Brans-Dicke-Theorie

Die Brans-Dicke-Theorie (manchmal auch als Jordan-Brans-Dicke-Theorie bezeichnet) ist eine klassische Feldtheorie und eine der einfachsten Erweiterungen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART). Sie wurde von Robert Henry Dicke und Carl H. Brans entwickelt, wobei sie frühere Arbeiten von Pascual Jordan benutzten. Sie ist der bekannteste und einfachste Vertreter sogenannter Skalar-Tensor-Theorien der Gravitation. Diese sind Gravitationstheorien, in denen neben der Metrik der ART zusätzliche Skalarfelder auftreten, die – zusammen mit der in der ART auftretenden Metrik – die Raumkrümmung generieren.

Die Theorie ist noch nicht von Experimenten falsifiziert worden, allerdings ist der verbliebene erlaubte Parameterbereich für die Kopplungskonstante $\omega$ (s. u.) nur noch sehr klein.

Definition

Die Wirkung der Brans-Dicke-Theorie lautet

$S={\frac {1}{16\,\pi }}\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}\left(\phi \,R-\omega \,\phi ^{-1}\partial _{\mu }\phi \,\partial ^{\mu }\phi \right)+S_{\mathrm {M} }$.

Hierbei ist g die Metrik, R die Spur des Ricci-Tensors, $\omega$ ein dimensionsloser Parameter, $\phi$ ein skalares Feld und $S_{\mathrm {M} }$ die Wirkung der Materiefelder.

Im Unterschied zur ART, deren Wirkung durch $S={\frac {1}{16\,\pi }}\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,R+S_{\mathrm {M} }$ gegeben ist, existiert ein zusätzliches skalares Feld $\phi$, das über $\omega$ an die Krümmung koppelt. Dies führt zu modifizierten Bewegungsgleichungen:

$\Box \phi ={\frac {8\,\pi }{3+2\,\omega }}\,T$,

$G_{\mathrm {ab} }:=R_{\mathrm {ab} }-{\frac {1}{2}}R\,g_{\mathrm {ab} }={\frac {8\,\pi }{\phi }}\,T_{\mathrm {ab} }+{\frac {\omega }{\phi ^{2}}}\left(\partial _{a}\phi \,\partial _{b}\phi -{\frac {1}{2}}\,g_{\mathrm {ab} }\partial _{c}\phi \,\partial ^{c}\phi \right)+{\frac {1}{\phi }}\,\left(\nabla _{a}\,\nabla _{b}\,\phi -g_{\mathrm {ab} }\,\Box \phi \right)$,

wobei $T_{\mathrm {ab} }$ der Energie-Impuls-Tensor ist und T seine Spur. T stellt laut der ersten Gleichung eine Quelle für das Skalarfeld dar, welches, wie in der zweiten Gleichung ersichtlich, zur Krümmung beiträgt. Dies unterscheidet die Theorie von der ART, deren Bewegungsgleichungen durch $G_{\mathrm {ab} }=8\,\pi \,T_{\mathrm {ab} }$ gegeben sind. Diese Modifikation führt zu veränderten Vorhersagen für bestimmte Gravitationseffekte, wie z. B. die Lichtablenkung durch massive Körper oder die Periheldrehung der Planeten. Durch Experimente konnten daher die erlaubten Werte für die Kopplungskonstante $\omega$, die als freier Parameter gewählt werden kann und die die Größe der Abweichungen zu den Vorhersagen der ART kontrolliert, stark eingeschränkt werden.

Literatur

• C. H. Brans: The roots of scalar-tensor theory: an approximate history, gr-qc/0506063
• C. Misner, K. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0. (speziell Kasten 39.1)