Möbiusfunktion

mathematische Funktion
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Die Möbiusfunktion (auch Möbiussche μ-Funktion genannt) ist eine wichtige multiplikative Funktion in der Zahlentheorie und der Kombinatorik. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker August Ferdinand Möbius benannt, der sie erstmals im Jahr 1831 eingeführt hat. Diese Funktion ist ein Spezialfall der allgemeiner definierten Möbiusfunktion einer Halbordnung, wobei sich die hier zugrunde liegende Halbordnung durch Teilbarkeitsrelationen ergibt.

Leonhard Euler betrachtete schon im 18. Jahrhundert Reihen mit der Möbiusfunktion in den Koeffizienten, ohne diese explizit zu definieren.[1]

Definition

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Der Wert   ist für alle natürlichen Zahlen   definiert und nimmt nur Werte aus der Menge   an. Die Funktionswerte hängen von der Primfaktorzerlegung von   ab:

 

wobei   voneinander verschiedene Primzahlen bezeichnen soll.   ist als leeres Produkt und Zerlegung von   zu verstehen.

Die Möbiusfunktion wird nun wie folgt definiert:

  •  , falls n quadratfrei ist und falls n ein Produkt einer geraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist
  •  , falls n quadratfrei ist und falls n ein Produkt einer ungeraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist
  •  , falls n nicht quadratfrei ist

Der Funktionswert   bleibt undefiniert oder wird auf   gesetzt.

Anmerkungen

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  • Eine natürliche Zahl wird als quadratfrei bezeichnet, wenn sie keinen Teiler hat, der das Quadrat einer natürlichen Zahl größer als 1 ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass jede Primzahl in der Primfaktorzerlegung höchstens einmal vorkommt, d. h.  .
  • Die Länge der Primzahlzerlegung bestimmt das Vorzeichen. Bei einer geraden Anzahl von Primfaktoren ist das Vorzeichen positiv.

Eigenschaften

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  • Die Möbiusfunktion ist das zur Eins-Funktion inverse Element bezüglich der dirichletschen Faltung.
  • Für alle Primzahlen   gilt  .
  •   ist multiplikativ, d. h.,   für   und   teilerfremd.
  • Für die summatorische Funktion der Möbiusfunktion gilt für  :
 
wobei die Summe über alle Teiler von   läuft. Hieraus folgt auch die Möbiussche Umkehrformel.
  • Aus der Eigenschaft, dass   und   genau dann, wenn der größte gemeinsamer Teiler von   geteilt wird, geschrieben  , folgt
 
  • Geometrisch gesehen ist   die Summe aller primitiven  -ten Einheitswurzeln.[2]

Beispiele und Werte

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  •  , da   eine Primzahl ist.
  •  , da  .
  •  , da   nicht quadratfrei ist.

Die ersten 20 Werte der Möbiusfunktion lauten (Folge A008683 in OEIS):

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
μ(n) 1 −1 −1 0 −1 1 −1 0 0 1 −1 0 −1 1 1 0 −1 0 −1 0
  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, … (Folge A030059 in OEIS)
  4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, … (Folge A013929 in OEIS)
  1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, … (Folge A030229 in OEIS)

Abbildung der ersten 50 Werte der Möbiusfunktion:  

Mertens-Funktion

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Die nach Franz Mertens benannte Mertens-Funktion   stellt eine Summation über die Möbiusfunktion dar:

 

Dies entspricht der Differenz der Anzahl an quadratfreien Zahlen mit einer geradzahligen Anzahl von Primfaktoren zur Anzahl solcher mit einer ungeradzahligen Anzahl von Primfaktoren bis zur Zahl  . Die Mertens-Funktion oszilliert anscheinend chaotisch.

Nulldurchgänge der Mertens-Funktion finden sich bei:

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, … (Folge A028442 in OEIS).

Vermutungen über das asymptotische Verhalten von Möbius- und Mertensfunktion stehen im Zusammenhang mit der Riemannschen Vermutung, die äquivalent zu folgender Aussage ist: Für alle   gilt

 

unter Verwendung der Landau-Symbole. Die Aussage

 

ist nach Edmund Landau äquivalent zum Primzahlsatz.[3]

Chowla- und Sarnak-Vermutung

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Die Chowla-Vermutung lässt sich sowohl für die Liouville-Funktion als auch für die Möbiusfunktion formulieren:

 

für beliebige natürliche Zahlen   und  , bei denen nicht alle   gerade sind (wobei man sich wegen   auf   beschränken kann).   bedeutet asymptotisch verschwindend mit   (siehe Landau-Symbole). Falls nur eine der Zahlen   ungerade ist, ist dies äquivalent zum Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen. Ansonsten ist die Vermutung offen.

Eine weitere Vermutung, die das zufällige Verhalten der Vorzeichen der Möbiusfunktion beschreibt, ist die Vermutung von Peter Sarnak. Sei   eine komplexwertige, beschränkte arithmetische Funktion, die deterministisch sei (die topologische Entropie der Folge verschwindet).[4] Dann gilt nach der Sarnak-Vermutung:

 

Sie ist im Allgemeinen offen, allerdings sind Spezialfälle bekannt. Für eine konstante Folge ist das im Wesentlichen der Primzahlsatz, für periodische Folgen der Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen, für quasiperiodische Folgen folgt das aus einem Satz von Harold Davenport und für Horozyklen-Flüsse aus einem Satz von Sarnak, Tamar Ziegler und Jean Bourgain. Die Sarnak-Vermutung folgt nach Sarnak aus der Chowla-Vermutung.

Weitere Anwendungen

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Die Umformulierung des Siebes des Eratosthenes durch Adrien-Marie Legendre mit Hilfe der Möbiusfunktion und einer zugehörigen, nach Legendre benannten Identität, steht am Anfang der modernen Siebtheorie.

Sie spielt eine Rolle in der Fermionen-Version des Toy-Modells zur Interpretation der Riemannschen Zetafunktion beim Primonengas.

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. William Dunham: The Early (and Peculiar) History of the Möbius Function. In: Mathematics Magazine, Band 91 (2018), Nr. 2, S. 83–91.
  2. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 5. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1980, ISBN 978-0-19-853171-5, S. 239, Gl. 16.6.4 (archive.org). PDF.
  3. Terence Tao: The Chowla conjecture and the Sarnak conjecture. 2012 (Blog von Tao).
  4. Zur Definition siehe den zitierten Blog von Tao. Ist   mit   für einen kompakten metrischen Raum   und einen Homöomorphismus   von  , die zusammen ein dynamisches System definieren, so entspricht das der üblichen topologischen Entropie des dynamischen Systems.