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form ${\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}$, wobei $A$ eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und ${\vec {f}}_{0}$ ein beliebiger Vektor ist. Sind ${\vec {f}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}$ die Spaltenvektoren der Matrix $A$, so wird der Einheitskreis $(\cos t,\sin t),0\leq \ t\leq 2\pi ,$ auf die Ellipse

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t$

abgebildet. ${\vec {f}}_{0}$ ist der Mittelpunkt und ${\vec {f}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}$ sind zwei konjugierte Halbmesser (s. u.) der Ellipse. ${\vec {f}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}$ stehen i. A. nicht senkrecht aufeinander. D. h., ${\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}$ und ${\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{2}$ sind i. A. nicht die Scheitel der Ellipse. Diese Definition einer Ellipse liefert eine einfache Parameterdarstellung (s. u.) einer beliebigen Ellipse.

Da in einem Scheitel die Tangente zum zugehörigen Ellipsendurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Ellipsenpunkt ${\vec {p}}'(t)=-{\vec {f}}_{1}\sin t+{\vec {f}}_{2}\cos t$ ist, ergibt sich der Parameter $t_{0}$ eines Scheitels aus der Gleichung

${\vec {p}}'(t)\cdot ({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0})=(-{\vec {f}}_{1}\sin t+{\vec {f}}_{2}\cos t)\cdot ({\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t)=0$

und damit aus $\cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}$.
(Es wurden die Formeln $\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ 2\sin t\cos t=\sin 2t$ benutzt.)

Falls ${\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}=0$ ist, ist $t_{0}=0$ und die Parameterdarstellung schon in Scheitelform.

Die 4 Scheitel der Ellipse sind ${\vec {p}}(t_{0}),{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),{\vec {p}}(t_{0}+\pi ).$

Die Scheitelform der Parameterdarstellung der Ellipse ist

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+({\vec {p}}(t_{0})-{\vec {f}}_{0})\cos(t-t_{0})+({\vec {p}}(t_{0}+{\tfrac {\pi }{2}})-{\vec {f}}_{0})\sin(t-t_{0}).$

Beispiele:

Ellipse: Transformation auf Scheitelform (Beispiel 3)

1. ${\vec {f}}_{0}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{1}={\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\b\end{pmatrix}}$ liefert die übliche Parameterdarstellung der Ellipse mit der Gleichung ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1:\quad {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\begin{pmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{pmatrix}}$.
2. ${\vec {f}}_{0}={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{1}={\begin{pmatrix}a\cos \varphi \\a\sin \varphi \end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{2}={\begin{pmatrix}-b\sin \varphi \\b\cos \varphi \end{pmatrix}}$ liefert die Parameterdarstellung der Ellipse, die aus ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ durch Drehung um den Winkel $\varphi$ und anschließende Verschiebung um ${\vec {f}}_{0}$ hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform. D. h., ${\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}$ und ${\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{2}$ sind die Scheitel der Ellipse.
3. Die Parameterdarstellung

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\0\end{pmatrix}}\cos t+{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\sin t$

einer Ellipse ist nicht in Scheitelform.

Der Scheitelparameter ergibt sich aus $\cot(2t_{0})=-{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}$ zu $t_{0}=-{\tfrac {\pi }{6}}$.

Die Scheitelform der Parameterdarstellung ist:

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\begin{pmatrix}\ 1\\-1\end{pmatrix}}\cos(t+{\tfrac {\pi }{6}})+{\sqrt {3}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\sin(t+{\tfrac {\pi }{6}})$

Die Scheitel sind: $(1,-1),(-1,1),({\sqrt {3}},{\sqrt {3}}),(-{\sqrt {3}},-{\sqrt {3}})$ und

die Halbachsen: $a={\sqrt {2}},\ b={\sqrt {6}}.$

Bemerkung: Sind die Vektoren ${\vec {f}}_{0},\;{\vec {f}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}$ aus dem $\mathbb {R} ^{3}$, so erhält man eine Parameterdarstellung einer Ellipse im Raum.

Peripheriewinkelsatz und 3-Punkteform für Ellipsen

Kreise

Kreis: Peripheriewinkelsatz

Ein Kreis mit der Gleichung $(x-c)^{2}+(y-d)^{2}=r^{2},\ r>0$ ist durch drei Punkte $(x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})$ nicht auf einer Geraden eindeutig bestimmt. Eine einfache Methode, die Parameter $c,d,r$ zu bestimmen, benutzt den Peripheriewinkelsatz für Kreise:

Vier Punkte $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,4$ (s. Bild) liegen genau dann auf einem Kreis, wenn die Winkel bei $P_{3}$ und $P_{4}$ gleich sind.

Üblicherweise misst man einen einbeschriebenen Winkel in Grad oder Radiant. Um die Gleichung eines Kreises durch 3 Punkte zu bestimmen, ist das folgende Winkelmaß geeigneter:

• Um den Winkel zwischen zwei Geraden mit den Gleichungen $y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2}$ zu messen, wird hier der folgende Quotient benutzt:

${\frac {1+m_{1}\cdot m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}$

Dieser Quotient ist der Kotangens des Schnittwinkels der beiden Geraden.

Peripheriewinkelsatz für Kreise:

Für vier Punkte $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,4$ keine drei auf einer Geraden (s. Bild) gilt:

Die vier Punkte liegen genau dann auf einem Kreis, wenn die Winkel bei $P_{3}$ und $P_{4}$ im obigen Winkelmaß gleich sind, d. h., wenn:

${\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}$

Das Winkelmaß ist zunächst nur für Sekanten, die nicht parallel zur y-Achse sind, verfügbar. Die angegebene vereinfachte Formel ist aber schließlich auch für diese Ausnahmen gültig.

Eine Folge des Peripheriewinkelsatzes in dieser Form ist:

3-Punkteform einer Kreisgleichung:

Die Gleichung des Kreises durch die 3 Punkte $P_{i}=(x_{i},y_{i})$ nicht auf einer Geraden ergibt sich durch Umformung der Gleichung (Beseitigung der Nenner und quadratische Ergänzung):

${\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}$

Beispiel:

Für $P_{1}=(2,0),\;P_{2}=(0,1),\;P_{3}=(0,0)$ ergibt sich zunächst die 3-Punkteform

${\frac {(x-2)x+y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0$ und schließlich $(x-1)^{2}+(y-1/2)^{2}=5/4\ .$

Ellipsen

In diesem Abschnitt werden nur Ellipsen betrachtet mit Gleichungen

${\frac {(x-c)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-d)^{2}}{b^{2}}}=1\quad \leftrightarrow \quad (x-c)^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}(y-d)^{2}=a^{2},\quad c,d,\in \mathbb {R} ,\ a>0\ ,$

für die der Quotient ${\tfrac {a^{2}}{b^{2}}}$ fest (invariant) ist. Mit der Abkürzung ${\color {blue}q}={\tfrac {a^{2}}{b^{2}}}$ erhält man die geeignetere Form

• $(x-c)^{2}+{\color {blue}q}\;(y-d)^{2}=a^{2},\quad c,d\in \mathbb {R} ,\quad a>0$ und $q>0$ fest.

Die Achsen solcher Ellipsen sind parallel zu den Koordinatenachsen und ihre Exzentrizität (s. oben) ist fest. Die Hauptachse ist parallel zur x-Achse, falls $q>1$ ist, und parallel zur y-Achse, falls $q<1$ ist.

Ellipse: Peripheriewinkelsatz

Wie beim Kreis ist so eine Ellipse durch drei Punkte nicht auf einer Geraden eindeutig bestimmt.

Für diesen allgemeineren Fall führt man das folgende Winkelmaß ein:

• Um den Winkel zwischen zwei Geraden mit den Gleichungen $y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2}$ zu messen, wird hier der folgende Quotient benutzt:

${\frac {1+{\color {blue}q}\;m_{1}\cdot m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}$

Peripheriewinkelsatz für Ellipsen:

Für vier Punkte $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,4$ keine drei auf einer Geraden (s. Bild) gilt:

Die vier Punkte liegen genau dann auf einer Ellipse mit der Gleichung $(x-c)^{2}+q\;(y-d)^{2}=a^{2}$, wenn die Winkel bei $P_{3}$ und $P_{4}$ im obigen Winkelmaß gleich sind, d. h., wenn:

${\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}$

Das Winkelmaß ist zunächst nur für Sekanten, die nicht parallel zur y-Achse sind, verfügbar. Die angegebene vereinfachte Formel ist aber schließlich auch für diese Ausnahmen gültig.

Der Beweis ergibt sich durch einfaches Nachrechnen. Dabei kann man im Fall „Punkte auf einer Ellipse …“ annehmen, dass der Mittelpunkt der Ellipse der Ursprung ist.

Eine Folge des Peripheriewinkelsatzes in dieser Form ist:

3-Punkteform einer Ellipsengleichung:

Die Gleichung der Ellipse durch die 3 Punkte $P_{i}=(x_{i},y_{i})$ nicht auf einer Geraden ergibt sich durch Umformung der Gleichung (Beseitigung der Nenner und quadratische Ergänzung):

${\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+{\color {blue}q}\;({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}$

Beispiel:

Für $P_{1}=(2,0),\;P_{2}=(0,1),\;P_{3}=(0,0)$ und $q=4$ ergibt sich zunächst die 3-Punkteform

${\frac {(x-2)x+4y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0$ und schließlich ${\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(y-1/2)^{2}}{1/2}}=1$.

Ellipsen zeichnen

Würfel mit Kreisen in Vogelperspektive

Ellipsen treten in der darstellenden Geometrie als Bilder von Kreisen auf. Es ist also wichtig, geeignete Werkzeuge zur Verfügung zu haben, mit denen man Ellipsen zeichnen kann. Es gibt im Wesentlichen drei Typen von Verfahren, mit denen Ellipsen gezeichnet werden:

• einzelne Punkte, die man mit einem Kurvenlineal zu einer glatten Kurve verbindet,
• stetige Konstruktionen, die man technisch als Ellipsenzirkel realisieren kann und
• eine Approximation einer Ellipse mit Hilfe ihrer Scheitelkrümmungskreise und eines Kurvenlineals.

Den meisten Ellipsenzirkeln liegen die unten beschriebenen zwei Papierstreifenmethoden zugrunde. Diese waren schon den Griechen (Archimedes und Proklos) bekannt, wie man auch und vieles andere mehr in dem eigenständigen Artikel Ellipsograph des Archimedes nachlesen kann. Wenn kein Ellipsenzirkel zur Verfügung steht, ist die Approximation mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise die schnellste und beste Methode, eine Ellipse zu zeichnen.

Für jede hier beschriebene Methode ist

• die Kenntnis der beiden (Symmetrie-) Achsen und der Halbachsen $a,b$ erforderlich.

Ist dies nicht der Fall, was in der darstellenden Geometrie oft vorkommt, so muss man wenigstens den Mittelpunkt und zwei konjugierte Halbmesser kennen. Mit Hilfe der Rytz-Konstruktion lassen sich dann die Scheitel und damit die Achsen und Halbachsen ermitteln. Nur die Parallelogramm-Methode (s. unten) bietet die Möglichkeit, zu zwei konjugierten Halbmessern direkt (ohne Rytz) einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren.

Ellipse: Gärtner-Konstruktion

Gärtner-Konstruktion

Die definierende Eigenschaft einer Ellipse (Summe der Abstände zu zwei Punkten ist konstant) bietet eine einfache und stetige Möglichkeit, eine Ellipse zu zeichnen. Hierzu benötigt man einen Faden der Länge $2a$ und zwei Reißbrettstifte (oder Nägel, Stifte, …), um die beiden Enden des Fadens in den Brennpunkten der zu zeichnenden Ellipse zu befestigen. Führt man einen Stift mit Hilfe des gespannten Fadens (s. Bild) über die Zeichenfläche, so entsteht die durch die Länge des Fadens und die Lage der Brennpunkte definierte Ellipse. Diese einfache Methode gibt Gärtnern die Möglichkeit, ellipsenförmige Beete anzulegen, was der Methode den Namen gab.

Eine Variation der Gärtner-Konstruktion zur Konstruktion konfokaler Ellipsen geht auf den irischen Bischof Charles Graves (en) zurück.

Ellipsenzirkel des Frans van Schooten

Ellipsenzirkel des Frans van Schooten, Animation siehe

Im Jahr 1657 veröffentlichte Frans van Schooten in seinem Werk EXERCITATIONUM MATHEMATICARUM LIBRI QUINQUE. in LIBER IV. die Methode Gärtner-Konstruktion und ein paar Seiten weiter einen Ellipsenzirkel. Basis für den Ellipsenzirkel ist die Gärtner-Konstruktion.

Die Hauptelemente des Ellipsenzirkels sind die fünf gleich langen Stäbe mit ihren Gelenkpunkt-Abständen $|IO|$, $|OG|$, $|GP|$, $|PI|$ und $|GH|$ sowie der deutlich längere Diagonalstab ab $O$ durch $P$ mit dem Klemmelement $Q$ für den Spielausgleich. Der Stab mit den Gelenkpunkt-Abstand $|GH|$ und der Diagonalstab überkreuzen sich im Punkt $E$ und sind über Führungsnuten mithilfe eines sogenannten Gleitsteins dreh- und schiebbar verbunden. In diesem Gleitstein ist auch der Zeichenstift und ggf. der Handgriff montiert. Der zweite Gleitstein befindet sich im Gelenkpunkt $P$. In den Gelenkpunkten $H$ und $I$ des Ellipsenzirkels sind die Zirkelnadeln befestigt. Die Länge z. B. des Stabes $|IO|$ bestimmt die Länge der Hauptachse $|KL|$, der Abstand der Gelenkpunkte $H$ und $I$ legt die Länge der Nebenachse fest.

Um eine Ellipse zu zeichnen, sticht man zuerst zur Lagebestimmung des Ellipsenzirkels die Zirkelnadeln der Gelenkpunkte $H$ und $I$ in die Brennpunkte der Ellipse und zieht anschließend mithilfe des Handgriffs oder ggf. nur mit dem Zeichenstift die Ellipsenlinie.

Parameterdarstellung mit Sinus und Kosinus

Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die Sinus- und Kosinusfunktion. Wegen $\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1$ beschreibt

• $(a\cos t,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi$

die Ellipse ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .$ Mit Hilfe dieser Darstellung lassen sich die folgenden Ellipsenkonstruktionen leicht verstehen.

Punktkonstruktion nach de La Hire

Die auf de La Hire zurückgehende Punktkonstruktion benutzt die beiden Scheitelkreise, das sind die Kreise um den Mittelpunkt der Ellipse mit den Halbachsen $a,\;b$ als Radien. Der Parameter $t$ wird hier als der Steigungswinkel eines von $M$ ausgehenden Strahls interpretiert. Mit der in der Zeichnung angegebenen Methode wird ein Punkt mit den Koordinaten $(a\cos t,b\sin t)$, also ein Ellipsenpunkt, konstruiert.

• 
  Ellipse nach de La Hire
• 
  Animation der de-La-Hire-Methode

Papierstreifenmethoden

Die beiden Papierstreifenmethoden verwenden zwei weitere Möglichkeiten der geometrischen Interpretation des Parameters $t$ der obigen Parameterdarstellung einer Ellipse. Sie liefern die Grundlagen der meisten Ellipsenzirkel.

1. Methode

Die erste Methode verwendet

• einen Papierstreifen der Länge $a+b$.

Der Punkt, in dem sich die Halbachsen treffen, wird mit $P$ markiert. Wenn der Streifen nun so bewegt wird, dass die beiden Enden jeweils auf einer Achse gleiten, überstreicht der Punkt $P$ die zu zeichnende Ellipse. Der Beweis ergibt sich aus der Parameterdarstellung $(a\cos t,\;b\sin t)$ und der Interpretation des Parameters als Winkel des Papierstreifens mit der x-Achse (s. Bild).

Eine technische Realisierung des gleitenden Streifens kann man auch mit Hilfe eines Paares cardanischer Kreise erreichen (s. Animation). Der große Kreis hat den Radius $a+b$.

• 
  Ellipse: 1. Papierstreifenmethode
• 
  Ellipsen (rot, cyan) mit cardanischen Kreisen

Eine Variation der 1. Papierstreifenmethode geht von der Beobachtung aus, dass der Mittelpunkt $N$ des Papierstreifens sich auf dem Kreis mit Mittelpunkt $M$ und Radius ${\tfrac {a+b}{2}}$ bewegt. Man kann also den Papierstreifen in der Mitte (Punkt $N$) trennen und an dieser Stelle ein Gelenk einfügen und den zuvor auf der y-Achse gleitenden Punkt in den Mittelpunkt der Ellipse verlegen. Nach dieser Operation bleibt das abgeknickte Ende des Papierstreifens fest (im Punkt $M$) und der unveränderte Teil des Streifens samt dem Punkt $P$ bewegt sich wie zuvor. Der Vorteil dieser Variation ist: Man benötigt nur einen technisch anspruchsvollen Gleitschuh. Auch gegenüber der cardanischen Realisierung der 1. Papierstreifenmethode ist diese Variation technisch einfacher.
Man beachte, dass immer dasjenige Ende des Streifens, das auf der Nebenachse gleitet, in den Mittelpunkt verlegt wird!

• 
  Abgeknickter Papierstreifen
• 
  Animation mit abgeknicktem Papierstreifen

Ellipse: 2. Papierstreifenmethode

2. Methode:

Die zweite Papierstreifenmethode geht von einem

• Papierstreifen der Länge $a$

aus. Man markiert den Punkt, der den Streifen in zwei Teile der Längen $b$ und $a-b$ zerlegt. Der Streifen wird so auf den Achsen positioniert, wie im Bild zu sehen ist. Der Teil, der die Länge $a-b$ besitzt, liegt zwischen den Achsen. Das freie Ende $P$ beschreibt dann die zu zeichnende Ellipse. Der Beweis ergibt sich aus der Zeichnung: Der Punkt $P$ kann durch die Parameterdarstellung $(a\cos t,\;b\sin t)$ beschrieben werden. Dabei ist $t$ der Steigungswinkel des Papierstreifens.

Diese Methode benötigt zu ihrer technischen Realisierung auch zwei Gleitschuhe, ist aber flexibler als die erste Papierstreifenmethode. Sie ist die Grundlage für viele Ellipsenzirkel (s. Weblink Ellipsenzirkel).

Bemerkung: Auch hier ist eine Variation durch Abknicken des Streifenteils zwischen den Achsen möglich. Es ist dann, wie bei der ersten Methode, nur ein Gleitschuh nötig.

• 
  Animation der 2. Papierstreifenmethode
• 
  Ellipsenzirkel von Benjamin Bramer
• 
  Abgeknickter Papierstreifen

Approximation einer Ellipse mit Hilfe der Scheitelkrümmungskreise

Approximation mit Scheitelkrümmungskreisen

Aus der Formelsammlung (s. unten) ergibt sich:

• Der Krümmungsradius für die Hauptscheitel $S_{1},\;S_{2}$ ist ${\tfrac {b^{2}}{a}}\ ,$

der Krümmungsradius für die Nebenscheitel$S_{3},\;S_{4}$ ist ${\tfrac {a^{2}}{b}}\ .$

Die Zeichnung zeigt eine einfache Methode, die Krümmungsmittelpunkte $M_{1}=(a-{\tfrac {b^{2}}{a}},0),\;M_{3}=(0,b-{\tfrac {a^{2}}{b}})$ des Scheitels $S_{1}$ und des Nebenscheitels $S_{3}$ zeichnerisch zu bestimmen:

(1) Markiere den Hilfspunkt $H=(a,b)$ und zeichne die Gerade $S_{1}S_{3}$.

(2) Zeichne die Gerade durch $H$, die senkrecht zur Geraden $S_{1}S_{3}$ verläuft.

(3) Die Schnittpunkte $M_{1},\;M_{3}$ dieser Geraden mit den Ellipsenachsen sind die gesuchten Krümmungsmittelpunkte (Beweis: einfache Rechnung).

Die Krümmungsmittelpunkte der restlichen Scheitel ergeben sich aus Symmetrie. Man zeichnet die beiden restlichen Scheitelkrümmungskreise. Mit Hilfe eines Kurvenlineals lässt sich dann eine gute Näherung der Ellipse zeichnen.

Steiner-Erzeugung einer Ellipse (Parallelogramm-Methode)

Ellipse: Steiner-Erzeugung

Steiner-Erzeugung als Animation

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Ellipse zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):

Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten $S_{1},\;S_{2}$ (alle Geraden durch den Punkt $S_{1}$ bzw. $S_{2}$) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung $\pi$ des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Ellipse ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln $S_{1},\;S_{2}$ aus. Sei nun $P=(0,b)$ der obere Nebenscheitel der Ellipse und $A=(-a,2b),B=(a,2b)$. Dann ist $P$ der Mittelpunkt des Rechtecks $S_{1},\;S_{2},\;B,\;A$. Wir unterteilen die Rechteckseite ${\overline {AB}}$ in $n$ gleiche Stücke, übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen $AS_{2}$ auf die Strecke ${\overline {S_{2}B}}$ (s. Bild) und nummerieren die Unterteilungen wie im Bild. Die benutzte Parallelprojektion zusammen mit der Umkehrung der Orientierung vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in $S_{1}$ und $S_{2}$. Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden $S_{1}B_{i}$ und $S_{2}A_{i}$ liegen dann auf der durch die Vorgaben (3 Punkte, 2 Tangenten) eindeutig bestimmten Ellipse. Mit Hilfe der Punkte $C_{1},\dotsc$ lassen sich Punkte auf dem 2. Viertel der Ellipse bestimmen. Analog erhält man Punkte der unteren Hälfte der Ellipse.

Bemerkung:
a) Benutzt man statt der Scheitel zwei Punkte eines anderen Durchmessers, so muss man für $P$ einen Punkt des konjugierten Durchmessers wählen und arbeitet dann mit einem Parallelogramm statt eines Rechtecks. Daher rührt auch der manchmal gebräuchliche Name Parallelogramm-Methode.
b) Den Beweis dieser Methode kann man auch am Einheitskreis nachrechnen. Da Teilverhältnisse und Parallelität bei affinen Abbildungen invariant bleiben, ist der Beweis dann auch allgemeingültig. (Eine Ellipse ist ein affines Bild des Einheitskreises!)

Auch für Parabel und Hyperbel gibt es Steiner-Erzeugungen.

Ellipsen in der Computergrafik

Besonders in der Computergrafik lohnt sich die Ableitung einer Ellipse aus einer Kreisform. Eine achsenparallele Ellipse ist dabei einfach ein Kreis, der in einer der Koordinatenrichtungen gestaucht oder gedehnt, mit anderen Worten: anders skaliert wurde. Eine allgemeine, in beliebigem Winkel gedrehte Ellipse kann man aus so einer achsenparallelen Ellipse durch Scherung erhalten, s. a. Bresenham-Algorithmus. Die Punkte werden also numerisch berechnet und gezeichnet.

Beispiele

• Schaut man schräg auf einen Kreis (beispielsweise auf die Deckfläche eines Kreiszylinders), so erscheint dieser Kreis als Ellipse; präziser: Eine Parallelprojektion bildet Kreise im Allgemeinen auf Ellipsen ab.

• In der Astronomie kommen Ellipsen häufig als Bahnen von Himmelskörpern vor. Nach dem ersten Keplerschen Gesetz bewegt sich jeder Planet auf einer Ellipse um die Sonne, wobei diese in einem der beiden Brennpunkte ruht. Entsprechendes gilt für die Bahnen von wiederkehrenden (periodischen) Kometen, Planetenmonden oder Doppelsternen. Allgemein ergeben sich bei jedem Zweikörperproblem der Gravitationskraft je nach Energie Ellipsen-, Parabel- oder Hyperbelbahnen.

• Für jeden zwei- oder dreidimensionalen harmonischen Oszillator erfolgt die Bewegung auf einer Ellipsenbahn. So schwingt etwa der Pendelkörper eines Fadenpendels näherungsweise auf einer elliptischen Bahn, falls die Bewegung des Pendelfadens nicht nur in einer Ebene erfolgt.

Formelsammlung (Ellipsengleichungen)

Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt $(0|0)$,

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

Aufgelöst nach $y^{2}$:

$y^{2}=b^{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right)={\frac {(a^{2}-x^{2})(a^{2}-e^{2})}{a^{2}}}=(a^{2}-x^{2})(1-\varepsilon ^{2})$

Die letzte Form ist praktisch, um eine Ellipse mit Hilfe der beiden Bahnelemente, numerische Exzentrizität und große Halbachse, darzustellen.

Mittelpunkt $(x_{0}|y_{0})$, Hauptachse parallel zur x-Achse:

${\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}=1.$

Ellipsengleichung (Parameterform)

Mittelpunkt $(0|0)$, Hauptachse als x-Achse:

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad 0\leq t<2\pi .$

Mittelpunkt $(x_{0}|y_{0})$, Hauptachse parallel zur x-Achse:

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}+a\cos t\\y_{0}+b\sin t\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad 0\leq t<2\pi .$

Mittelpunkt $(x_{0}|y_{0})$, Hauptachse um $\alpha$ bezüglich x-Achse rotiert:

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}+a\cos t\,\cos \alpha -b\sin t\,\sin \alpha \\y_{0}+a\cos t\,\sin \alpha +b\sin t\,\cos \alpha \end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad 0\leq t<2\pi .$

Dabei bezeichnet $t$ den Parameter dieser Darstellung. Dieser entspricht nicht dem Polarwinkel $\varphi$ zwischen der $x$-Achse und der Geraden, die durch den Ursprung und den jeweiligen Ellipsenpunkt führt, sondern z. B. dem Polarwinkel $t$ zwischen der $x$-Achse und der Geraden, die durch den Ursprung und den Punkt mit gleicher y-Koordinate wie der Ellipsenpunkt jedoch auf dem Kreis mit Radius b führt (vgl. Konstruktion nach de la Hire). In der Astronomie heißt dieser Parameter bei Keplerellipsen die exzentrische Anomalie, bei Meridianellipsen in der Geodäsie heißt er parametrische oder reduzierte Breite, vgl. Referenzellipsoid.

Für nicht rotierte Ellipsen, also $\alpha =0$, hängt der Polarwinkel $\varphi$, der durch $\tan \varphi =y/x$ definiert ist, mit dem Parameter $t$ zusammen über:

$\tan \varphi ={\frac {b}{a}}\tan t={\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,\tan t$

Diese Beziehung erlaubt eine anschauliche Interpretation des Parameters $t$: Streckt man die $y$-Koordinate eines Ellipsenpunktes $P=(x,y)$ um den Faktor $a/b$, so liegt dieser neue Punkt $P'=(x,y')$ auf einem Kreis mit Radius $a$ und demselben Mittelpunkt wie die Ellipse. Der Parameter $t$ ist nun der Winkel zwischen der $x$-Achse und der Verbindungslinie ${\overline {MP'}}$:

$y'={\frac {a}{b}}y=x{\frac {a}{b}}\tan \varphi =x\tan t=a\sin t\quad \Longrightarrow \quad {\begin{pmatrix}x\\y'\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}}$

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten bzgl. des Mittelpunkts)

Hauptachse waagrecht, Mittelpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r(\varphi )={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\varphi +b^{2}\cos ^{2}\varphi }}}={\frac {b}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\varphi }}}\in [b,a]\quad {\text{mit}}\quad 0\leq \varphi <2\pi$

Exzentrische Anomalie $t$ und wahre Anomalie $\varphi _{\mathrm {R} }$ bzgl. des rechten Brennpunkts sowie wahre Anomalie $\varphi _{\mathrm {L} }$ bzgl. des linken Brennpunkts als Funktion des Polarwinkels $\varphi$ für verschiedene numerische Exzentrizitäten $\varepsilon$

In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel der Polarkoordinaten, wobei der Mittelpunkt der Ellipse bei $(0|0)$ und ihre Hauptachse entlang der x-Achse liegt:

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\frac {b}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\varphi }}}{\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad 0\leq \varphi <2\pi$

Die Probleme mit der Newtonschen Gleichung, Kraft gleich Masse mal Beschleunigung, in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Wir betrachten ein Lichtteilchen, ein Photon, das sich exakt auf einen Stern zubewegt oder von diesem entfernt. Wir wissen heute, die Geschwindigkeit dieses Photons ist die universelle Lichtgeschwindigkeit. Es gibt also keine Beschleunigung des Photons. Die Gravitation bewirkt aber eine Blau- oder Rotverschiebung, die auch als Änderung des Impulses aufgefasst werden kann.

Wir können diesen scheinbaren Widerspruch zur klassischen Mechanik auflösen, wenn wir die Kraft in der Relativitätstheorie als Änderung des Impulses auffassen, nicht Masse mal Beschleunigung. Es sei v die Geschwindigkeit. Wir schreiben die berühmte Gleichung

${\vec {F}}=m{\vec {a}}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}},$

die in der klassischen Mechanik, nicht aber in der Allgemeinen Relativitätstheorie gültig ist, unter Verwendung des Impulsvektors ${\vec {P}}=m{\vec {v}}$ um.

Wir erhalten damit eine Gleichung, die auch in der Realtivitätstheorie gültig bleibt:

${\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=-G\left({\frac {m1\cdot m2}{r^{2}}}\right){\frac {\vec {r}}{r}},$

mit den relativistischen Massen, jeweils Ruhemasse mal ${\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$, m1 und m2. G ist die Gravitationskonstante und r der Abstand der beiden Massen. Bei der Berechnung ist zu beachten, dass in der Relativitätstheorie die Masse von der Geschwindigkeit abhängt. Dies ist auch bei der Ableitung des Impulsvektors nach der Zeit zu beachten.

Doch - ich glaube es stimmt. Die Relativitätstheorie kann die seltsame Bevorzugung von Kreisbahnen gegenüber Ellipsenbahnen erklären. Alle Planeten laufen auf annähernd kreisförmigen Bahnen, obwohl die Kreisbahnen in der klassischen Mechanik nicht bevorzugt sind und ebenso stabil wie Ellipsenbahnen. In der Relativitätstheorie, so wie ich sie verstehe, sind aber nur Kreisbahnen langfristig stabil.

Herleitung

Aus der Ellipsengleichung in kartesischen Koordinaten $(x/a)^{2}+(y/b)^{2}=1$ und der Parametrisierung der kartesischen in Polarkoordinaten $x=r\cos \varphi$ und $y=r\sin \varphi$ folgt:

${\frac {r^{2}\cos ^{2}\varphi }{a^{2}}}+{\frac {r^{2}\sin ^{2}\varphi }{b^{2}}}=1\quad \Longrightarrow \quad r^{2}\left(b^{2}\cos ^{2}\varphi +a^{2}\sin ^{2}\varphi \right)=a^{2}b^{2}$

Umstellen und Radizieren liefert den Radius abhängig vom Polarwinkel.

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten bzgl. eines Brennpunkts)

Hauptachse waagrecht, rechter Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts (Halbparameter $p=b^{2}/a$):

$r_{\mathrm {R} }(\varphi _{\mathrm {R} })={\frac {a^{2}-e^{2}}{a+e\cos \varphi _{\mathrm {R} }}}={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \varphi _{\mathrm {R} }}}\in [r_{\mathrm {peri} },r_{\mathrm {apo} }]\quad {\text{mit}}\quad 0\leq \varphi _{\mathrm {R} }<2\pi$

Hauptachse waagrecht, linker Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r_{\mathrm {L} }(\varphi _{\mathrm {L} })={\frac {a^{2}-e^{2}}{a-e\cos \varphi _{\mathrm {L} }}}={\frac {p}{1-\varepsilon \cos \varphi _{\mathrm {L} }}}\in [r_{\mathrm {peri} },r_{\mathrm {apo} }]\quad {\text{mit}}\quad 0\leq \varphi _{\mathrm {L} }<2\pi$

Der Wertebereich der Radien erstreckt sich von der Periapsisdistanz $r_{\mathrm {peri} }$ bis zur Apoapsisdistanz $r_{\mathrm {apo} }$, die folgende Werte haben:

$r_{\mathrm {peri} }={\frac {p}{1+\varepsilon }}=a(1-\varepsilon )\ ,\qquad r_{\mathrm {apo} }={\frac {p}{1-\varepsilon }}=a(1+\varepsilon )$

In kartesischen Koordinaten ausgedrückt, parametrisiert durch den Winkel $\varphi _{\mathrm {R} }$ bzw. $\varphi _{\mathrm {L} }$ der Polarkoordinaten, wobei der rechte Brennpunkt der Ellipse bei $(e|0)$, der linke Brennpunkt bei $(-e|0)$ liegt:

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e\\0\end{pmatrix}}+{\frac {p}{1+\varepsilon \cos \varphi _{\mathrm {R} }}}{\begin{pmatrix}\cos \varphi _{\mathrm {R} }\\\sin \varphi _{\mathrm {R} }\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad 0\leq \varphi _{\mathrm {R} }<2\pi$

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-e\\0\end{pmatrix}}+{\frac {p}{1-\varepsilon \cos \varphi _{\mathrm {L} }}}{\begin{pmatrix}\cos \varphi _{\mathrm {L} }\\\sin \varphi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad 0\leq \varphi _{\mathrm {L} }<2\pi$

Der Winkel $\varphi _{\mathrm {R} }$ bzw. $\varphi _{\mathrm {L} }$, je nachdem welcher Pol Bezugspunkt ist, heißt in der Astronomie die wahre Anomalie.

Herleitung

Man betrachtet ein Dreieck, das von den beiden Fixpunkten $F_{\mathrm {L} }$, $F_{\mathrm {R} }$ und einem beliebigen Punkt $P$ auf der Ellipse aufgespannt wird.

Die Abstände zwischen diesen Punkten betragen: ${\overline {F_{\mathrm {L} }F_{\mathrm {R} }}}=2e$ sowie ${\overline {F_{\mathrm {L} }P}}=r_{\mathrm {L} }$ und nach der Definition der Ellipse ${\overline {F_{\mathrm {R} }P}}=2a-r_{\mathrm {L} }$. Der Winkel bei $F_{\mathrm {L} }$ sei $\varphi _{\mathrm {L} }=\angle F_{\mathrm {R} }F_{\mathrm {L} }P$. Mit dem Kosinussatz gilt nun:

$(2a-r_{\mathrm {L} })^{2}=(2e)^{2}+r_{\mathrm {L} }^{2}-2(2e)r_{\mathrm {L} }\cos \varphi _{\mathrm {L} }\quad \Longrightarrow \quad r_{\mathrm {L} }(a-\underbrace {e} _{a\varepsilon }\cos \varphi _{\mathrm {L} })=\underbrace {a^{2}-e^{2}} _{pa}$

Analog verläuft die Herleitung für den rechten Pol. Die Abstände lauten ${\overline {F_{\mathrm {L} }F_{\mathrm {R} }}}=2e$ und ${\overline {F_{\mathrm {R} }P}}=r_{\mathrm {R} }$ und ${\overline {F_{\mathrm {L} }P}}=2a-r_{\mathrm {R} }$. Der Winkel bei $F_{\mathrm {R} }$ sei $\pi -\varphi _{\mathrm {R} }=\angle PF_{\mathrm {R} }F_{\mathrm {L} }$, da $\varphi _{\mathrm {R} }=\angle (S_{\mathrm {R} },F_{\mathrm {R} },P)$ definiert ist, wobei $S_{\mathrm {R} }$ den rechten Hauptscheitel markiert.

$(2a-r_{\mathrm {R} })^{2}=(2e)^{2}+r_{\mathrm {R} }^{2}-2(2e)r_{\mathrm {R} }\underbrace {\cos(\pi -\varphi _{\mathrm {R} })} _{-\cos \varphi _{\mathrm {R} }}\quad \Longrightarrow \quad r_{\mathrm {R} }(a+\underbrace {e} _{a\varepsilon }\cos \varphi _{\mathrm {R} })=\underbrace {a^{2}-e^{2}} _{pa}$

Alternative Herleitung

Durch Gleichsetzen der zweier Darstellungen von $r_{\mathrm {L} }^{2}-r_{\mathrm {R} }^{2}$ erhält man:

$\left.{\begin{array}{l}r_{\mathrm {L} }^{2}-r_{\mathrm {R} }^{2}=\left[y^{2}+(x+e)^{2}\right]-\left[y^{2}+(x-e)^{2}\right]=4ex=4a\varepsilon x\\r_{\mathrm {L} }^{2}-r_{\mathrm {R} }^{2}=(r_{\mathrm {L} }+r_{\mathrm {R} })(r_{\mathrm {L} }-r_{\mathrm {R} })=2a(r_{\mathrm {L} }-r_{\mathrm {R} })\end{array}}\right\}\implies r_{\mathrm {L} }-r_{\mathrm {R} }=2\varepsilon x$

Dies entspricht einerseits mit $r_{\mathrm {R} }=2a-r_{\mathrm {L} }$ und $x=r_{\mathrm {L} }\cos \varphi _{\mathrm {L} }-e$

$2r_{\mathrm {L} }-2a=2\varepsilon (r_{\mathrm {L} }\cos \varphi _{\mathrm {L} }-e)\quad \Longrightarrow \quad r_{\mathrm {L} }(1-\varepsilon \cos \varphi _{\mathrm {L} })=a-\varepsilon e\equiv p$

und andererseits mit $r_{\mathrm {L} }=2a-r_{\mathrm {R} }$ und $x=r_{\mathrm {R} }\cos \varphi _{\mathrm {R} }+e$:

$2a-2r_{\mathrm {R} }=2\varepsilon (r_{\mathrm {R} }\cos \varphi _{\mathrm {R} }+e)\quad \Longrightarrow \quad r_{\mathrm {R} }(1+\varepsilon \cos \varphi _{\mathrm {R} })=a-\varepsilon e\equiv p$

Formelsammlung (Kurveneigenschaften)

Tangentengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt $(0|0)$, Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt $(x_{B}|y_{B})$:

${\frac {x_{B}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{B}y}{b^{2}}}=1\quad \iff \quad {\frac {x_{B}(x-x_{B})}{a^{2}}}+{\frac {y_{B}(y-y_{B})}{b^{2}}}=0$

Mittelpunkt $(x_{0}|y_{0})$ Hauptachse parallel zur x-Achse, Berührpunkt $(x_{B}|y_{B})$:

${\frac {(x_{B}-x_{0})(x-x_{0})}{a^{2}}}+{\frac {(y_{B}-y_{0})(y-y_{0})}{b^{2}}}=1$

Tangentengleichung (Parameterform)

Ein (unnormierter) Tangentenvektor an die Ellipse hat die Gestalt:

${\vec {T}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-a\sin t\\b\cos t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-ay/b\\bx/a\end{pmatrix}}$

Die Tangentengleichung lautet in vektorieller Darstellung mit Mittelpunkt bei $(0|0)$, Hauptachse als x-Achse und Berührpunkt bei $(x_{B}|y_{B})$:

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{B}\\y_{B}\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}-ay_{B}/b\\bx_{B}/a\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad \mu \in \mathbb {R}$

Beziehung zwischen Polar- und Normalenwinkel

Die Winkel der Ellipsentangente

Zwischen Polarwinkel $\varphi$ und Normalenwinkel $\beta$ und Ellipsenparameter $t$ besteht folgender Zusammenhang (siehe nebenstehende Grafik)

$\tan \varphi ={\frac {b}{a}}\tan t={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\tan \beta =(1-\varepsilon ^{2})\tan \beta$

Herleitung

Der Zusammenhang des Polarwinkels $\varphi$ und dem Steigungswinkel der Normalen $\beta$ (siehe Grafik rechts) lässt sich z. B. so finden:

Auflösen der Tangentengleichung nach $y$

$y={\frac {b^{2}}{y_{B}}}-{\frac {b^{2}x_{B}}{a^{2}y_{B}}}x$

ergibt die Tangentensteigung $\tan(\alpha )=-\tan(\pi -\alpha )=\Delta y/\Delta x$ als Koeffizient von $x$ zu

$\tan \alpha =-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{B}}{y_{B}}}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {1}{\tan \varphi }}.$

Mit $\tan \alpha =\tan(\beta +\pi /2)=-1/\tan \beta$ erhält man den gesuchten Zusammenhang zwischen $\beta$ und $\varphi$.

Normalengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt $(0|0)$, Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt $(x_{B}|y_{B})$:

$\left(1-{\frac {y}{y_{B}}}\right){\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x}{x_{B}}}=1$

oder auch

$b^{2}\left({\frac {y}{y_{B}}}-1\right)=a^{2}\left({\frac {x}{x_{B}}}-1\right)$

Normalengleichung (Parameterform)

Ein (unnormierter) Normalenvektor an die Ellipse hat die Gestalt:

${\vec {N}}={\begin{pmatrix}b\cos t\\a\sin t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}bx/a\\ay/b\end{pmatrix}}$

Die Normalengleichung lautet in vektorieller Darstellung mit Mittelpunkt bei $(0|0)$, Hauptachse als x-Achse und Berührpunkt bei $(x_{B}|y_{B})$:

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{B}\\y_{B}\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}bx_{B}/a\\ay_{B}/b\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad \mu \in \mathbb {R}$

Krümmungsradien und -mittelpunkte

Krümmungsradius im Punkt $(x_{p}|y_{p})$:

$r=a^{2}b^{2}\left({\frac {x_{p}^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y_{p}^{2}}{b^{4}}}\right)^{3/2}={\frac {1}{a^{4}b^{4}}}{\sqrt {\left(a^{4}y_{p}^{2}+b^{4}x_{p}^{2}\right)^{3}}}$

Mittelpunkt des Krümmungskreises, Krümmungsmittelpunkt $M(\xi |\eta )$:

$\xi ={\frac {e^{2}x_{p}^{3}}{a^{4}}}\qquad \eta =-{\frac {e^{2}y_{p}^{3}}{b^{4}}}\qquad \vert \,e^{2}=a^{2}\varepsilon ^{2}=a^{2}-b^{2}$

Krümmungsradius und -mittelpunkt in einem der beiden Hauptscheitel $(\pm a|0)$:

$r_{\mathrm {H} }={\frac {b^{2}}{a}}\qquad M_{\mathrm {H} }\left(\xi =\pm {\frac {e^{2}}{a}}\,{\bigg |}\,\eta =0\right)$

Krümmungsradius und -mittelpunkt in einem der beiden Nebenscheitel $(0|\pm b)$:

$r_{\mathrm {N} }={\frac {a^{2}}{b}}\qquad M_{\mathrm {N} }\left(\xi =0\,{\bigg |}\,\eta =\pm {\frac {e^{2}}{b}}\right)$

Formelsammlung (Flächeninhalt und Umfang)

Flächeninhalt

Mit den Halbachsen $a$ und $b$:

$A=\pi ab=\pi a^{2}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}$

Ist die Ellipse durch eine implizite Gleichung

$\alpha x^{2}+\beta xy+\gamma y^{2}+1=0$

gegeben, dann beträgt ihr Flächeninhalt

$A={\frac {2\pi }{\sqrt {4\alpha \gamma -\beta ^{2}}}}.$

Ellipsensektor

Für eine Ellipse mit den Halbachsen $a$ und $b$ und einen Sektor, der mit der großen Halbachse den Winkel $\varphi \in \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[$ einschließt, gilt:

$A_{\mathrm {Sektor} }={\frac {ab}{2}}\arctan \left({\frac {a}{b}}\tan(\varphi )\right)$

Beschreibt man den Ellipsensektor statt durch den Polarwinkel durch den Parameter $t$ aus der Parameterdarstellung $(x,y)=(a\cos t,b\sin t)$, so erhält man die Formel

$A_{\mathrm {Sektor} }={\frac {ab}{2}}t.$

Umfang

Diagramm zur Berechnung des Ellipsenumfangs $U=k\cdot a$ mit $k=4E(\varepsilon )$

Der Umfang einer Ellipse kann nicht exakt durch elementare Funktionen ausgedrückt werden. Er kann aber als ein Integral dargestellt werden, das daher elliptisches Integral genannt wird. Mit der Parametrisierung $x=a\cos(t)$, $y=b\sin(t)$ ergibt sich der Umfang $U$ unter Verwendung des Satzes von Pythagoras zu

${\begin{aligned}U&=\int \ \mathrm {d} U=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}a\cos t\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}b\sin t\right)^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\left(\sin ^{2}t+{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}\cos ^{2}t\right)}}\ \mathrm {d} t\\&=4a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin ^{2}t+\cos ^{2}t-\cos ^{2}t+{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}\cos ^{2}t}}\ \mathrm {d} t\\&=4a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\left((1-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}})(\cos t)^{2}\right)}}\ \mathrm {d} t\\&=4a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}(\sin t)^{2}}}\ \mathrm {d} t\quad =4a\,E(\varepsilon )\quad =k\cdot a.\end{aligned}}$

Das letzte Integral erhält man nach der Substitution $t\to {\tfrac {\pi }{2}}-t$ und $1-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}\to \varepsilon ^{2}$.

Der Umfang hängt von der numerischen Exzentrizität $\varepsilon$ und der großen Halbachse $a$ ab. Mit Hilfe des nebenstehenden Diagramms kann bei gegebener Exzentrizität $\varepsilon$ der Wert des Faktors $k=4E(\varepsilon )$ für den Umfang $U=k\cdot a$ abgelesen werden. $k$ liegt für jede Ellipse zwischen den Extremfällen $k=4$ (Ellipse zur Linie degeneriert, $\varepsilon =1$) und $k=2\pi$ (Ellipse wird zum Kreis, $\varepsilon =0$).

$E(\varepsilon )$ ist das vollständige elliptische Integral zweiter Ordnung.

Reihenentwicklung

${\begin{aligned}U&=2a\pi \left(1-\sum _{i=1}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{i}{\frac {2j-1}{2j}}\right)^{2}{\frac {\varepsilon ^{2i}}{2i-1}}\right)\\&=2a\pi \left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\varepsilon ^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {\varepsilon ^{4}}{3}}-\ldots -\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5\dotsm (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\dotsm 2n}}\right)^{2}{\frac {\varepsilon ^{2n}}{2n-1}}-\ldots \right]\end{aligned}}$

Für $\varepsilon$ nahe 1 konvergiert diese Reihenentwicklung extrem langsam. Es empfiehlt sich daher eine numerische Integration, z. B. nach dem Romberg-Verfahren.

Eine Reihe, die schneller konvergiert, beruht auf der Gauß-Kummer-Reihe. Für eine Ellipse mit den Halbachsen $a$ und $b$ (mit $a>b$) wird $\lambda ={\tfrac {a-b}{a+b}}$ definiert. Dann ergibt sich:

${\begin{aligned}U&=\pi (a+b)\left(1+\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\binom {2n}{n}}{(n+1)2^{2n+1}}}\right)^{2}\ \lambda ^{2n+2}\right)\\&=\pi (a+b)\left(1+{\frac {\lambda ^{2}}{4}}+{\frac {\lambda ^{4}}{64}}+{\frac {\lambda ^{6}}{256}}\ +{\frac {25\lambda ^{8}}{16\,384}}+{\frac {49\lambda ^{10}}{65\,536}}+{\frac {441\lambda ^{12}}{1\,048\,576}}+{\frac {1\,089\lambda ^{14}}{4\,194\,304}}+\dotsb +\ \left({\frac {1\cdot 3\cdot 5\dotsm (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\dotsb (2n+2)}}\right)^{2}\lambda ^{2n+2}+\dotsb \right)\end{aligned}}$

Näherungen

Näherung mit Hilfe des arithmetischen Mittels der Halbachsen

$U\approx \pi (a+b)$

Genauigkeit dieser Formel

Exz. ε	q = b / a	Fehler
= 0,000	1,000	0 (Kreis: exakt)
< 0,051	> 0,9987	< 10−7
< 0,090	> 0,996	< 10−6
< 0,1582	> 0,9874	< 10−5
< 0,277	> 0,961	< 0,01 %
< 0,46	> 0,885	< 0,1 %
< 0,75	> 0,66	< 1 %
< 0,83	> 0,55	< 2 %
< 0,927	> 0,37	< 5 %
< 0,978	> 0,21	< 10 %
< 0,999	> 0,044	< 18,3 %
< 1,000	> 0,000	< 21,46 %

Näherung mit Hilfe des quadratischen Mittels der Halbachsen

$U\approx 2\pi {\sqrt {{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2})}}=\pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}$

Genauigkeit dieser Formel

Exz. ε	q = b / a	Fehler
= 0,000	= 1,0000	0 (Kreis: exakt)
< 0,016	> 0,9999	< 10−9
< 0,026	> 0,9997	< 10−8
< 0,047	> 0,9989	< 10−7
< 0,084	> 0,9965	< 10−6
< 0,149	> 0,9888	< 10−5
< 0,262	> 0,9651	< 0,01 %
< 0,450	> 0,8930	< 0,1 %
< 0,720	> 0,6937	< 1 %
< 0,808	> 0,5891	< 2 %
< 0,914	> 0,4037	< 5 %
< 0,977	> 0,2104	< 10 %
< 1,000	> 0,000	< 14,91 %

Näherungsformel nach Ramanujan

$U\approx \pi \left((a+b)\,+\,{\frac {3(a-b)^{2}}{10(a+b)+{\sqrt {a^{2}+14ab+b^{2}}}}}\right)$

bzw.

$U\approx \pi (a+b)\left(1+{\frac {3\lambda ^{2}}{10+{\sqrt {4-3\lambda ^{2}}}}}\right)$, wobei $\quad \lambda ={\frac {a-b}{a+b}}$.

Diese Näherung ist in einem weiten $\varepsilon$-Bereich von $0\leq \varepsilon \leq 0{,}9$ sehr genau und ergibt im gesamten Bereich stets einen etwas zu kleinen Wert, der monoton mit $\varepsilon$ zunimmt.

Der relative Fehler beträgt:

Bereich	rel. Fehler
0,0000 ≤ ε ≤ 0,8820	< 10−9
0,8820 < ε ≤ 0,9242	< 10−8
0,9242 < ε ≤ 0,9577	< 10−7
0,9577 < ε ≤ 0,9812	< 10−6
0,9812 < ε ≤ 0,9944	< 10−5
0,9944 < ε ≤ 0,9995	< 10−4
0,9995 < ε ≤ 1,0000	< 0,000403

Für $\varepsilon =\lambda =1$ erhält man statt 4 den minimal zu kleinen Wert ${\tfrac {14}{11}}\pi$.

Siehe auch: Meridianbogen

Schriftzeichen

Unicode enthält im Block Verschiedene Symbole und Pfeile vier Ellipsensymbole, die als Grafikzeichen oder Schmuckzeichen in beliebigem Text (auch Fließtext) verwendet werden können:

Unicode	Zeichen	Name	LaTeX
U+2B2C	⬬	black horizontal ellipse (Vollflächige horizontale Ellipse)	\EllipseSolid
U+2B2D	⬭	white horizontal ellipse (Hohle horizontale Ellipse)	\Ellipse
U+2B2E	⬮	black vertical ellipse (Vollflächige vertikale Ellipse)	Anm.
U+2B2F	⬯	white vertical ellipse (Hohle vertikale Ellipse)	Anm.

 

Durch Rotation der horizontalen Variante mit Hilfe des Paketes rotating, das bei den üblichen LaTeX-Distributionen vorinstalliert ist.

LaTeX kennt außerdem noch eine hohle horizontale Ellipse mit Schatten rechts: \EllipseShadow.

Siehe auch

• Konfokale Kegelschnitte
• Gabriel Lamé verallgemeinerte die Ellipse zur laméschen Kurve (Superellipse).
• Ellipsoid
• Der Rotationskörper mit einem elliptischen Querschnitt ist ein Rotationsellipsoid.
• Homöoid
• Fokaloid
• Feynmans verschollene Vorlesung: Die Bewegung der Planeten um die Sonne
• Mittlere Bewegung

Weblinks

Wiktionary: Ellipse – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons: Ellipsen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Ellipse. In: MathWorld (englisch).
• mathematische-basteleien.de

Berechnungen

• Formeln zum Ellipsenumfang mit Beispielrechnung
• Website zum Berechnen eines Ellipsenumfangs
• Tangenten und Schnitt mit einer Geraden (JavaScript)
• Ellipsenberechnung aus zwei Größen bzw. aus zwei, vier oder fünf Punkten; Tangenten, Normalen

Konstruktion

Für alle folgenden Links wird ein Java-Plug-in benötigt.

• Webseite mit der Möglichkeit, Ellipsenkonstruktionen interaktiv auszuprobieren
• Ellipsenzirkel

Literatur

• C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 55–66.
• Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: „Gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34.