Diskussion:Differenzenquotient

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2007 2008

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1. Ableitung

Wenn am Ende sowieso die erste Ableitung rauskommt, warum mach ich die dann nicht gleich am Anfang? (nicht signierter Beitrag von 77.6.29.173 (Diskussion) 2008-01-08T21:46:31)

Wenn beim Melken von Kühen am Ende sowieso Milch rauskommt, warum mach' ich dann nicht gleich am Anfang Milch?

Sorry, aber ich versteh' die Frage wirklich nicht.

Mschcsc 14:30, 9. Jan. 2008 (CET)

Naja, wenn ich die Funktion f(x) = x^2 habe, dann ist f'(x) = 2x. Das habe ich jetzt ohne Differenzquotient hinbekommen, verstehe den Artikel aber so, dass immer die 1. Ableitung rauskommt. Oder ist "Differenzquotient berechnen" nur der richtige Ausdruck für das, was ich unwissentlich "Ableitung machen" nenne? (nicht signierter Beitrag von 77.6.24.20 (Diskussion) 2008-01-22T22:49:59)

bin mir nicht sicher, ob ich deine frage richtig verstehe. ich versuche mich mal an einer antwort: um die regel aufstellen zu koennen, durch welche du die funktion x^2 ableiten kannst, brauchst du den d'quotienten. -- seth 11:33, 9. Feb. 2008 (CET)

Kritikpunkte

Bitte kein Revert-Terror

Benutzer:Tolentino, Ich erbitte mir ein zivilisiertes Verhalten. Änderungen können vernünftig Diskutiert werden, Revert-Terror ist nicht notwendig! Danke. Mschcsc 11:01, 21. Jan. 2008 (CET)

Wer macht denn hier den Revert-Terror? Ich muss jetzt zum vierten Mal den Unsinn korrigieren. Wenn du nicht den blassesten Schimmer von Ahnung von Mathematik hast, dann halte dich bitte aus mathematischen Arikeln heraus. --Tolentino 11:11, 21. Jan. 2008 (CET)

Es reicht. Es ist ja (mit Ausnahme dieser einen Person Mschcsc) in dieser Diskussion völliger Konsens, dass seine Methode Unsinn ist. Trotzdem widersetzt sich Mschcsc penetrant gegen jede Einsicht. Schlimmer noch, er zerstört regelmäßig den Artikel, indem er ständig den Grenzübergang durch logisch fehlerhafte Umformungen ersetzt.

Welche Möglichkeiten bietet Wikipedia gegen solche Vandalierer und wie kann ich dagegen vorgehen? --Tolentino 11:15, 21. Jan. 2008 (CET)

Ich finde es eine Unverschämtheit, dass Du meine Arbeit als "Vandalismus" kennzeichnest. Was Du uns hier Vorgerechnet hast spricht für sich, das muss Du dich nicht mir gegenüber als Autorität aufspielen, Wenn Du nicht die Chuzpe hast, hier eine richtige Rechnung vorzüführen oder über das Thema zu Diskutieren, dann lass einfach die Finger von dem Thema. Gerade Du könntest noch etwas dabei Lernen - aber die glauben, sie wüssten schon alles, sind eben meist unbelehrbahr; und deswegen Wissen sie in Wahrheit auch nicht sehr viel.

Mathematische Wahrheit ist zum Glück keine Frage des Konsens einiger selbsternannter Autoritäten. Aber das passt zu deiner Art, mathematische Regeln nach belieben zu verbiegen und algebraische Verbotsregeln aufzustellen um "Beweise" zu konstruieren.

Und von "völligem Konsens" ist sowieso leicht reden wenn nur drei, vier Leute miteinander Diskutieren.

Du kannst gegen meine Arbeit "Vorgehen", indem Du dich zivilisiert an der Diskussion beteiligst und mal stichhaltige Gründe und Argumente lieferst, weshalb der unanschauliche Grenzwertbegriff eingeführt werden soll.

Ich begründe meine Änderungen schliesslich auch - oft sogar ohne Aufforderung, und bin auch durchaus imstande zu konstruktiver Zusammenarbeit - aber nicht auf der Basis "Wer hat den Grösseren IQ"....

Mschcsc 11:31, 21. Jan. 2008 (CET)

Meine Rechnung ist richtig. Dies wurde auch genügend hier bestätigt. Deine fachlichen Mängel hast du selber hinreichend dokumentiert. Ich denke alleine an das Leugnen der Identität $x^{2}=(-x)^{2}$, aber deine übrigen Beiträge sprechen ebenfalls für sich. Das ist keine Frage von IQ (die Verwendung der Anführungszeichen ist irreführend, ich habe niemals etwas derartiges behauptet), sondern von wahr oder falsch. Ich glaube vielmehr, dass du etwas von uns hier lernen könntest, dich aber dagegen weigerst. --Tolentino 12:30, 21. Jan. 2008 (CET)

Der Differentialquotient ist in der heutigen Standard-Analysis der Grenzwert des Differenzenquotienten. Daher würde ich die Änderungen von Mschcsc ebenfalls als Vandalismus betrachten. --NeoUrfahraner 13:00, 21. Jan. 2008 (CET)

PS: der Unsinn mit dem harmonischen Mittel ist ja immer noch drin. Sollten wir nicht auf eine noch ältere Version revertieren? Auf welche? --NeoUrfahraner 13:10, 21. Jan. 2008 (CET)

Hm, dann wären einige gute Sachen herausgeflogen. Die Tabelle beispielsweise (die von Mschcsc stammt) finde ich gar nicht mal so schlecht (nach der inzwischen erfolgten Korrektur der oben genannten Fehler). Aber das mit dem harmonischen Mittel muss natürlich raus. --Tolentino 13:13, 21. Jan. 2008 (CET)

OK; der Rest schaut nach kurzem Überfliegen vernünftig aus. --NeoUrfahraner 13:20, 21. Jan. 2008 (CET)

Es geht in die nächste Runde: Der Artikel wurde wiederum revertiert. --Tolentino 15:50, 21. Jan. 2008 (CET)

Es ist zwar vergebene Liebesmüh' aber trotzdem so am Rande angemerkt, von wegen:

• Ich denke alleine an das Leugnen der Identität $x^{2}=(-x)^{2}$, aber deine übrigen Beiträge sprechen ebenfalls für sich

Wenn $x^{2}=(-x)^{2}$, dann ist auch $1^{2}=(-1)^{2}$. Aber das scheint dich ja nicht besonders zu kümmern...

• kopfschüttel* Mschcsc 16:50, 21. Jan. 2008 (CET)

Das spricht für sich... Tipp mal in deinen Taschenrechner (-1)*(-1) ein... --Tolentino 16:52, 21. Jan. 2008 (CET)

Immer noch nicht verstanden worum's geht?

Sag mir dochmal für welches x die Identität überhaupt zutrifft? Lös' deine "Identität" mal auf für x=5 oder x=-5.

Merkst Du was?

Deine "Identität" kann doch nur für x=0 erfüllt werden und besagt somit nichts anderes, als dass 0=0 (welche überraschung) und dass x=0 ist. Das ist eher eine Art "Nicht-Idendität" die nichts anderes sagt als dass keine Zahl ausser der Null ihre eigene Negation ist. Genausogut könnte man -x=x hinschreiben - auch ohne Taschenrechner sieht man leicht, dass das genau dasselbe ist und nur sagt dass x=0 ist.

Würdest Du -x=x etwa auch als "zutreffende Identität" bezeichnen, nur weil man einfach ausser x=0 gar nichts vernünftiges einsetzen kann?

Du hast behauptet, aufgrund der "Identität" könne man in einem Ausdruck deshalb auch x^2 durch (-x)^2 ersetzten, der Fehler passiere dann erst "im nächsten Schritt"....

Das stimmt aber nicht, denn wenn Du aufgrund deiner vermeintlichen Identität x^2 durch (-x)^2 ersetzt, dann stimmt das nur dann wenn x=0 ist. In allen anderen Fällen ist es unter Garantie falsch, dann könntest Du genausogut einfach willkülich irgendwo das Vorzeichen einer Variablen umdrehen!

x^2 ist eben nicht dasselbe wie (-x)^2, es ist in gewisser weise das genaue Gegenteil davon und ist für x≠0 nie wahr!!

Mschcsc 17:57, 21. Jan. 2008 (CET)

Die zitierte Behauptung war von mir und nicht von Tolentino. Aber Tolentino hat natürlich recht. Es gilt $(-5)^{2}=(-5)\cdot (-5)=25$ und das ist dasselbe wie $5^{2}$. Das können schon Sechstklässler. --Digamma 18:27, 21. Jan. 2008 (CET)

Meine Güte, das weiss ich natürlich auch, dass $\displaystyle 5\cdot 5$ denselben Wert hat wie $\displaystyle -5\cdot -5$.

Aber deswegen ist a^2 noch lange nicht dasselbe im Sinne von derselbe Ausdruck wie (-a)^2. Man kann a^2 nicht algebraisch in (-a)^2 umformen, und genau darum gings doch bei diesen ganzen faulen Zaubertricks., dass man aus einer mathematischen Idendität klammheimlich eine Umformungsvorschrift der Art: Aus x^2 folgt (-x)^2 um damit Terme auszutauschen die algebraisch gar nicht ineinander umgeformt werden können.

$\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}$ ist einfach nur eine Tatsache, schlicht eine (natürlich richtige) "Feststellung"; aber man darf keine Rechenvorschrift im Sinne von $x^{2}\Leftrightarrow (-x)^{2}$ zu machen.

Wäre $\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}$ dann folgte daraus, dass $\displaystyle x=-x$ und das ist nur wahr für x=0. Und komm mir keiner dass sei "der Fehler" passiere erst ¨"im nächsten Schritt" wenn man später die Wurzel ziehen würde, denn aus $x\cdot x\Leftrightarrow -x\cdot -x$ folgt schon rein formallogisch dass $x\Leftrightarrow -x$ ist.

Man darf nicht die Wertegleicheit mit der formalen Gleichheit verwechseln und sagen zwei algebraische Terme seien dasselbe und könnten durcheinander ersetzt werden, nur weil sie für dieselben dieselben "Eingabewerte" auch dieselben "Ausgabewerte" liefern. Wenn mir heute dieslbe Pizza geliefert wierd wie gestern, bedeutet das nicht, dass es in beiden Fällen derselbe Kurier war, der sie mir geliefert hat.

Mschcsc 20:23, 21. Jan. 2008 (CET)

Ich habe nicht den Eindruck, dass es hier um wirklichen Erkenntnisgewinn geht, dafür sind die Behauptungen inzwischen zu absurd. --Tolentino 18:33, 21. Jan. 2008 (CET)

In der Tat, es geht eher darum, mathematische Wahrheit mit rhetorischen Mitteln, Revert-Terror und Zwang durchzusetzen, und das was man selbst nicht kennt unter dem Mantel der Verschwiegenheit zu verstecken. Die Verdrehung Logik und der Bedeutungsebenen in diesen Beiträgen hat allerdings schon was skurril-bizarres...

Schade finde ich nur, dass es hier offenbar nicht ohne Beleidigungen und Machtkämpfe abgehen kann. Naja Mschcsc 20:23, 21. Jan. 2008 (CET)

Mschcsc 20:23, 21. Jan. 2008 (CET)

Ich habe auf deine Version zurückgesetzt und den Artikel erstmal gesperrt. Ohne Zeit für eine konkrete Überprüfung zu haben, kommt mir Mschscs in seiner Fachkenntnis doch arg limitiert vor. --Scherben 17:37, 21. Jan. 2008 (CET)

Eine Frechheit, über meine Fachkenntnis zu urteilen ohne die Zeit für eine konkrete Überprüfung aufbringen zu können.

Naja, wer laut genug schreit hat wohl auch in mathematischen Belangen per se recht - traurig das...

Mschcsc 17:57, 21. Jan. 2008 (CET)

Es gibt zwei Möglichkeiten:

1. Du kannst ein Analysis-Lehrbuch angeben (möglichst in deutsch, englisch oder französisch, damit genügend Leute es objektiv lesen können), in welchem deine Aussagen wie "$x^{2}=(-x)^{2}$ ist nur für $x=0$ richtig" stehen.
2. Du findest keine ernstzunehmende Referenz.

Im ersteren Fall könnte man darüber diskutieren. Im letzteren Fall ist deine ganze Aufregung nur künstlich produziert und ohne jeglichen fachlichen Rückhalt.

Ich für meinen Teil kann für meine Aussagen problemlos Heuser zitieren.

• Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 12. Auflage, Teubner

Auf Seite 105 steht: "Die Funktionen $f_{1}:X_{1}\rightarrow Y_{1}$ und $f_{2}:X_{2}\rightarrow Y_{2}$ nennt man gleich, wenn $X_{1}=X_{2},Y_{1}=Y_{2}$ und $f_{1}(x)=f_{2}(x)$ für alle $x\in X_{1}$ ist."

Auf Seite 117 steht: "Treten in eienm Polynom $f$ nur gerade Potenzen von $x$ auf, gat es also die Form $f(x)=a_{0}+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{2n}x^{2n}$, so ist stets $f(-x)=f(x)$." --Tolentino 08:42, 22. Jan. 2008 (CET)

Wertegleichheit ist nicht dasselbe wie Äquivalenz

Meine Quellen:

[[1]]

Über's Umformen von Gleichungen steht da:

• Eingeschränkt möglich sind darüber hinaus:

Potenzieren beider Seiten mit demselben positiven ganzzahligen Exponenten (z. B. Quadrieren).

Dies ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Exponent ungerade ist. Bei anderen Exponenten - wie beim Quadrieren - erhält man sogenannte Scheinlösungen, die durch eine Probe ausgeschlossen werden müssen.
Zum Beispiel ist die Gleichung x = -1 nicht äquivalent zur Gleichung x² = (-1)², denn die letztere Gleichung hat auch x = 1 als Lösung.

Mschcsc 11:25, 22. Jan. 2008 (CET)

Das ist eine schöne Seite, aber kein Beleg für deine Behauptungen. Auf der angegebenen Seite steht nicht, dass $x^{2}=(-x)^{2}$ für alle $x\neq 0$ falsch ist, wie du behauptest. Gib eine Referenz an. --Tolentino 11:29, 22. Jan. 2008 (CET) Offenbar sind nicht die logischen Symbole klar. Beispielsweise unterstellst du uns etwas von der Art "$x^{2}\Leftrightarrow (-x)^{2}$". Dabei kann man Äquivalenz nur von Gleichungen schreiben, nicht von Funktionen. Wir reden hier nur von Termumformungen! Und die Termumformung $x^{2}=(-x)^{2}$ ist selbstverständlich für alle reellen Zahlen wahr. --Tolentino 11:53, 22. Jan. 2008 (CET)

Kleine Anmerkung: konkret auf das betrachtete Problem bezogen, bedeutet die zitierte Aussage, dass eben die Gleichung $x^{2}=(-x)^{2}$ nicht äquivalent zur Gleichung $x=-x$ ist, dass diese beiden Gleichungen also unterschiedliche Lösungen haben können (erstere ganz $\mathbb {R}$, zweitere nur $x=0$. --NeoUrfahraner 12:42, 22. Jan. 2008 (CET)

Völlig richtig.

Die Frage, ob eine Umformung eine Äquivalenzumformung ist, tritt bei der Lösung von Gleichungen auf, aber nicht bei der Umwandlung von Termen. Zum Lösen von Gleichungen nimmt man eben oft Umformungen vor, bei denen die Folgegleichung zwar von der vorherigen impliziert wird, aber diese ihrerseits nicht impliziert, etwa weil die Folgegleichung dann leichter zu lösen ist. Die Ergebnisse muss man folglich noch einer Probe unterziehen, ob sie auch die vorige Gleichung lösen.

Das ändert aber nichts daran, daß man in einem Term immer Gleiches für Gleiches einsetzen kann. Speziell in der Analysis ist es auch völlig irrelevant, durch welche Formel o.ä. eine Funktion definiert ist, wenn sie nur - mengentheoretisch gesehen - aus denselben Argumentwert-Funktionswert-Paaren besteht. Insofern kommt auch niemand auf die Idee, die Signum-Funktion, die ja einfach und durchsichtig mittels einer dreigliedrigen Fallunterscheidung zu definieren ist, nun irgendwie kompliziert mittels x/abs(x) plus Ausnahmefall zu definieren, aus ganz pragmatischen Gründen: Man baut sich doch selber keine Stolperfallen! Ist sie aber einmal unzweideutig definiert, und wäre es auch zu kompliziert, ist es völlig gleichgültig, welche Formel o.ä. dazu benutzt wurde, wenn sie nur auch wirklich definiert ist, also keine stillschweigenden Voraussetzungen enthält, so daß sie etwa nicht total definiert ist.

Am Beispiel ausgeführt: Wer

$x^{2}=(-x)^{2}$

hinschreibt, schreibt eine wahre Aussage hin. Wer

$x=-x$

$x^{2}=(-x)^{2}$

hinschreibt, schreibt etwas -insgesamt - Falsches. Aber die zweite Zeile stimmt! Der Fehler liegt nur in der ersten. Wer

$x^{2}=(-x)^{2}$ => $x=-x$

hinschreibt, macht auch einen Fehler. Dieser Schluß ist falsch, aber die Prämisse bleibt gleichwohl wahr.

Grüße -- Silvicola 14:44, 22. Jan. 2008 (CET)

Richtig.

Und wer hinschreibt:

"die Termumformung $x^{2}=(-x)^{2}$ ist selbstverständlich für alle reellen Zahlen wahr

Der kann damit ja bloss meinen dass man den Term $x^{2}$ "irgendwie" algebraisch in den Term $(-x)^{2}$ umformen könnte also z.B.

$<\displaystyle t=x^{2}$

$t=x\cdot x$

$-t=-x\cdot -x$

.....

$t=-x\cdot -x$

$t=-(x\cdot x)$

$\displaystyle t=(-x)^{2}$

Und das ist selbstverständlich unmöglich.

Was sonnst könnte mit die "Termumformung" $x^{2}=(-x)^{2}$ denn sonst gemeint sein?

Mschcsc 16:19, 22. Jan. 2008 (CET)

$x^{2}=1\cdot x^{2}=(-1)^{2}\cdot x^{2}=((-1)\cdot x)^{2}=(-x)^{2}$ --NeoUrfahraner 16:30, 22. Jan. 2008 (CET)

$((-1)\cdot x)^{2}=(-x)^{2}$ ... ? ? ? ?.... Räusper... Mschcsc 17:10, 22. Jan. 2008 (CET)

Bezweifelst Du $(-1)\cdot x=-x$? --NeoUrfahraner 17:51, 22. Jan. 2008 (CET)

@

• lach". Nein, das bezweifle ich nicht. Aber dass die Wurzel von ${\sqrt {(-1)^{2}}}=1$ sein Soll...

Ist das jetzt Ironie? Selbstverständlich gilt für $x\in \mathbb {R}$ ${\sqrt {x^{2}}}=|x|$, siehe auch Wurzel (Mathematik)#Eindeutigkeit_von_Wurzeln_aus_positiven_Zahlen --NeoUrfahraner 08:59, 23. Jan. 2008 (CET)

Nein, keine Ironie, sollte natürlich heissen , dass ${\sqrt {(-1)^{2}}}=(-1)$ sein soll, du hat ja (-1)^2 'am Stück' zerteilt und in die Klammer gezogen, anstatt es erst auszurechnen - dann wär's 1 und damit 1^2 geworden - und dann in die Klammer zu ziehen. Ist natürlich beides richtig,

Nein!!! ${\sqrt {x^{2}}}=x$ ist falsch für $x<0$. --NeoUrfahraner 20:18, 23. Jan. 2008 (CET)

aber es ist eben ein Unterschied, ob ich ${\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}$ sozusagen rein formal ausernandernehme und sage, ${\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=(-1)$ das ist dann eben (-1) oder ob ich's erst ausrechne und sage das gibt dann eben ${\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$

Das Problem dabei ist natürlich, dass man damit herleiten kann, dass $1=-1$ ist...

Genau. Lies Dir bitte Wurzel (Mathematik)#Eindeutigkeit_von_Wurzeln_aus_positiven_Zahlen durch - die Gleichung $x^{2}=a$ hat zwar zwei Lösungen, ${\sqrt {a}}$ bezeichnet aber nur eine davon, nämlich die eindeutig definierte nichtnegative Lösung. --NeoUrfahraner 20:18, 23. Jan. 2008 (CET)

Sorry, die Sache mit den Termen habe ich schlampig formuliert.

Räuspern musste ich mich ein bisschen weil Du x^2 auseinandergenommen und die sozusagen die Quadratwurzel gezogen hast. Und dass Du eine Grösse (-1)^2 eingeführt hast deren Wurzel in der Klammer dann nicht 1 sondern -1 ist, ist auch ziemlich lustig, sieht schon verdammt imaginär aus das... :-)

Wo siehst Du Wurzeln und imaginäre Zahlen? Es geht um Potenz_(Mathematik)#Rechenregeln für ganzzahlige Exponenten: $(a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}$ für alle $a,b$ und nichtnegative ganze Zahlen $r$ oder für alle $a,b\neq 0$ und beliebige ganze Zahlen $r$. --NeoUrfahraner 08:46, 23. Jan. 2008 (CET)

Diene Gleichung ist natürlich trotzdem völlig richtig.

Ursprünglich gings ja darum dass ich sagte, $x*f(x)=x*g(x)$ bedeutet nicht, dass $f(x)=g(x)$ ist (und zwar weil bei x=0 f(x) und g(x) verschiedene Werte haben können).

Wo wurde denn was anderes behauptet? --NeoUrfahraner 07:05, 23. Jan. 2008 (CET)

In den sogenannten Gegenbeweisen wurde "hergeleitet", dass $x\cdot \operatorname {sgn}(x)=|x|$ für alle x gelte und damit $x\cdot \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{sgnx}}=x\cdot {\frac {1}{\operatorname {sgn}(x)}}$ und dass dann aus der Gleichung $x\cdot \operatorname {sgn}(x)=x\cdot {\frac {1}{\operatorname {sgn}(x)}}$ folge, beide Ausdrücke seien identisch

Sind sie ja auch für $x\neq 0$ --NeoUrfahraner 20:42, 23. Jan. 2008 (CET)

und man dürfe deshalb $lim_{x\to 0}{\frac {f(x)}{sgn(x)}}$ einfach in $lim_{x\to 0}{f(x)\cdot sgn(x)}$ umwandeln - was nunmal falsch ist, ob ihr's wahrhaben wollt oder nicht.

Doch, der Grenzwert ist gleich; der Grenzwert einer Funktion wird ja über die punktierte Umgebung definiert - der Funktionswert an der Stelle $x=0$ ist irrelevant für $\lim _{x\to 0}\varphi (x)$. Manchmal gilt $\lim _{x\to 0}\varphi (x)=\varphi (0)$, nämlich genau dann, wenn $\varphi$ stetig an der Stelle 0 ist, aber es gibt kein Gesetz, das Stetigkeit vorschreibt. --NeoUrfahraner 20:42, 23. Jan. 2008 (CET)

Du hast vollkommen recht! Das ist ja gerade das, was ich anderer Stelle dauernd predige, dass Grenzwerte erst dann wirklich eine Rolle spielen, wenn man es mit Unstetigkeiten zu tun hat, und das der ganze Witz an den Grenzwerten der ist, dass sie (in R jedenfalls) immer in einen linken und rechten Teil zerfallen - links oder rechts von f(x) eben und dass der Wert von f(x) selbst erstmal völlig irrelevant ist. Dass die Grenzwerte "zweiseitig" sind, ist eine Folge davon, dass die punktierte Umgebung von 0 kein eindeutiges Vorzeichen besitzt. Es ist doch im Zusammenhang mit der Differentialrechnung und dem Differenzenquotienten wichtig zu verstehen, dass man durch das Nullsetzen des Zählers (und damit auch des Nenners) des Differenzenquotienten die Vorzeichen "vernichtet", und dass die Grenzwertschreibweise im Grunde vor allem dazu dient, dies zu verhindern, indem der Grenzwert in einen positiven und negativen Teil aufgespalten wird, ganz ähnlich, wie man ein Polygon durch die Schreibweise $x=\pm {\sqrt {x^{2}}}$ in zwei Lösungen zerlegt - weil beim Quadrieren von x dessen Vorzeichen "zerstört" wird (weshalb auch schliesslich x^2=(-x)^2 wahr ist - das Quadrieren "vernichtet" das Vorzeichen).

Beim Wurzelziehen erhält man z.B. für $\pm {\sqrt {\operatorname {sgn}(x))}}$ fast immer zwei verschiedene Lösungen (ausser wenn x=0) und beim Grenzwertübergang ist es genau umgekehrt, da erhält man für $\lim _{t\to x}\operatorname {sgn}(t)$ eben fast immer zwei gleiche Lösungen (ausser wenn x=0).

Wenn ich aber irgendwo was von einseitigen Grenzwerten in einem Artikel schreibe, wird's gleich wieder gelöscht!

Ich hab's extra noch an zwei Funktionen illustriert, die wie $sgn(0)$ und ${\frac {1}{sgn(0)}}$ überall, ausser x=0 "gleich" sind um zu zeigen weshalb $x*f(x)=x*g(x)$ nicht bedeutet dass $f(x)=g(x)$.

Das zweite Beispiel basiert genau auf demselben faulen Trick:

• Und damit es nicht heißt, es hätte irgendwas mit einseitigen Grenzwerten zu tun, hier noch ein brutaleres Gegenbeispiel: Setze $g(x):=\left\{{\begin{array}{ll}\sin({\frac {1}{x}}),&x\neq 0,\\0,&x=0,\\\end{array}}\right.$ sowie $f(x):=x\cdot g(x)$. Dann ist ${\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=g(x)$ für alle $x\neq 0$. Trotzdem ist der Differentialquotient nicht $0=g(0)$, er existiert schlichtweg nicht. --Tolentino 09:30, 18. Jan. 2008 (CET)

Dieses brutale Gegenbeispiel ist genau gleich und durchschaubar aufgebaut. Aus $f(x)=x\cdot g(x)$ folgt $g(x)={\frac {f(x)}{x}}$

für $x\neq 0$, steht doch dort. --NeoUrfahraner 20:42, 23. Jan. 2008 (CET)

und damit ist der Wert von g(0) zweideutig, weil $0\neq {\frac {f(0)}{0}}$ ist. Mschcsc 18:28, 23. Jan. 2008 (CET)

Wer hat Dir erlaubt, $x=0$ in ${\frac {f(x)}{x}}$ zu setzen? --NeoUrfahraner 20:42, 23. Jan. 2008 (CET)

Niemnd hat mir das erlaubt, hab' ich auch nirgendwo gemacht.

Die "Gegenbeispiele" basieren doch genau auf diesem "Trick", das sag' ich ja die ganze Zeit!

• Als einfachstes Gegenbeispiel von unendlich vielen könnte man $f(x):=|x|$ nehmen. Dann ist nämlich ${\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}={\frac {(x-0){\rm {sgn}}(x)}{x-0}}={\rm {sgn}}(x)$. Gemäß deiner Vorgehensweise wäre der Differentialquotient ${\rm {sgn}}(0)=0$, welches natürlich falsch ist.

Wer hat Tolentino denn "erlaubt" im Differenzenquotienten einfach $|0|$ durch $0*sign(0)$ zu ersetzten? Das ist doch gerade der springende Punkt. Ich hab' nie gesagt man dürfe solche Ersetzungen vornehmen, ganz im Gegenteil!

Ich sagte bloß, dass man, wenn man solche Fehler nicht macht, man auch keine "falschen" Lösungen bekommen kann. $x{\frac {1}{\operatorname {sgn}(x)}}=x\operatorname {sgn}(x)$ ist zweifellos wahr - aber eben nur für x≠0 - aber gerade nicht für x=0! Mschcsc 04:05, 24. Jan. 2008 (CET)

Das Beispiel mit der Quadratfunktion sollte ja auch bloß illustrieren, dass man analog nicht aus $x^{2}=(-x)^{2}$ die Beziehung $x=-x$ "herzaubern" kann.

War sicher nicht der beste Vergleich und er hat eine Reihe böser Missverständnisse ausgelöst - das war nicht meine Absicht, mir ging's nur darum zu zeigen, wie der "faule Zauber" mit der Signumfunktion und dem anderen "Gegenbeweis" mit den in sich widersprüchlichen Funktionen:

$g(x):=\left\{{\begin{array}{ll}\sin({\frac {1}{x}}),&x\neq 0,\\0,&x=0,\\\end{array}}\right.$ und $f(x):=x\cdot g(x)$

genau funktioniert.

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Sowas kann nicht widersprüchlich sein, allenfalls nicht wohldefiniert. Das ist hier aber offenbar nicht der Fall. --Tolentino 11:14, 23. Jan. 2008 (CET)

Zurück zum Thema.

Inzwischen ist ja wohl klar geworden, dass algebraische Umformungen des Differentialquotienten niemals zu falschen Resultaten führen können - sondern allenfalls zu mehrdeutigen oder gar keinen Lösungen, und somit hat sich der eigentliche Knackpunkt für mich soweit erledigt.

Diese Nebenschauplätze sind eigentlich unnötig, ich gehe davon aus, dass jeder der hier Beteiligten die Grundrechenarten und algebraiesche Umformungen im Griff hat und weiss dass die Gleichung $x^{2}=(-x)^{2}$ wahr ist, und auch dass man nicht in einem Term x einfach durch -x ersetzen darf. Ich gehe bestimmt nicht davon aus, dass ich es mit Idioten zu tun habe, genausowenig wie ich davon ausgehe dass ich es mit allwissenden und Unfehlbaren zu tun habe.

Der Artikel wurde ja leider wieder so umformuliert, dass der Wissbegierige möglichst nicht merkt, dass es beim Ableiten vor allem ums Umformen des Differenzenquotienten geht, und dass man nur wenn man keine Lösung bekommt, überhaupt mit Grenzwertgleichungen arbeiten muss.

Diese Aussage ist falsch. Das versuchen wir ellenlang zu erklären. Der Artikel wurde umformuliert, damit der Wissbegierige lernt, immer einen Grenzprozess durchzuführen und nicht verbotene Einsetzungen vornimmt, die manchmal per Zufall funktionieren, jedoch bei geeignet gewählten Gegenbeispielen zu falschen Ergebnissen führen. --Tolentino 11:14, 23. Jan. 2008 (CET)

Kleine Anmerkung: Wie die Geschichte der Mathematik von Gottfried Wilhelm Leibniz bis Karl Weierstraß zeigt, ist diese Erkenntnis nicht gerade trivial, aber das sollte ein Grund mehr sein, in der Wikipedia die heute anerkannte Vorgangsweise zu verwenden. --NeoUrfahraner 11:39, 23. Jan. 2008 (CET)

Wenn's darum geht, die Geschichte Mathematik ab Newton und Leibnitz zu beschreiben, bin ich völlig einverstanden. Man sollte am besten auch gleich sagen, dass Newton der eigentliche Begründer des Grenzwertbegriffs war.

Egal wo Du den Anfang ansetzt, der Punkt ist, dass die Mathematik im 18. Jahrhundert auf völlig wackeligen Fundamenten gestanden ist, bis im 19. Jahrhundert durch Leute wie Augustin Louis Cauchy und Karl Weierstraß die Fundamente gesichert wurden. Es mag schon sein, dass Du mit Newton auskommst; in der Wikipedia sollten aber auch die "neueren" Erkenntnisse des 19. Jahrhunderts berücksichtigt werden. --NeoUrfahraner 20:57, 23. Jan. 2008 (CET)

Stimmt, und ich habe den Grenzwertbegriff ja auch nicht unterschlagen, ganz im Gegenteil habe ich sogar sehr ausfürlich den Übergang vom algebraischen Begriffs des Differenzenquotienten (um darum handelt sich dieser Artikel, und nicht vom Differentialquotienten) und den Zusammenhang mit den Grenzwerten erläutert, wurde aber sofort wieder "Revert"iert. War sicher nicht der Weisheit letzter Schluss und diskutirbar, was ich geschrieben hatte, einiges würde ich sogar selbst als nicht korrekt bezeichnen, aber es ist nicht mehr und nicht weniger als eine etwas andere Herangehensweise, die Begriffe zu erklären, und sicher kein "Vandalismus", wie mir vorgeworfen wurde. Mschcsc 04:05, 24. Jan. 2008 (CET)

Aber die Geschichte Der Mathematik hat nicht erst mit Leibnitz begonnen, die Lösung von Tangentenproblemen und noch viel komplexerer Berührungen von Linien, Kreisen, Parabeln etc. und Flächen- und Voluminabestimmungen krummlinig begrenzter Körper wurden schon in der Antike durchgeführt. Descart löste gewisse Tangentenprobleme durch geometrische resp. algebraische Bestimmung eines Schmiegekreises. Kepler berechnete Volumina verschiedener Rotationskörper, Cavalieri und Toricelli rechneten mit Indivisiblen die sich durch Umformungen aushebeln liessen - das alles ging ohne Grenzwerte ab.

Dann kommt noch die Sache mit der "Tangentensteigung". Da wird einfach der Begriff der Steigung einer Kurve durch den Begriff der Steigung einer anderen Kurve ersetzt. Wie aber erkläre ich jemandem, was die "Steigung der Tangente" selbst ist - etwa die Tangentensteigung der Tangente? Die Steigung einer Geraden im Punkt x als "Tangentensteigung" einer Tangente an die Gerade im Punkt x zu erklären ist ja nicht gerade hilfreich - mal abgesehen davon, dass eine Gerade auch gar keine "Tangente" im geometrischen Sinne hat.

Wenn man den Differentialquotienten als Tangentensteigung der Tangente, die den Graph einer Funktion im Punkt f(x) berührt, beschreibt, dann kommt man grundsätzlich auch ohne den Grenzwertbegriff aus. Dann ist es ein geometrisches bzw. algebraisches Problem. Dann ist der Grenzwertbegriff in diesem Zusammenhang sogar falsch, weil $\lim _{x\to 0}x$ nicht"dasselbe" ist wie $0$. $\operatorname {sgn}(x)^{2}$ hat eine Ableitung aber im Punkt 0 keine Tangentensteigung - es gibt schlicht keine Tangente in f(0). Die "Tangentensteigung" ist - anschaulich gesprochen (dafür werd' ich von den "Experten" wohl wieder verspottet werden) - doch eher eine Art Sekantensteigung, einer Sekante, die den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert des Punkres f(x) schneidet und den Punkt f(x) selbst "überspringt" bzw. "überspannt" - und nur bei der Geraden tatsächlich auch "schneiden" würde.

Aber vielleicht liegt's auch daran, dass ich keinen Schimmer vom Mathe habe und die Einseitigkeit bei den Grenzwerten überhaupt und ganz und gar nicht wichtig ist, schon gar nicht bei der Erklärung des DIfferenzierens, nur die Grenzwerte selbst sind wahnsinnig wichtig - kann zwar keiner genau sagen wieso und muss was mit Folgen und Reihen und Häufungspunkten und vielen, vielen ganz wichtigen und hochmathematischen Definitionen zu tun haben, die man so einem Trottel wie mir eben nicht vermitteln kann.

Sei's drum, versteht ihr mich eben nicht - Schade, aber es gibt wichtigeres. Mschcsc 18:28, 23. Jan. 2008 (CET)

Und wenn man wirklich mal mit Grenzwerten arbeiten muss, dann doch auch nur deshalb, weil man mit den einseitigen Grenzwerten überprüfen will, ob die Funktion an der Stelle differenzierbar ist oder nicht.

Der Grenzprozess hat nichts mit einseitigen Phänomenen zu tun. Das besagt ja gerade mein zweites Gegenbeispiel. --Tolentino 11:14, 23. Jan. 2008 (CET)

Wenn ich einen Ausdruck nicht Umformen kann, so bringt mich der Übergang zur Grenzwertschreibweise doch keinen Deut weiter, denn $\lim _{\Delta x\to 0}{\Delta y}{\Delta x}$ kann ich auch nicht "ausrechnen", solange $\Delta y$ noch im Zähler steht.

Grenzwerte kann man ausrechnen, ohne den Nenner auszukürzen. Nur wirds dann halt schwieriger. --Tolentino 11:14, 23. Jan. 2008 (CET)

Ich find's halt ein bisschen schwierig für den Lernenden oder interessierten Laien, wenn er schon bei der Vorbereitung auf die Differentialrechnung mit dem Grenzwertbegriff konfrontiert wird, ohne dass er überhaupt wirklich zur Anwendung gelangt. Ich hab' ja gar nichts dagegen, dass man dem Leser klar sagt, dass ein Differentialquotient in der Mathematik als Grenzwert definiert ist, das habe ich in dem Artikel ja auch deutlich gemacht, aber ich finbd's etwas unfair wenn man ihm ganz bewusst verschweigt, dass das in den meisten Fällen nichts weiter als ein umgeformter Differenzenquotient ist, bei dem am Ende nicht Null rauskommt.

Mschcsc 01:25, 23. Jan. 2008 (CET)

Was erwartest du denn von einem, mit dem ich in Grenzwert (Funktion) diskutieren muss, warum $\operatorname {sgn}(x)^{2}$ für $x\rightarrow 0$ gegen 1 konvergiert, ohne einseitige Grenzwerte zu benutzen? --Tolentino 19:06, 22. Jan. 2008 (CET)

@ Tolentino

Es macht mich traurig, wie Du mich hier ständig - und leider scheinbar sogar mit Erfolg - versuchst bloßzustellen und lächerlich zu machen. Anstatt dass du mir wenigstend die Chance gibst, meinen Standpunkt zu vertreten, lässt Du dich auf nichts ein, machst sämtliche meiner Änderungen hier und in anderen Artikeln gleich wieder rückgängig, wirfst mit "Vandalismus" und "Zerstörung dieses Mathematischen Artikels vor (dessen Urheber übrigens ich bin), sorgst dafür das er gesperrt wird.

Ich bin überzeugt, wir könnten beide voneinander profitieren, wenn Du nur ein bisschen guten Willen und die Bereitschaft, auch andere Standpunkte und Sichtweisen wenigstens ernsthaft zu diskutieren, aufbringen könntest.

Ich wünschte, ich könnte sagen: Mich trifft dein Spott nicht, aber das wäre leider gelogen. Er trifft mich sogar sehr; ich habe viel Arbeit in diesen und andere Artikel gesteckt, habe mir grosse Mühe gegeben, auf den Diskussionsseiten meinen Standpunkt zu vermitteln - und jetzt treffe ich auf eine Mauer von Sturheit, Spott und Arroganz, und ich denke dass meine ganze Mühe reine Zeitverschwendung war - ja, ich bereue es inzwischen, den Artikel überhaupt ins Leben gerufen zu haben.

Mschcsc 01:25, 23. Jan. 2008 (CET)

Wir haben mit unglaublich viel Mühe versucht, dir alles zu erklären, jedoch scheint alles nicht zu fruchten. Dass der Artikel aus Schutz vor deinen Zerstörungen gesperrt werden musste, spricht ebenfalls für sich. Wenn du mal in aller Ruhe diese Diskussion anschaust, siehst du, dass alle ausnahmslos auf allen drei aktuellen Diskussionsseiten mit dir deinen Standpunkt für unhaltbar halten. Wie kommt das? Offenbar scheint dir der Gedanke völlig abwegig zu sein, du könntest im Unrecht sein und alle anderen recht haben. Ich habe nichts gegen deine Edits der außermathematischen Seiten einzuwenden. Deine Bearbeitungen (wie die Tabellen) habe ich, soweit sie mathematisch haltbar waren, auch im Artikel gelassen und nicht stur revertiert. Jedoch treffe ich bei dir nur auf eine Mauer von Uneinsicht und Beleidigtspielerei. Daher ist offenbar jegliche Diskussion mit dir von vorneherein zum Scheitern verurteilt. --Tolentino 10:09, 23. Jan. 2008 (CET)

Zu Mschcsc 04:05, 24. Jan. 2008 (CET). Ich geb's auf. Es hat wohl keinen Sinn, Dir alles zum x-ten Mal nochmals erklären zu müssen. Ich kann nur Tolentino wiederholen Offenbar scheint dir der Gedanke völlig abwegig zu sein, du könntest im Unrecht sein und alle anderen recht haben. Was Vandalismus betrifft: der liegt auch dann vor, wenn Du wiederholt auf eine Version revertierst, die keinen Konsens findet, unabhängig davon, welche Vesion jetzt "korrekt" ist. Was Dein Jammern betriffst, dass Du nichts von einseitigen Grenzwerten schreiben darfst: Ich habe sogar vorgeschlagen, einen eigenen Artikel über einseitige Ableitungen zu schreiben, aber das wurde bekanntlich von Dir abgelehnt. --NeoUrfahraner 06:34, 24. Jan. 2008 (CET)

Und vielleicht noch ein letztes Wort: "Wer hat Dir erlaubt, $x=0$ in ${\frac {f(x)}{x}}$ zu setzen?" NeoUrfahraner 20:42, 23. Jan. 2008 (CET) "Niemnd hat mir das erlaubt, hab' ich auch nirgendwo gemacht." Mschcsc 04:05, 24. Jan. 2008. Doch, hast Du, in der beanstandeten Version http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Differenzenquotient&oldid=41462229 "Vom momentanen Wachstum spricht man, wenn die Differenz $\Delta x$ Null wird, also wenn $x_{1}=x_{0}$ ist." Genau darum wird diese Version ja von allen anderen abgelehnt. Um es nochmals deutlich zu sagen: $\Delta x$ wird nie Null und $x_{1}$ ist immer von $x_{0}$ verschieden! --NeoUrfahraner 06:47, 24. Jan. 2008 (CET)

Ich denke, ich gab's auch auf - seid ja auch in der Überzahl.

Dein Schlusswort solltest Du Dir einrahmen und an die Wand hängen, dass:

$\lim _{\Delta x\to 0}\Delta x\neq 0$ ist...

Darfst auch schreiben $\lim _{x_{1}\to x_{0}}(x_{1}-x_{0})\neq 0$, ist genauso falsch.

Aber keine Sorge, ich weiss genau was Du meinst und ich stimme sogar zu, dass $\lim _{\Delta x\to 0}\Delta x$ in einem fundamentelan Sinn nicht dasselbe ist wie die Zahl $0$.

Ein klein wenig anders: $\lim _{x\to 0}f(x)$ ist ein einem fundamentalen Sinn nicht dasselbe wie $f(0)$. Aber Du hast den entscheidenden Punkt anscheinend verstanden. Können wir es damit abschließen? --NeoUrfahraner 15:18, 27. Jan. 2008 (CET)

Jedenfalls, wenn $\Delta x$ wie du behauptest nie Null ist, dann muss es ein Vorzeichen haben, den alle Zahlen ungleich Null haben immer ein (und genau ein einziges) Vorzeichen.

Sag' mir doch wenigstens mal einer, was $\lim _{\Delta x\to 0}\Delta x$ für ein Vorzeichen hat? Hat's keins dann muss es Null sein, isses nicht Null, dann muss es ein Vorzeichen haben; entweder oder, beides zusammen geht nunmal nicht.

Mschcsc

Die links/rechtsseitigen Grenzwerte sind ein völlig anderer Punkt, um die es hier aber nicht geht. Jeder stimmt Dir zu, dass in der Topologie der reellen Zahlen ein eigentlicher (nicht aber ein uneigentlicher) Grenzwert genau dann existiert, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte existieren. Spätestens wenn's um $\lim _{x\to \infty }f(x)$ geht, schaut's schon wieder anders aus. Strittig ist lediglich die Frage, wie wichtig die einseitigen Grenzwerte sind, und hier geben die meisten Leute diesem zweifellos nützlichem Werkzeug weniger Bedeutung als Du. --NeoUrfahraner 15:18, 27. Jan. 2008 (CET)

Na also, ich wusste duch, dass wir uns im Grundsatz gar nicht uneinig sind.

Ich bin der Letzte, der sich einer Diskussion über die Bedeutung der dopelseitigen Natur der Grenzwerte von Funktionen verweigert, noch denke ich dass meine Sicht der Dinge die allein seeligmachende sei.

Die Sache mit der Einseitigkeit und diese Diskussion hier hängen natürlich sehr wohl zusammen. Wenn Du darauf beharrst, dass immer $x_{1}\neq x_{0}$ sein soll, und dass $\Delta _{x}$ nie Null wird, dann gibt es nicht den geringsten Grund, weshalb man den Term nicht einfach algebraisch umformen darf. Wenn $x_{1}-x_{0}$ im Nenner des DQn tatsächlich nie 0 ist, dann darf ich auch immer $x_{1}-x_{0}$ aus dem Bruch herauskürzen, wenn es geht. Es gibt keine Regel die das verbieten würde, wenn der Nenner nie 0 ist, denn es gilt eben immer ${\frac {x}{x}}=1$ für $x\neq 0$.

Das Problem ist einfach, dass man es im Falle von $x_{1}\neq x_{0}$ gar nicht mit einem Differentialquotienten, sondern mit einem Differenzenquotienten zu tun hat! Dass die Differenzen tatsächlich verschwinden, ist ja gerade das, was den Differentialquotienten vom Differenzenquotienten überhaupt unterscheidet - es ist das Einzige, was die beiden voneinander unterscheidet!

Nach meinem Empfinden tun sich hier einfach enorme Widersprüche auf, und dass man den Differentialquotienten als Grenzwert eines Differenzenquotienten beschreibt macht das Ganze noch schlimmer.

Ist es etwa nicht so, dass die Differenzenquotienten selbst schon die Folgeglieder einer mit kleiner werdendem $\Delta _{x}$ gegen den Differentialquotienten strebenden Grenzwertfolge bilden? Es ist doch einfach unsinnig, den Grenzwert ebendieser Folge widerum als Grenzwert eines ihrer eigenen Folgeglieder zu beschreiben ?!

Der "Übergang" vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten durch das "herauskürzen" der Differenzen ist doch im Grunde genommen der eigentliche Grenzwertprozess. Man "tut einfach so" als sei die Differenz in Wirklichkeit gar nicht nicht Null sondern eine (beliebig kleine) Zahl und rechnet ganz normal weiter. Wenn man sich um Unstetigkeiten nicht schert, dann war's dass, dann ist das "der" Grenzwertprozess!

Darauf aufbauend könnte man dann z.B. die h-Schreibweise einführen um Unstetigkeiten zu besprechen und zu behandeln.

Wie gesagt, es geht mir hier wirklich nicht darum, meine private Sicht zum Mass aller Dinge zu erklären, aber das was jetzt im Artikel steht ist mit Sicherheit auch nicht der Weisheit letzer Schluss, und die begrifflichen und logischen Widersprüche sind gerade für einen Analysis-Einsteiger unnötige Stolpersteine. Hier könnte er eigentlich selbst sehen und nachvollziehen, weshalb die Folgen der Differenzenquotienten in diesen einfachen Fällen überhaupt konvergieren; stattdessen wird er zuerst zu den Grenzwerten verwiesen, wo er - wenn er Glück hat und nicht die Flinte ins Korn wirft - irgendwann beim Grenzwert von Folgen auf folgendes stösst:

• Ist $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \;$ stetig im Punkt $a\;$ und konvergiert $a_{n}\;$ gegen $a\;$, so gilt

$\lim _{n\to \infty }f(a_{n})=f\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)=f(a)$;

sowie den bedeutungsvollen Satz:

• Für stetige Funktionen sind also Grenzwertbildung und Funktionsauswertung vertauschbar. Die oben angegebenen Rechenregeln folgen damit direkt aus der Stetigkeit der Addition, Subtraktion, Multiplikation und, falls der Nenner ungleich Null ist, Division.

Ist leider nunmal tatsächlich so, da ändern auch die faulen "Gegenbeispiele" nichts dran. Und ich meine, da darf man sich doch wohl wirklich fragen, ob es nötig ist, den Leser schon ganz am Anfang buchstäblich in die "Unendlichkeit" und zurück zu schicken, wenn das für die meisten praktischen Probleme überhaupt gar keine Relevanz hat.

Und man nimmt die Verallgemeinerung dessen vorweg, was der Artikel ja gerade erklären soll.

Just my 2 cents. Mschcsc 00:22, 28. Jan. 2008 (CET)

Zum einen muss ich festhalten: Die Gegenbeispiele sind aber nicht faul.

Nicht?

Na dann machen wir deinen "Wertevergleich" doch nochmal, aber nicht mit der Signumfunktion, sondern mit der Funktion:

$s(x):={\begin{cases}+1&\;x>0\\\;\;\,0&\;x=17\\-1&\;x<0\\\end{cases}}$

Man kann nun mit exakt derselben Falluntescheidung "beweisen", dass $|x|=x\cdot s(x)$ gilt:

1. Fall: $x<0$: Dann ist $|x|=-x$ und $s(x)=-1$, also $x\cdot s(x)=-x=|x|$
2. Fall: $x=0$: Dann sind beide Seiten der Gleichung gleich 0.
3. Fall: $x>0$: Dann ist $|x|=x$ und $s(x)=1$, also $x\cdot s(x)=x=|x|$

So, damit ist bis hierher noch richtig (!) nachgewiesen, dass $|x|=x\cdot s(x)=x\cdot \operatorname {sgn}(x)$ ist.

Soweit ist noch alles in Ordnung, aber damit ist eben noch lange nicht bewiesen, dass auch $s(0)=\operatorname {sgn}(0)$ und damit $0=17$ ist!

Mit einem Wertevergleich kannst Du die Gleichheit zweier Funktionen $f(x)=g(x)$ nachweisen, aber ein Wertevergleich der Form $f(x)=x\cdot g(x)$ wird für x=0 zu $f(x)=0\cdot g(0)$ und damit wird sämtliche "Information" über das Verhalten von g(0) im Nullpunkt "vernichtet". Bei x=0 kannst Du im Grunde nach dem x alles hinschreiben was Du willst, es "verschwindet" einfach. Noch schlimmer ist natürlich, dass wenn $|x|=x\cdot sgn(x)$ für alle x sein soll, dass dann auch $\operatorname {sgn}(0)={\frac {|0|}{0}}={\frac {0}{0}}=0$ gelten müsste - aber ${\frac {0}{0}}$ ist nunmal beim besten Willen nicht dasselbe wie 0.

Hast Du's jetzt verstanden, weshalb dein "Wertevergleich" im Falle von x=0 nichts taugt?

Oder lass es mich so sagen, wenn Du schon vorraussetzt, dass ${\frac {|x|}{x}}=\operatorname {sgn}(x)$ für alle x, auch für x=0 gelten soll, dann musst Du dich nicht wundern, wenn Du für den Dfferentialquotienten ${\frac {|\Delta x|-|0|}{\Delta x-0}}={\frac {|\Delta x|}{\Delta x}}={\frac {|0|}{0}}$ dann auch tatsächlich gemäss Vorraussetzung wieder ${\frac {|0|}{0}}=\operatorname {sgn}(0)$ für x=0 als Resultat herausbekommst - es kommt einfach nur seshalb ${\frac {|0|}{0}}=sgn(0)$ hinten raus, weil Du das vorne ja bereits reingesteckt hast!

Man kann die die Signumfunktion gar nicht vollständig (d.h. für alle x) über die Betragsfunktion definieren und gleichzeitig die Betragsfunktion vollständig über die Signumfunktion, ohne dass nicht eine der beiden Funktionen in x0 eine Definitionslücke hätte! Genauswenig kann $\operatorname {sgn}(x)={\frac {1}{\operatorname {sgn}(x)}}$ für alle x sein - bei x=0 hat einer der beiden Ausdrücke zwangsläufig eine Definitionslücke; sonst könnte man immer alle Ausdrücke der Form ${\frac {0}{t}}$ einfach durch 0 ersetzen.

Ich zeige Dir mal, wie man die Ableitung der Betragsfunktion richtig berechnet:

Man definiert die Betragsfunktion am besten als $|x|={\sqrt {x\cdot x}}$ und schreibt den Differenzenquotienten hin:

${\frac {{\sqrt {x_{1}\cdot x_{1}}}-{\sqrt {x_{0}\cdot x_{0}}}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {\pm x_{1}\mp x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {\pm (x_{1}-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}=\pm 1$

Das ist die komplexe Signumfunktion und sie hat - wie sich's gehört - bei x=0 eine Definitionslücke und die beiden einseitigen Grenzwerte -1 und +1.

Mschcsc 05:53, 30. Jan. 2008 (CET)

Zum anderen: Das Zitieren der Stetigkeit ist die wahre Tautologie: Falls ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=:h(x)$ stetig in $x_{0}$ ist, so ist $h(x_{0})$ die Ableitung von $f$ in $x_{0}$, doch was heißt stetig? Stetigkeit von $h$ in $x_{0}$ ist per definitionem dasselbe wie die Existenz von $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$. Man sieht also, dass man am Grenzprozess eben nicht vorbeikommt. Und zu fordern, dass $h$ in $x_{0}$ stetig ist, ist eine deutliche verkomplizierung als von vorneherein klar und deutlich zu sagen, dass die Konvergenz von $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ relevant ist. Wir haben es hier mit echten Grenzprozessen zu tun.

Hier wurde aber nicht die Stetigkeit von ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ "zitiert", sondern es geht um die Stetigkeit der Funktion $f(x)$ selbst!

Aus ihr folgt eben nicht zwangsläufig die Stetigkeit der Ableitung f'(x) - sprich die Differenzierbarkeit vom f(x) - das ist nur dann sicher, wenn f(x) in x zudem noch ohne "Knick" ist.

Es wäre deshalb ziemlich unsinnig, (und wahrhaftig eine Tautologie) die Stetigkeit von f'(x) in x zu "fordern".

Im Grunde finde ich es ja sehr sinnvoll, den Begriff der Stetigkeit in diesem Zusammenhang an geeigneter Stelle auch klar zu erläutern, am besten anhand des Epsilon-Delta-Kriteriums

• Epsilon-Delta-Kriterium:$f\colon D\to \mathbb {R}$ ist (lokal) stetig in $x_{0}\in D$ genau dann, wenn
  zu jedem $\epsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x_{1}\in D$ mit $\displaystyle -\delta <(x_{1}-x_{0})<\delta$ gilt: $-\varepsilon <(f(x_{1})-f(x_{0}))<\varepsilon$

Man erkennt leicht, dass es sich bei der $\epsilon$- bzw. $\delta$-Umgebung um nichts anderes als um die beiden Differenzen eines Differenzen - bzw. Differentialquotienten handelt. Und man erkennt wohl ebenso leicht, dass es sich solange um die Differenzen eines Differenzenquotienten - und nicht eines Differentialquotienten - handelt, wie $x_{0}\neq x_{1}$ ist. Das Epsilon-Delta-Kriterium sagt ausdrücklich, dass für alle $x_{1}\in D$ ein $\epsilon$ bzw. $\delta$ existieren soll und uns interessiert beim Differentialquotienten ausschliesslich der Fall in dem $x_{1}=x_{0}$ ist und $(x_{1}-x_{0})$ tatsächlich verschwindet! Der ganze Witz dabei ist, dass $\epsilon$ und $\delta$ dabei nicht ebenfalls Null werden; sie können ja gar nicht 0 werden, denn sie sollen ja ausdrücklich grösser als 0 sein. Würde $x_{1}$ niemals gleich $x_{0}$ werden, so wäre das Epsilon-Delta-Kriterium gar nicht erfüllt weil der Definitionsbereich von $x_{1}$ dann ja $D\setminus \{x_{0}\}\neq D$ wäre!

Du hast schon recht, wir haben es hier mit "echten" Grenzwertprozessen zu tun - aber ich hab' dich schonmal gefragt, worin denn der eigentliche Grenzwertprozess besteht? Wie rechnest Du Grenzwerte konkret aus? Ich nehme an, nicht indem Du unendlich viele unendliche Folgen berechnest (dauert nämlich jeweils ein bisschen lange). Oder hast Du ein dickes Buch in dem für ganz viele Funktionen die Grenzwerte für ganz viele Punkte verzeichnet sind? Oder machst Du am Ende etwa auch algebraische Umformungen und vollziehst dann den "Grenzwertprozess" indem du die Differenzen aus dem Nenner rauskürzt und in eventuell verbleibende Differenzen Null einsetzt?

Zeig mir doch mal, wie man die Ableitung - z.B der Betragsfunktion - mit einem "echten" Grenzwertprozess berechnet!

Mschcsc 05:53, 30. Jan. 2008 (CET)

Ich versuche es nochmal in aller deutlichkeit: Falls es eine stetige Funktion $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ gibt mit ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=:h(x)$ für alle $x\in \mathbb {R} \setminus \{x_{0}\}$, so ist $f$ in $x_{0}$ differenzierbar mit Ableitung $h(x_{0})$:

Falsch!

Es sei $f(x):=x-sgn(x)$. Dann existiert eine stetige Funktion $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=:h(x)$ für alle $x\in \mathbb {R} \setminus \{x_{0}\}$. Für $x_{0}=0$ gilt nämlich ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}={\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}={\frac {x-\operatorname {sgn}(x)}{x}}$.

für alle $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ ist ${\frac {x-\operatorname {sgn}(x)}{x}}$ zweifellos stetig, denn für jede Folge m, die gegen x≠0 konvergiert, konvergiert auch ${\frac {m-\operatorname {sgn}(m)}{m}}$.

Wenn Du den wichtigsten und interessantesten Punkt 0 schon am Anfang aus dem Definitionsbereich nimmst, dann darfst du nicht erwarten, dass dir der "Grenzprozess" irgendwas nützliches über das Verhalten von h(x) im Punkt 0 sagen kann.

Es interessiert schliesslich niemanden, ob h(x) in irgendeinem (oder allen) von x0 verschiedenen Punkt(en) stetig ist oder nicht; wichtig ist allenfalls, ob h(x) in x0 selbst stetig ist, also ob für alle Folgen m, die gegen x0 konvergieren, die Funktionen $h(m)={\frac {m-\operatorname {sgn}(m)}{m}}$ ebenfalls alle gegen denselben (endlichen) Wert g konvergieren!

Auf gut deutsch gesagt, man möchte wissen, ob h(x) für x=x0 eine eindeutige und endliche Lösung g besitzt! Genau das ist mit "Stetigkeit" gemeint.

Mschcsc 05:53, 30. Jan. 2008 (CET)

Umgekehrt ist aber: Falls $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion ist mit ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=:h(x)$ für alle $x\in \mathbb {R} \setminus \{x_{0}\}$, so ist aus diesen Voraussetzungen keinerlei Implikation für Differenzierbarkeit möglich. Es kann sein, dass $f$ nicht differenzierbar in $x_{0}$ist, es kann jedoch auch sein, dass $f$ in $x_{0}$ differenzierbar ist, und die Ableitung trotzdem nicht mit $h(x_{0})$ übereinstimmt. Und genau das ist der Knackpunkt, dass man nicht einfach so in den $h$-Ausdruck $x=x_{0}$ setzen darf. Entscheidend ist nämlich die Konvergenz von $\lim _{x\rightarrow x_{0}}h(x)$! Darum ist immer der Grenzprozess nachzuprüfen, da alles $h(x_{0})$-Setzen per Gegenbeispiele zu falschen Ergebnissen führen kann. --Tolentino 08:18, 28. Jan. 2008 (CET)

Falls eine Funktion $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit $h(x):={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ für $\displaystyle h(x_{0})$ eine eindeutige und endliche Lösung besitzt, und f(x) in x0 stetig ist, dann ist f(x) in x0 differenzierbar.

Die Stetigkeit von h(x) in x0 heisst nicht zwangsläufig, dass auch die Funktion f(x) in x0 stetig ist!

Stetigkeit ist deshalb eine zwingende Vorraussetzung für Differenzierbarkeit.

Z.B. ist $\displaystyle f(x):=x-\operatorname {sgn}(x)$ in x=0 nicht stetig (die Funktion macht einen "Sprung" von +1 nach -1) aber die "Ableitung" ist dennoch stetig (die Steigung der Funktion ist in jedem Punkt genau 1). Zum Beweis der "Grenzwertprozess":

$h(x):={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {x_{1}-\operatorname {sgn}(x_{1})-(x_{0}-\operatorname {sgn}(x_{0}))}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {x_{1}-x_{0}-\operatorname {sgn}(x_{1})+\operatorname {sgn}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {x_{1}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-{\frac {\operatorname {sgn}(x_{1})-\operatorname {sgn}(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$

Für $x_{1}=x0$ ist auch immer $\operatorname {sgn}(x_{1})-\operatorname {sgn}(x_{0})=0$ also wird schliesslich (durch auskürzend der Differenz (x1-x0)):

${\frac {x_{1}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-{\frac {0}{x-x_{0}}}=1-0=1$

Besonders im letzten Schritt wird deutlich, dass es absolut wesentlich ist, dass x1 tatsächlich genau gleich x0 wird, ansonsten würde der Ausdruck $\operatorname {sgn}(x_{1})-\operatorname {sgn}(x_{0})$ im Zähler für $x_{0}=0$ niemals null werden und man erhielte ein falsches bzw. zweideutiges Resultat von 0 oder 2 für die Ableitung!

Auch wenn's niemand wahrhaben will, aber genau das ist der "Grenzprozess"! Die Differenzen selbst verschwinden, aber nicht die Quotienten. $\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1$ besagt nichts anderes, als dass Gleiches zu Gleichem immer im gleichen Verhältnis (1) zueinander steht, also dass ${\frac {12}{12}}$, ${\frac {-\pi }{-\pi }}$, ${\frac {x}{x}}$ etc. Im letzten Fall gilt das auch für x=0, solange immer dieselbe Null gemeint ist!

Wenn y=2*x und x=0, dann wird zwar sowohl der Ausdruck ${\frac {x}{x}}$ als auch ${\frac {y}{x}}$ einfach zu ${\frac {0}{0}}$ Aber bei ${\frac {y}{x}}$ ist die Null im Nenner von der Null im Zähler verschieden, und deshalb ist der Grenzwert $\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}={\frac {(\delta -\delta )}{(\delta -\delta )}}=1$ aber $\lim _{x\to 0}{\frac {2\cdot x}{x}}=2\cdot {\frac {(\delta -\delta )}{(\delta -\delta )}}=2$.

Das Auskürzen mit der ausgeschriebenen 0 ist beim Rechnen ist im Grunde genommen nur deshalb "verboten", weil jegliche "Information" bezüglich der Multiplikation "gelöscht" wurde, und man es einer Null normalerweise nicht mehr ansieht, womit sie multipliziert (bzw. was durch sie dividiert) wurde. Weil eine Null auch wie ein Ei dem anderen gleicht, kann man nicht wissen, ob man mit dem Ausdruck ${\frac {0}{0}}$ wirklich Gleiches mit Gleichem vergleicht.

In einem Differentialquotienten weiss man aber immer dass bei ${\frac {x_{1}-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ dieselbe Null im Zähler und Nenner steht, und daher das Verhältnis 1:1 ist oder auch dass ${\frac {x_{1}}{x_{0}}}=1$ ist (weil $x_{1}$ auch haargenau dasselbe ist wie $x_{0}$. Als Differenz (oder als Variable) geschrieben vergisst die Null auch keine auf sie angewandten Rechenoperationen wie Multiplikation oder Division mehr (Division natürlich nicht mit der bzw. durch die Zahl 0). Alle Operationen bleiben umkehrbar; es können z.B. alle Faktoren wieder "herausdividiert" werden wie aus jedem anderen, von Null verschiedenen Ausdruck.

Das ständige Gerede, dass sich da irgendwelche esoterischen Fehler "einschleichen" können ist schlichtweg Humbug und basiert auf der Verwchslung von "formaler Gleichheit" und "Wertegleichheit".

Das Ausfaktorisieren und anschliessende Kürzen von Ausdrücken, die auch den Wert Null annehmen können ist bei Polynomfunktionen gang und gäbe, und da hat man es sogar besonders oft mit Termen zu tun, die zu Null werden. Man benutzt das Verfahren auch schon seit Jahrhunderten um die Werte von hebbaren Lücken zu finden (eine "hebbare Lücke" ist im Grunde nichts anderes als der Grenzwert einer Funktion die an der Stelle x eine Definitionslücke hat).

Wenn man sauber arbeitet, kann man mit diesem Verfahren - auch bei nicht-rationalen Funktionen - gar keine "falschen" Lösungen erhalten. Man erhält schlimmstenfalls gar keine Lösung, was meistens daran liegt, dass einfach gar keine Lösung existiert. Oder man erhält zwei verschiedene Lösungen, nämlich genau dann, wenn die Funktion f(x) stetig, aber nicht differenzierbar ist - also wenn sie in x einen "Knick" macht. Dass man auch eine Ableitung finden kann, wenn f(x) selbst gar nicht stetig (und damit nicht differenzierbar) ist, liegt nicht an dem angewandten Verfahren, und ist auch kein Fehler; es liegt einfach daran, dass aus der Unstetigkeit von f(x) nicht zwangsläufig die Unstetigkeit von f'(x) folgt. Will man Differenzierbarkeit in x0 nachweisen, so muss im Grunde zuallererst die Stetigkeit von f(x) in x0 erweisen sein.

Das bedeutet natürlich nicht, dass man jedesmal wenn man etwas im Zusammenhang mit rationalen Funktionen schreibt, erst einen Exkurs über "Stetigkeit" an den Anfang stellen müsste.

Wie schon öfters erwähnt, ich hab' ja wirklich nichts dagegen, dass man Grenzwerte im Zusammenhang mit dem Differenzenquotienten und dem Differentialquotienten zur Sprache bringt, ganz im Gegenteil. Mich stört aber, dass der abstrakte mathematische Grenzwertbegriff hier gleich als bekannt und sonnenklar vorrausgesetzt wird - dabei versteht kaum einer was ein Grenzwert - oder gar "der Grenzwertprozess" - wirklich ist - nicht weil die meisten Trottel sind, sondern weil der mathematisch exakte Grenzwertbegriff relativ abstrakt und hochgradig unanschaulich ist - "normale" Menschen (bzw. Leser) haben üblicherweise ein klein bisschen Schwierigkeiten mit dem Umgang mit dem Unendlichen - und sind schlicht überfordert, wenn sie sich vorstellen sollen, dass unendlich viele Folgen - deren Glieder die Werte einer Funktion sind, deren Argumente aus den Gliedern einer (von unendlich vielen) unendlichen, gegen x konvergierenden Folge besteht - gegen den Grenzwert g konvergieren oder aber divergieren sollen...

Um Grenzwerte im allgemeinen und Ableitungen im besonderen wirklich zu "begreifen" und mit ihnen praktisch arbeiten zu können genügt es nicht, Unendlichkeiten über Unendlichkeiten zu häufen. Man muss an erster Stelle das mathematische Handwerkszeug beherrschen - insbesondere muss man die Rechenregeln für's Rechnen mit algebraischen Ausdrücken beherrschen und auch konsequent anwenden (anstatt irgendwelche selbsterfundenen "Verbotzskriterien" aufzustellen) und man sollte auch wissen, was 0 bedeutet, und was der Unterschied zwischen $\displaystyle 0$, $\displaystyle (3-3)$ und $\displaystyle (12-12)$ oder auch zwischen ${\frac {0}{0}}$, ${\frac {(12-12)}{(3-3)}}$ oder ${\frac {(3-3)}{(12-12)}}$ ist!

Mschcsc 05:53, 30. Jan. 2008 (CET)

Mit verlaub, ich hab keine Zeit, um mich mit unsinnigen Romanen zu beschäftigen. Entweder du verstehst es oder nicht, und hier ist definitiv letzteres der Fall. Ich werde mich jetzt aus dieser Diskussion ausklinken. --Tolentino 09:44, 30. Jan. 2008 (CET)

Überarbeitung

Ich schlage vor, auf diese Version zurückzusetzen und den Artikel von da aus zu überarbeiten. Die aktuelle Version enthält vor allem private Begriffsbildung (lokales Wachstum) und sehr viel, was eigentlich gar nicht zum Thema gehört. --P. Birken 05:42, 26. Jan. 2008 (CET)

Zustimmung. Das mit dem lokalen Wachstum klingt nach WP:TF, also entweder Quellen angeben oder streichen. Welche Version als Ausgangsversion für eine weitere Überarbeitung genommen wird, ist mir egal, solange kein grober Unfug drinnen steht: Die von Dir vorgeschlagene schaut jedenfalls halbwegs brauchbar aus. --NeoUrfahraner 07:14, 26. Jan. 2008 (CET)

Sehe ich genauso, solange nicht wieder dieses $x_{0}=x_{1}$ drinsteht... Apropos, kann man irgendwann diese obigen Diskussionen entfernen? Ich glaube nicht, dass jemand was damit anfangen kann, und diese Abschnitte sind doch ziemlich länglich (ebenso bei Differentialrechnung). Jedoch kenne ich mich mit dem üblichen Prozedere nicht so aus. --Tolentino 08:34, 26. Jan. 2008 (CET)

Hilfe:Archivieren. Ich habe jetzt einen Auto-Archiv Baustein eingebaut, in einem knappen Monat sollte damit obige Diskussion archiviert werden. --NeoUrfahraner 09:22, 26. Jan. 2008 (CET)

Ah, besten Dank. Ich hatte mal einen Zusammenstoß beim Kürzen einer Diskussionsseite, so dass ich mich erst mal nicht selber dran wagen wollte. Könntest du das vielleicht auch bei Differentialrechnung machen, oder geschieht das da auch automatisch? Grüße, --Tolentino 10:43, 26. Jan. 2008 (CET)

Differentialrechnung wurde anscheinend von Benutzer:Lustiger seth manuell archiviert. Ich habe bei ihm nachgefragt. --NeoUrfahraner 16:26, 26. Jan. 2008 (CET)

jau, ich wuerd's gern weiterhin manuell machen. -- seth 18:13, 26. Jan. 2008 (CET)

ich kenne zwar deinen zusammenstoss nicht, @Tolentino, moechte dich jedoch ermuntern, weiter auf diskussionsseiten aufzuraeumen. bots koennen nicht so gut entscheiden, wann eine diskussion ueberfluessig/erledigt/erhaltenswert/sonstwas ist, wie wir dies koennen. und so richtig geloescht wird dabei ja ohnehin nichts. in der history bleibt alles erhalten. insofern empfehle ich auch fuer solche extrem langen diskussionen die sparsame variante des archivierens: d.h. permalinks mit mini-zusammenfassungen. das haelt eine DS schlank, uebersichtlich und macht bots ueberfluessig. -- seth 18:13, 26. Jan. 2008 (CET)

Ach, es war auf Summenregel, wo ich den Abschnitt entfernen wollte, der sich auch eine Passage bezog, die auf den Artikel Mächtigkeit (Mathematik) umverteilt wurde, so dass ich keinen Sinn sah, in Summenregel etwas über Subadditivität zu schreiben. Aber seis drum. Viele Grüße, --Tolentino 10:33, 27. Jan. 2008 (CET)

Kürzungen, Definitionsbereich

Ich sehe keinen Grund für die extremen Kürzungen. Der Artikel handelt primär vom "Differenzenquotienten" und nicht vom "Differentialquotienten" oder Differenzieren.

Die (völlig willkürliche) Einschränkung auf Funktionen deren Definitions- und Wertebereich $\mathbb {R}$ oder ${\mathbb {C}}$ ist auch nicht nachvollziehbar (und alles ander als sinnvoll). Ich stelle daher die vorhergehende Version wieder her.

Mschcsc 08:07, 20. Feb. 2008 (CET)

Deine ausufernden Beispiele und Erklärungen sind hier fehl am Platz. In einem enzyklopädischen Artikel über den Differenzenquotienten will man vor allem eines: die Definition über den Differenzenquotient lesen und keine historische Abhandlung, Begriffsfindung und auch keine Beispiele. Sowas kann in einem Buch stehen aber nicht in einem Artikel, der prägnant das Wichtigste nennen sollte. – Wladyslaw [Disk.] 08:39, 20. Feb. 2008 (CET)

Wikipedia ist eine Universalenzyklpoödie' und kein Fachlexikon.

Mschcsc 09:34, 20. Feb. 2008 (CET)

Wikipedia ist eher Universallexikon oder Fachlexikon als Lehrbuch oder Geschichtsbuch. – Wladyslaw [Disk.] 10:35, 20. Feb. 2008 (CET)

Naja, ich erwarte von einem guten mathematischen Artikel in der Wikipedia schon, dass er ein wenig über den Tellerrand blicken lässt und auch etwas über Nebenaspekte (z.B. die Geschichte des Begriffs) verrät, die in einem Standardlehrbuch üblicherweise keinen Platz haben. Ausgezeichnete Artikel wie z.B. Kreiszahl oder Differentialrechnung beschränken sich auch nicht auf die reine Definition. Unabhängig davon stimme ich allerdings zu, dass das Pfeil-Paradoxon nicht wirklich in einen Artikel über Differenzenquotienten passt. --NeoUrfahraner 14:05, 20. Feb. 2008 (CET)

Über den Tellerrand schauen und eine Darstellung, die mehr bietet als nur ein Definition ist auch vollkommen in Ordnung. Nicht in Ordnung ist es, wenn man einen Artikel wie eine Art Vorlesung oder ein Buch aufbaut. Spricht mit eine Motivation, mit Beispielen und einer deduktiven Einführung. Wer so schreibt hat nicht verstanden, was eine Enzyklopädie ist und was sie nicht ist und nie sein will. Das ist ungefähr so als würde der Artikel über irgendeine Stadt so aufgezogen werden wie ein Reiseführer. Dabei muss der „Reiseführerstil“ nicht einmal schlecht sein – aber es ist eben deplatziert. – Wladyslaw [Disk.] 22:36, 20. Feb. 2008 (CET)

Wo ich aber zustimmen muss, ist, dass es unnötig ist, den Definitionsbereich als ganz $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ vorauszusetzen. Es reicht aus, wenn es eine zusammenhängende Menge ist. --Tolentino 10:43, 20. Feb. 2008 (CET)

Ohne diese Diskussionsseite, geschweige denn die Archive, genauer daraufhin studiert zu haben, ob das schon vorgeschlagen wurde: Gerade habe ich in Emil Artin, Einführung in die Theorie der Gammafunktion (siehe Gammafunktion) für den Differenzenquotienten die Definition

$\varphi (x,x')={\frac {f(x)-f(x')}{x-x'}}$

gesehen und rege an, das hier ähnlich zu machen, also ausdrücklich eine Funktion von zwei Variablen zu definieren. Es ist natürlich nur eine Kleinigkeit in der Notation, aber vielleicht ganz praktisch. --80.129.121.225 14:47, 20. Feb. 2008 (CET)

Ich habe so eine ähnliche Notation auch schon gesehen und halte sie grundsätzlich für sinnvoll. --NeoUrfahraner 15:04, 20. Feb. 2008 (CET)

Der von mir entfernte Abschnitt erscheint mir Theoriefindung zu sein bzw. keineswegs so allgemeingültig wie dargestellt. Siehe bspw. Wachstumsrate. Daher hatte ich das entfernt. Grüße --Mathemaduenn 22:31, 20. Feb. 2008 (CET)

EInige Quellen die die von mir benutzten Begriffe verwenden:

http://www.dom-gymnasium.de/mathpage/11/Steigung/Aenderungsrate.htm

http://www.tibs.at/nlk/8kl1/diff_th07.htm

http://www.gymmuenchenstein.ch/weiss/offene_Lehrmittel/Mathematik/Skript/Mathematik-Skript.doc.pdf

Mschcsc 00:44, 21. Feb. 2008 (CET)

Auch bei Weblinks gilt weniger ist manchmal mehr. Wenn der Begriff Wachstumsrate schon im ersten gar nicht auftaucht? Soll ich mir dann alles durchlesen? Zum "mittleren Wachstum" kannst du z.B. [2] vergleichen. Wachstum muss eben nicht linear sein. Entsprechend unterscheidet sich auch die Verwendung des Begriffes "mittleres Wachstum". Grüße --Mathemaduenn 01:27, 21. Feb. 2008 (CET)

Sorry, ausgerechnet der erste Link unter Wachstum ging ein wenig am Thema vorbei. Ich nenne hier also beispielhaft [:http://www.tibs.at/nlk/8kl1/diff_th07.htm diese Quelle].

Im Artikel stand nirgends, dass mitleres Wachstum linear sei, es hiess :

• Beim mittleren Wachstum wird eine betragsmäßig große Differenz Δx der unabhängigen Variablen betrachtet. Das mittlere Wachstum erlaubt es, lokale Schwankungen oder Störungen der tatsächlichen Wachstumsrate herauszumitteln.

Ist das mittlere Wachstum einer Größenrelation für jedes beliebige Δx (außer 0) konstant, so spricht man von linearem Wachstum.

In deineer Quelle werden zwar auch Wachstumsprozesse betrachtet, aber nicht in Zusammenhang mit dem Differenzen- oder Differentialquotienten.

Solche allgemeinen und nicht streng formalisierten Begriffe wie "Steigung", "Wachstum" oder "Änderung" sind eben oft vom konkreten mathematischen und praktischen Kontext abhängig. Stand auch so einleitend im Artikel und auch dass der Begriff "Wachstum" hier beispielhaft zur Erläuterung des Sachverhalts dienen solle - möglicherweise wäre "Änderungsrate" die glücklichere Wahl gewesen...

Was mich an der jetzigen Form stört, ist dass sich einem Nicht-Mathematiker die konkrete Bedeutung des Differenzenquotienten nun kaum mehr erschliesst. Und dass der fundamentale Zusammenhang mit dem Phänomen der "Bewegung" getilgt wurde, finde ich auch sehr bedauerlich.

Mschcsc 03:16, 21. Feb. 2008 (CET)

Siehe [3] – Wladyslaw [Disk.] 09:32, 21. Feb. 2008 (CET)

An Wladyslaw

Siehe hier und hier. Mschcsc 09:42, 21. Feb. 2008 (CET)

Und genau der Verständlichkeit hilft es eben gar nicht weiter wenn man einen prägnanten Artikel mit ausladenden Erklärungen verwässert. Zumal derartige Beispiele/ Motivationen bereits im Artikel Differentialrechnung vorkommen und dort im historischen Abriss über dieses Thema auch durchaus ihre Berechtigung haben. – Wladyslaw [Disk.] 14:18, 21. Feb. 2008 (CET)

*Gegebenenfalls lassen sich Teile des Artikels in weiterführende Artikel auslagern. In diesem Fall sollte eine nicht zu knappe Zusammenfassung des ausgelagerten Textes an seine Stelle treten.

Der Artikel in der jetzigen Form besteht den Oma-Test keinesfalls. Meine Version war sicherlich noch verbesserungswürdig aber ich würde behaupten, dass sie den Oma-Test bestanden hätte. Zumindest habe ich mich redlich (und mit einigem Aufwand) um die Einhaltung der Grundsätze bemüht. Jeder sollte sich gelegentlich fragen, ob er hier ist um zu geben oder um zu nehmen.

Mschcsc 14:30, 21. Feb. 2008 (CET)

Und ich sehe nicht so. Zumal „Oma-Tauglichkeit“ nicht das einzige Qualitätskriterium eines Artikels ist. – Wladyslaw [Disk.] 14:35, 21. Feb. 2008 (CET)

In meinen Augen gibt es kaum eine Rechtfertigung dafür, den Grundsatz, dass möglichst Viele von den Artikeln profitieren sollen zu ignorieren.

Welche besonderen "Qualitätskriterien" sollen das sein, die es hier rechtfertigen, praktisch sämtliche WP-Grundsätze zu ignorieren und die Arbeit derjenigen Autoren, die sich an diesen Kriterien orientieren, einfach zu vernichten?

Mschcsc 00:40, 22. Feb. 2008 (CET)

Welche „sämtlichen WP-Grundsätze“ sollen das denn sein, die hier ignoriert werden? Bislang sehe ich es außerdem so, dass deine „Version“ von niemandem sonst unterstützt wird. – Wladyslaw [Disk.] 08:46, 22. Feb. 2008 (CET)