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L-Funktionen werden in der analytischen Zahlentheorie und darauf aufbauenden, mathematischen Gebieten untersucht. Das prototypische Beispiel einer L-Funktion ist die Riemannsche Zeta-Funktion. L-Funktionen haben fundamentale Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam. Sie sind also Verallgemeinerungen der Riemannschen Zeta-Funktion. Zu den fundamentalen Eigenschaften der Riemannschen Zeta-Funktion zählen:
- die Riemannsche Zeta-Funktion stimmt in einem Teilbereich der komplexen Zahlenebene mit einer Dirichlet-Reihe und einem Euler-Produkt überein, die beide absolut konvergieren;
- die zunächst nur in jenem Teilbereich definierte Riemannsche Zeta-Funktion lässt sich analytisch fortsetzen zu einer auf der komplexen Zahlenebene meromorphen Funktion;
- die fortgesetzte Riemannsche Zeta-Funktion genügt einer Funktionalgleichung eines bestimmten Typs.
Basierend auf den grundlegenden Arbeiten von Leonhard Euler (1707–1783) zur heute so bezeichneten Riemannschen Zeta-Funktion, untersuchten die Mathematiker Bernhard Riemann (1826–1866), Peter Gustav Dirichlet (1805–1859), Richard Dedekind (1831–1916), Erich Hecke (1887–1947) und Emil Artin (1898–1962) grundlegende Unterklassen von L-Funktionen, die heute deren jeweiligen Namen tragen.
Die forschende Suche nach einer allgemeinen und eindeutigen Definition des Begriffs „L-Funktion“, welche die gewünschten und zum Teil noch unbewiesenen Eigenschaften von L-Funktionen beweisbar macht, ist noch nicht abgeschlossen. Vielmehr handelt es sich um ein wichtiges Ziel der analytischen Zahlentheorie, Klarheit über die sinnvollste Definition des Begriffs „L-Funktion“ zu gewinnen. In dieser Richtung hat Atle Selberg (1917–2007) im Jahr 1989 eine axiomatische Definition der Klasse aller L-Funktionen vorgeschlagen, die heute den Namen „Selberg-Klasse“ trägt.[1] Ob diese oder andere Definitionsvorschläge schon alle wünschenswerten Eigenschaften von L-Funktionen umfassen und unerwünschte ausschließen, ist noch nicht abschließend geklärt. Nach wie vor prägen mathematische Vermutungen (d. h. unbewiesene, aber für plausibel oder zumindest wünschenswert gehaltene Aussagen über Eigenschaften von L-Funktionen) die Theorie der L-Funktionen. Diese zählt somit weiterhin zu den Gebieten intensiver, mathematischer Forschung.
Die beiden Begriffe „L-Funktion“ und „Zeta-Funktion“ werden häufig synonym verwendet. Trotzdem zählen nicht alle mathematischen Funktionen, deren Namen den Begriff „Zeta-Funktion“ enthalten, zu den L-Funktionen. Beispielsweise gehört die Primzetafunktion nicht zu den L-Funktionen, da sie analytisch nicht auf die ganze komplexe Ebene fortgesetzt werden kann.
Ein erstes Verständnis des Themenbereichs der L-Funktionen erfordert mathematische Kenntnisse im Bereich der komplexen Zahlen, der Funktionentheorie, der analytischen und algebraischen Zahlentheorie sowie der Darstellungstheorie von Gruppen. Solche Vorkenntnisse können in diesem Artikel zwar teilweise erläutert, aber nicht umfassend dargestellt werden.
Definition
BearbeitenWie in der Einleitung erwähnt, gibt es noch keine eindeutige und allgemein anerkannte Definition des Begriffs „L-Funktion“. Der norwegisch-US-amerikanische Mathematiker Atle Selberg führte im Jahr 1989 eine Klasse von Funktionen ein, welche heute „Selberg-Klasse“ genannt wird. Diese Klasse verallgemeinert die Riemannsche Zeta-Funktion, erhielt nachfolgend viel Aufmerksamkeit in der Forschung, und wird weithin als aussichtsreicher Kandidat einer sinnvollen Definition von L-Funktionen angesehen.
Die Selberg-Klasse besteht aus allen Dirichlet-Reihen, welche grundlegende Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam haben:
- Absolute Konvergenz
- Analytische Fortsetzbarkeit
- Funktionalgleichung
- Ramanujan-Bedingung
- Euler-Produkt
Damit enthält die Selberg-Klasse unter anderem die folgenden, in der Zahlentheorie wichtigen Funktionen, die in jeder sinnvollen Definition des Begriffs „L-Funktion“ enthalten sein sollten:[2]
- Die Riemannsche Zeta-Funktion . Traditionell wird die Riemannsche Zeta-Funktion praktisch immer mit bezeichnet und nicht mit , was ihre Zugehörigkeit zu den L-Funktionen und ihre Zuordnung zum Körper der rationalen Zahlen betonen würde.
- Die Dirichletschen L-Funktionen zu primitiven Dirichlet-Charakteren .
- Die Dedekindsche Zeta-Funktionen zu algebraischen Zahlkörpern . Man schreibt für Dedekindsche Zeta-Funktionen auch .
- Die Heckeschen L-Funktionen zu primitiven Größencharakteren mit einem Ideal des Ringes der ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers .
- Die L-Funktionen zu holomorphen Neuformen bzgl. einer Kongruenzuntergruppe der Modulgruppe . Um zur Selberg-Klasse zu gehören, müssen solche L-Funktionen gegebenenfalls geeignet normalisiert werden.[3]
- Sofern sie die Artin-Vermutung erfüllen: Artinschen L-Funktionen zu nicht-trivialen, irreduziblen Darstellungen der Galoisgruppe normaler Zahlkörpererweiterungen in die allgemeine lineare Gruppe eines endlich-dimensionalen Vektorraums .[4]
Beispiele von L-Funktionen
BearbeitenDieser Abschnitt gibt einen Überblick über grundlegende Beispiele von L-Funktionen.
Riemannsche Zeta-Funktion
BearbeitenDas einfachste Beispiel einer L-Funktion ist die Riemannsche Zeta-Funktion .[5] Sie ist der Ausgangspunkt für jede Definition des Begriffs „L-Funktion“. Die Riemannsche Zeta-Funktion ist dem Körper der rationalen Zahlen zugeordnet. Ihre Dirichlet-Reihe
konvergiert für absolut. Zusammen mit ihrem ebenfalls absolut konvergenten Euler-Produkt gilt für :[6]
Der Grad des Euler-Produktes der Riemannschen Zeta-Funktion ist
- .
Üblicherweise wird für die Riemannsche Zeta-Funktion der folgende Gamma-Faktor verwendet:
Der Führer von ist
- ,
so dass die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion die Gestalt
annimmt. Diese Definition ist nur für gültig, da nur in dieser Halbebene die Riemannsche Zeta-Funktion über ihre Dirichlet-Reihe oder ihr Euler-Produkt definiert werden kann. Allerdings besitzt die vollständige Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf der ganzen komplexen Zahlenebene. Diese Fortsetzung ist holomorph bis auf zwei einfache Polstellen in und mit den Residuen −1 bzw. 1.[7] Bezeichnet man auch die fortgesetzte, vollständige Riemannsche Zeta-Funktion mit , so erfüllt sie mit der Wurzelzahl
die Funktionalgleichung[8]
Damit besitzt auch die zunächst nur für durch ihre Dirichlet-Reihe oder Euler-Produkt definierte Riemannsche Zeta-Funktion eine analytische Fortsetzung zu einer meromorphen Funktion auf , welche einzig in nicht definiert ist, da sie dort über eine einfache Polstelle mit Residuum 1 verfügt. Behält man die Bezeichnung auch für die fortgesetzte Riemannsche Zeta-Funktion bei, so erfüllt sie die Funktionalgleichung[9]
Die (analytisch fortgesetzte) Riemannsche Zeta-Funktion birgt eine der wichtigsten Fragen der analytischen Zahlentheorie, nämlich die Frage nach der genauen Lage ihrer sogenannten nicht-trivialen Nullstellen. Diese liegen im kritischen Streifen . Die Riemannsche Vermutung aus dem Jahr 1859 – bis heute weder bewiesen noch widerlegt – stellt die These auf, alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion besäßen den Realteil 1/2. Ein Beweis dieser Vermutung würde besonders gute Abschätzungen über die Verteilung der Primzahlen gestatten.
Dirichletsche L-Funktionen
BearbeitenDie nächsten Verwandten der Riemannschen Zeta-Funktion sind die Dirichletschen L-Funktionen, welche die Riemannsche Zeta-Funktion als Spezialfall enthalten. Sind in der zur Riemannschen Zeta-Funktion gehörenden Dirichlet-Reihe noch alle Koeffizienten im Zähler von gleich 1, so werden diese bei Dirichletschen L-Funktionen mit Hilfe eines Dirichlet-Charakters definiert. Sie nehmen somit komplexe Werte mit dem Absolutbetrag 1 an oder sind gleich 0.
Sei also für ein ein Dirichlet-Charakter modulo
gegeben, d. h. ein Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der bzgl. der Multiplikation invertierbaren Elemente des Restklassenrings in die Kreisgruppe der komplexen Zahlen mit Absolutbetrag 1. Ein solcher Dirichlet-Charakter heißt primitiv und der Führer von , wenn er nicht schon durch eine Komposition
aus einem Dirichlet-Charakter modulo mit einem echten Teiler von hervorgeht.
Man liftet nun den Definitionsbereich von von der primen Restklassengruppe zu den ganzen Zahlen , bezeichnet die so entstandene Abbildung ebenfalls mit und nennt sie einen Dirichlet-Charakter modulo :[10]
Die trivialen Dirichlet-Charaktere modulo besitzen den Funktionswert 1, falls , andernfalls 0. Der triviale Dirichlet-Charakter modulo 1 heißt der Hauptcharakter. Er erfüllt für alle .
Ist nun ein primitiver Dirichlet-Charakter modulo , so ordnet man diesem folgendermaßen eine L-Funktion zu: die Dirichlet-Reihe (auch Dirichletsche L-Reihe genannt)
konvergiert für absolut.[12] Dasselbe gilt auch für das zugehörende Euler-Produkt, und man hat die Identität[13]
für . Wie bei der Riemannschen Zeta-Funktion ist der Grad des Euler-Produkts gleich 1. Setzt man , falls (in diesem Fall heißt gerade), und , falls (in diesem Fall heißt ungerade), so ist
der zugeordnete Gamma-Faktor. Der Führer des primitiven Dirichlet-Charakters ist auch der Führer der Dirichletschen L-Funktion:
- .
Die vollständige Dirichletsche L-Funktion besitzt somit die Form[14]
eine Definition, die nur für gilt, da nur dort die verwendete Dirichlet-Reihe konvergiert. Eine solche vollständige Dirichletsche L-Funktion kann aber analytisch auf fortgesetzt werden. Dabei entsteht eine ganze Funktion, falls ein nicht-trivialer Dirichlet-Charakter ist.[15] Andernfalls hat die fortgesetzte Funktion einen einfachen Pol in mit Residuum 1.[16] Die Wurzelzahl kann mit Hilfe der Gaußschen Summe[17]
berechnet werden, in der sich die Summation über alle Restklassen modulo des Führers erstreckt sowie die Kreiszahl, die imaginäre Einheit und die Exponentialfunktion bezeichnen. Mit
erfüllt dann die fortgesetzte, vollständige Dirichletsche L-Funktion die Funktionalgleichung[18]
Wie von Wurzelzahlen gefordert, ist , da .[19]
Dedekindsche L-Funktionen
BearbeitenDie Riemannsche Zeta-Funktion bezieht sich auf den Körper der rationalen Zahlen, dem einfachsten algebraischen Zahlkörper. Dedekindsche L-Funktionen verallgemeinern diesen Bezug auf beliebige algebraische Zahlkörper, also endlichen Körpererweiterungen von wie zum Beispiel . Sei also ein algebraischer Zahlkörper und sein Erweiterungsgrad über . Sei sein Ganzheitsring und seine Diskriminante. Weiter seien die Anzahl der reellen Einbettungen und die Anzahl der Paare komplexer Einbettungen von . Es ist also .
Die Dedekindsche L-Funktion (auch Dedekindsche Zeta-Funktion genannt) bzgl. ist für definiert durch[20]
In der Summe durchläuft alle vom Nullideal verschiedenen, ganzen Ideale von . bezeichnet die Absolutnorm von . Die Koeffizienten der Dirichlet-Reihe
sind also[21]
Sie geben zu jedem die Anzahl der ganzen Ideale von mit Absolutnorm an. Jene Dirichlet-Reihe konvergiert für absolut, ebenso wie das zugehörende Euler-Produkt
Dabei erstreckt sich das Produkt über alle vom Nullideal verschiedenen Primideale von . Es gilt für die Identität[22]
Der Gamma-Faktor bzgl. ist[23]
Der Betrag der Diskriminante von ist der Konduktor von : [24]
Damit ist die vollständige L-Funktion von für gegeben durch
Diese besitzt eine analytische Fortsetzung auf die komplexe Zahlenebene mit einfachen Polen bei und und den dortigen Residuen bzw. . Dabei ist die Anzahl der unendlichen Stellen, die Klassenzahl und der Regulator von sowie die Anzahl der Einheitswurzeln, die in liegen.[25] Dedekindsche L-Funktionen haben stets die Wurzelzahl 1: [26]
Somit genügt die analytisch fortgesetzte, vollständige L-Funktion von der Funktionalgleichung[27]
Die analytisch fortgesetzte Funktion gestattet nun auch die analytische Fortsetzung von , nämlich durch die Definition[28]
Dadurch wird zu einer meromorphen Funktion auf mit einem einfachen Pol in . Eine ihrer faszinierenden Eigenschaften ist die sogenannte analytische Klassenzahlformel, wonach das Residuum von in die folgende Gestalt annimmt: [29]
Heckesche L-Funktionen
BearbeitenHeckesche L-Funktionen sind gemeinsame Verallgemeinerungen der Dirichletschen und der Dedekindschen L-Funktionen. Sie beziehen sich also einerseits auf beliebige algebraische Zahlkörper (wie die Dedekindschen L-Funktionen) und hängen andererseits von geeigneten Charakteren ab (wie die Dirichletschen L-Funktionen). Der deutsche Mathematiker Erich Hecke definierte die nach ihm benannten L-Funktionen mit Hilfe sogenannter Größencharaktere und konnte die bei L-Funktionen gewünschten Eigenschaften beweisen. Der modernere Zugang zu L-Funktionen mit Bezug zu beliebigen algebraischen Zahlkörpern und geeigneten Charakteren, der auch noch weitreichend verallgemeinert werden kann, verwendet Idelklassencharaktere.
L-Funktionen zu Größencharakteren
BearbeitenHeckesche L-Reihen zu Größencharakteren besitzen die Form[30]
Wie bei Dedekindschen L-Funktionen bezeichnet einen algebraischen Zahlkörper mit Ganzheitsring und Erweiterungsgrad . Die Summe durchläuft wieder alle vom Nullideal verschiedenen, ganzen Ideale von und bezeichnet die Absolutnorm von . Die komplexen Werte beruhen auf einem Charakter (d. h. Gruppenhomomorphismus)
Ist nun ein beliebiger, solcher Charakter und setzt man für alle Ideale , die nicht teilerfremd zu sind, so konvergiert die oben angegebene L-Reihe in der Halbebene absolut. Wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung von Idealen in gilt die nachfolgende Gleichheit mit dem zugehörenden Euler-Produkt, welches alle von Null verschiedenen Primideale von durchläuft:[31]
Die eigentliche Herausforderung liegt nun aber in einer geeigneten Auswahl der Charaktere , so dass die für L-Funktionen typischen Eigenschaften bewiesen werden können. Die Charaktere mit diesen wünschenswerten Eigenschaften heißen Größencharaktere: Ein Größencharakter modulo eines ganzen Ideals des algebraischen Zahlkörpers ist ein Gruppenhomomorphismus[32]
zu dem es zwei Charaktere
gibt, so dass für alle zu teilerfremden Zahlen gilt:
Zur Erläuterung dieser Definition:
- symbolisiert die Einheitengruppe des Restklassenrings modulo , besteht also aus allen Elementen von , die invertierbar sind.
- bezeichnet den Minkowski-Raum bzgl. . Ist die Menge aller Einbettungen , so besteht aus allen -Tupeln , , mit für alle .[33] Addition und Multiplikation in der -dimensionale -Algebra sind komponentenweise definiert. Das Bild der Einbettungsfunktion liegt in .[34] Die multiplikative Gruppe besteht aus allen Elemente von , bei denen sämtliche Komponenten von Null verschieden sind. Ist , so ist für alle , denn die Einbettungen sind Körperhomomorphismen. Der Gruppenhomomorphismus , bettet also die multiplikative Gruppe in die multiplikative Gruppe ein.
- Ein Element heißt teilerfremd zum ganzen Ideal , wenn das Hauptideal teilerfremd zu ist. Bezeichnet die Gruppe der zu teilerfremden Elemente und ist mit zwei zu teilerfremden , so hat man den wohldefinierten Gruppenhomomorphismus , , der auf den Quotienten der Restklassen von und modulo abbildet.[35]
- Entsprechend seiner Definition zerfällt auf den zu teilerfremden Hauptidealen in einen „endlichen“ Charakter und einen „unendlichen“ Charakter . Korrekterweise müssten in dieser Zerlegungsbedingung durch und durch ersetzt werden, worauf der Kürze halber stets verzichtet wird. und sind durch eindeutig bestimmt.[36]
- ↑ Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989.
- ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160–161.
- ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 1.4.4, S. 150.
- ↑ Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 161.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, 1992, S. 439 ff.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Satz 1.1, 1992, S. 439.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Theorem 1.6, 1992, S. 445.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Theorem 1.6, 1992, S. 445.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 1, Korollar 1.7, 1992, S. 446.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, 1992, S. 454 f.
- ↑ Tom M. Apostol: Note on the trivial zeros of Dirichlet L-functions. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 94, Nummer 1, S. 29–30. doi:10.1090/S0002-9939-1985-0781049-8.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Satz 2.1, 1992, S. 455.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Satz 2.1, 1992, S. 455.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, 1992, S. 457.
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- ↑ Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 9, S. 119.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Definition 2.5, 1992, S. 459.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 2, Theorem 2.8, 1992, S. 461.
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- ↑ Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
- ↑ Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Korollar 5.10, 1992, S. 487.
- ↑ Iwaniec, Kowalski: Analytic Number Theory. 2004, Kapitel 5, Abschnitt 10, S. 125.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Korollar 5.10, 1992, S. 487.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, 1992, S. 488.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Kapitel 7, Paragraph 5, Korollar 5.11, 1992, S. 488.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 6, S. 491.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 8, S. 515.
- ↑ Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. 1992, Kapitel 7, Paragraph 6, Definition 6.1, S. 492.
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- ↑ Cohen: Advanced Topics in Computational Number Theory. 2000, Kapitel 3, Abschnitt 3, S. 135.
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